VINGT-TROISIRME LEÇON SUR LES CUBIQUES GAUCHES
g 337. — Nous avons vu que deux HUifacos du second ordre ayant ime génératrice commune, avaient en commun une courbe, coupée en trois points par un plan. Celte courbe a reçu le nom de cubique gauche. Voici quelques propriétés simples de ces courbes :
1" Le cône ayant pour sommet un point quelconque de la coui:be, et contenant cette courbe est un cône du second ordre.
En eflet, un plan passant par ce point S coupe la cubique en deux autres points A et B, il coupe dès Jors le cône suivant doux génératrices SA, SB, ce qui démontre la proposition.
PLtN OSCULA.TEUR. — La tangente en S à la cubique est l'intersection des plans tangents en ce point à deux surfaces du second ordre qui la contiennent. Cette tangente est évidemment sur le cône de sommet S ; car c'est la position limite de la génératrice SA quand A vient en S ; soit T cette tangente, B un autre point de la cubique. Le plan limite du plan TB, ou du plan de ST et de SB quand B vient en A c'est évidemment lo plan tangent au cône suivant ST. Ce plan se nomme le plan osculateur en S. Los trois points où il coupe la cubique sont confondus en S.
§ 338. — 2" Six points dont quatre ne sont pas dans un même plan, déterminent une cubique gauche.
Soient ABCDEF les six points ; par les cinq droites concourantes eu A, AB AC AD AE AY, ont peut taire passer un cône du second ordre, de sommet A. De même par les cinq droites BA BG BD BE BF on peut
faire passer un cône àa second ordre de sommet B. Ces deux cùnes so coupent suivanL nue cubique gaiiclie, Il n'y en a pas d'autre passant par les sis points, car toute cubique gauche passant par les six points se trouve k la îoia sur les deux cônes dont il vient d'être question.
Remaïque: Plusieurs pointa peuvent être conlondus, alors au lieu de deux points, on a une tangente et son point de contact.
§ 339, — 3" Je nommerai corde, ou sécante double d'une cubique gauche une droite qui la coupe en dmx points (réels, imaginaires ou confondus). Par la cubique et une sé^^a^tc double passent évidemment deux cônes du second ordre ayant pour sommets les points de rencontre de la sécante double avec la cubique. On verra, comme au g 327, que parmi les suriaccs passant par la sécante double et la cubique, jly en a une et une seule passant par un point donné.
S 340. — 4" Le cône ayant pour sommet un point quelconque et contenant la, cMbique est du Irmsiéme ordre, car un plan passant par le sommet coupe la cubique en trois points, et le c6ne suivant trois génératrices. La projection de la cubique sur un plan est donc du troisième ordre. Je vais démontrer qu'elle a un point double et donner le moyen de le construire. Je projetterai la figure d'un point quelconque sur un plan P, Les sommets de deux cônes contenant la courbe seront projetés on A et B ; m étant le point où la ligne des sommets rencontre P, les bases des cônes sur le plan P seront deux coniques passant par w, et que nous nommons C et C Un plan passant par la ligne des sommets coupe P suivant une droite w L rencontrant C en p, C en q: Le plan sécant coupe les deux cônes suivant les génératrices projetées en Ap, Bg ; ces droites se rencontrent en w, projection d'un point de l'intersection.
Ap rencontre de nouveau G en ji' ; joignons « p' qui coupe C en un point q'. Si qq' passait par B, le nouveau plan sécant ayant pour trace wp'q' donnerait le même point.in, qui serait ainsi la projection de deux points de l'intersection. Or la droite pp' passant par un point fixe
A, (Il p, M p\ sont en involution (§ 98) (le théorème démontre alors pour le cercle s'applique aussi aux coniques) cip, ap' étant nn involution, la droite qq', joignant les points où les rayons rencontrent
l'autre conique, passe par un point lixe F, (on le déterminera iacilcment en construisant deux positions de qq'). Joignons FB, et prenons q et q' sur FB, alors les droites joignant w à q et q' seront doux rayons de l'involution de tout à l'beure et pp' passera par A. Le point iit correspondant sera donc bien un point double.
§ 341 , — TnÉoRicME. — Los coordonnées x ij z d'un point d'une cubique gauche peuvent se mettre sous la forme.
(■) x^f^ ., =-^f" ^^4ii'
ffffi et y étant des polygones en t, du degré 3 en plus.
En effet, une surface du second degré ayant pour génératrice l'axe des z- est représentée par équation do la forme.
P et Q étant des polygones du premier degré, car réquaiion devant
LEÇONS SUR LES METHODES DE LA GKOMlîTRlE MODERNE 2Go
être satisfaite quel que soit s quand x^^o y ^o, tous les termes doivent conteuir un lacteur soit x soit y.
Une autre surlace passant par l'axe des z a une (jquation de la même tonne:
x\" = y 0' posons y ^ tx les deux ùqualions préccrtentcs donneid P = (Q p' = iq-
ces équations avec y^ (x permettront de calculer j.- y z en fonction de (, d'ailleurs si l'on a un plan
A3;-|-Bî;+Cs + D=(I
on obtient les points d'intersection du plan avec la courbe en remplaçant xy s par leurs valeurs en (onction do t, oc qui donne l'équation
A/+B/;+C/, + Dï^O et comme un plan ne doit. couper la courbe qu'en trois points, cette équation doit être du troisième degré et f,//,,/îy doivent donc être au plus du troisième degré.
§ 342. — lUdproquem&i'd, des équations de la forme précédente représentent une cubique gauche, c'est-à-dire qu'en faisant varier î dans les iomiules, on obtient les dîflérents points d'une telle courbe.
Les lormules {') peuvent être remplacées par les suivantes; (') px^Jtt) py=fAt) pr-f=(f) "^-,.(0
Soient uvwh des coiïîeients indéterminés, on aura C) p[ux + mj + wz+ h] -ufW +vf,(t) + w f, (0 + h .f (0
Le second membre est un polynôme du troisième degré en ( ; profitons de l'iadétermination de m p (u h, pour annuler le coefficient de i' celui de ( et le terme indépendant ; la relation C) donnera alors
yGoosle
A étant un certain coefficient qui ne peut être nul sans quoi \o plan ux -{- uy + ws-f'* — contiendrait la courl)e.
Pour annuler le coefficient de î' celui de t est te terme indépendant, il faut écrire trois équations sans second membre à quatre inconnues uvie h, cela ne détermine pas complètement ces quatres inconnues, mais donne en général des quantités qui leur sont proportionnelles.
On pourra de même en choisissant autrement u 'd w h ne laisser subsister dans {') que le terme en i', on aura:
.{-') p{u'x + v--y + >c^s + h:] = hr
de même on pourra déterminer u" v" w" h' de façon que
et enfin u"'v"' ni" h'" de telle sorte que
(') p(u-3:+x.'"y+ii"'z+h"')=-D
En faisant disparaître cette fois tous les termes du second membre de O tous les termes saut le terme indépendant.
Les équations (4) (5) (6) et (7) résolues par rapport à t' (' t et 1 don-
P Q R S étant des polynômes du premier degré. Entre ces quatre polynômes, il n'y a aucune relation de la forme.
'P + ^Q + ^R + SS = (iderdi<[iiemmt) l u. V 1 étant des constantes non tontes nulles, car on aurait alors
W -i- uî* + v( + 6 — et f ne pourrait pas prendre une valeur quelconque.
Divisant'Ies trois premières équations (8) par la dernière, on obtient:
formules qui nous seront d'une grande utilité dans la suite.
En éliminant de différentes façons t entre les relations (9), on a :
LEÇONS SDR LES JIETHOBES DU LA GKOMKTHIE MODlîIiNE Ziil
('") QR=iPS, Ii= = QS, Q'^Piï.
Les deux prciiiièrea surfaces ont en commun l'iiitorscction des deux plans R ^^ S ^: 0, la première et la troisième passent par l'interseotion des plans Q = P ^^ 0. La seconde et la troisième contiennent la droite suivant laquelle se coupent les pians R =: Q =; 0. Il est clair dès lors que la courbe est une cubique gauche. Toutes les surlaces ayant pour équation.
(") «(QR - PS) + |3(R' - QS; + 7(Q= - Pli) =
contiennent la courbe. On obtient cette ôqualion en ajoutant les i5quations ('") aprÈs les avoir nmltipliéus par des constantes quelconques.
Théorie des plans osculateurs
g 343. — Considérons une cubique gauche, définie par les équations (') et soit e la, valeur de [ qui correspond à un certain point M de la courbe. Si l'on coupe la suriace par le plan osculateur en M, on doit trouver, pour l'équation qui donne les valeurs de ( correspondant aux points où ce plan coupe la courbe, une équation ayant trois racines égales à S, c'est-à-dire l'équation : (( — 0)^ r= o.
ou /.' -3 t'Û -f 3 M' - 6' = o
Dr le plan ayantpoiir équation :
fournit précisément cette équation quand on y remplaoc PQRS pai' leurs valeurs tirées des formules ('). L'équation C) représente donc le pl(m osculateur.
§ 344. — Proposons-nous de résoudre le problème suivant : Menei' par un point A des plûns osculateurs à la courbe.
Soit 8 la valeur de ( correspondant à l'un des points de contact M cherché : désignons par Po Q„ R» Sj ce que deviennent PQRS quand
on y remplace xys par les coordonnées du poiut A . PuiSfiue le point A doit contenir le plan osculateur enM, ses coordonnées doivent satisfaire à l'équalion (") on doit donc avoir :
Ou SI 1 oa pose ' =^ "^ ^" — "ë 'J = i;~ on voit que l'on obtient l'équation C) on substituant ces valeurs dans l'équalion :
