SI', -3RQ, +3QR. -PS

En sorte i(iie le plan représentant l'équation (") rencontre la cubique en trois points dont les sont donnés par l'équation {"). Ce sont donc bien trois points tels que leur plan osculateur passe par A.

Le plan représenté par l'équation {") passe lui-mâmc par A.

En effet, si l'on substitue dans son équation les coordonnées du point A,' on obtient :

S„P, - 3 B„Q„ + 3 Q. B„ — PoS, = ([Ut est une identité.

Le plan représenté par l'équation (") se nommera le plan local de A A sera dit son foyer. On voit que le plan focal de A passe par A.

§ 345. — THÉ0Ri.;M[ï. —Si le plan local d'un point A passe par uû point B, le plan focal do B passe par A.

En effet soient P, Q, R, S, ce que deviennent P Q II S quand on y remplace a; y «par les coordonnées du point B. I^ln exprimant que l'équation (") est satisfaite par les coordonnées du point B, ce qui exprime que le plan local de A passe par B, on a ; (") S,Po-3R,Q.-i-3Q,Ri-P,S,~U

pour écrire que le plan focal de B passe par A, il faudrait de même écrire l'équation :

Or cette dernière équation n'est que l'équation C) où tous les termes ont été changés de signe. La même relation exprime donp à la fois que le plan focal de A passe par B et que celui de B passe par A.

g 346. — Théorème. — Les plans focaux de tous les points d'une droite fisc D passent par une droite fixe i qui est dite conjuguée do D. Los plans focaux des diflérents points de A passent par D.

Soient P et Q deux points de D, « et ,S leurs plans focaux ciui se coupent suivant une droite i, soit M un point de 4, M tîtaot à la fois dans le plan focalde P et dans celui de Q, le plan local de M passe pav P et Q, et contient la droite D ; soit M' un point de D. Le plan focal de M passe par M', donc le plan focal de M' passe par M ; le plan focal d'un point quelconque de 4 passe donc par D et le plan focal d'un . point quelconque M' de D passe par un point quelconque M de 4, c'est-

§ 347. — ïaKont;ME. — Le rapport anbarnionique do quatre plans passant par une droite D est Égal au rapport anharmonique de leurs quatre foyers situés, d'après le théorème précédent, sur la droite 4.

Kn effet, le foyer d'un plan étant dans ce plan, les quatre foyers dos quatre plans passant par D sont les quatre points où ces plans coupent 4, et le rapport anharmonique de ces quatre points est bien égal à celui des quatre plans (§§ 19 et 129).

Cette démonstration ne s'applique plus si D et 4 coïncident ; ceci arrive quand on prend iMiur D une droite située dans le plan local A d'un de ces points, donc le plan local d'un .point quelconque de D passera par A et contiendra la droite D.

Le théorème est encore vrai dans ce cas ; on peut le démontrer en supposant que 4 vienne coïncider avec D, ou encore par une vêrilication directe que nous ne ferons pas pour ahréger.

Les droites D et 4 sont dites conjurjuées. Si Dcoïncide avec 4 D est dite conjuguée d'elte-mÈme. L'ensemble des droites conjuguées d'elles-mêmes est donc tel que toutes les droites de cet ensemble passant par un même point soient, dans un même plan, nommé le plan focal de ce point. Un tel ensemble se nomme un complexe linéaire.

Nous avons, maintenant un mode de correspondance entre un point et un plan, analogue A la correspondance entre un point et son

210 LKÇ.ONS SOtl LES jrKTilODES DE LA GÉOMÉTRIE MODEliNli

plan polaire, mais en diflérant par ce lait que le plan corvospondant d'un point passe par c« point. On peut donc, au moyen île ce nouveau mode de correspondance, former des figures corrélatives. Cela sera surtout commode pour étudier les développaliles [ormf'es par l'ensemble des plans osculatcurs à une cubique gauche.

VINGT-QUATRlt!;ME LEÇON

NOTIONS SUR LES SURFACES [DU TROISIEME ORDRE ET EN PARTICULIER SUR LES SURFACES RÉGLÉES.

§348.— Nous nVHud levons pas ]ch surfaces flu ivoislûinc mchc. noiis bornant à dos considiîvatious générales sur lo nombre et , la disposition des droites qui y sont situées. Noua étudieroas cependant avec quelques détails le cas où la surlace est engendrée par une droite.

Nous ne démontrerons pas ici qu'il existe dos droites sur une surlace du troisième ordre, nous bornant?! remarquer qu'une droite définie par les équations

nz + p

y^nz+ q

de ses deux projections

sur les plai

is àa cooi-donnûes

face d'équation

Ffx,y,.

si l'égalité F <mz + p. nz + q, z) =

a lieu, quel que soit s, or cette équation du troisième degré en s présente quatre termes ; en égalant à zéro les quatre coefficients, on a quatre équations à quatre inconnues mnpq, qui permettront en 'général de déterminer des valeurs pour ces quatre inconnues.

Supposons donc que l'on ait trouvé une droite sur une surface du troisième ordre. .le vais faire voir comment cela permet d'en déduire toutes les autres.

Prenons cette droite pour axe des x; L'équation de la surface

t\Z LEÇONS SUR LES ilETHODliS DE L\ OBOMKTrilE MODiaiNlî

devra être satislailo par 3 ^ o 1; — quel que soit œ. Tous les termes contiendront doni'. soit z, soit 1;, ut l'cquaiiou prendra la forme (') y f U> y, 2) — 3-^ {j:, y, z) —

y eti étant des polynômes du second degré.

Un plau passant par l'axe des x a une équation de la lormc ::=i inij: en remplaçant s par my dans l'éfjuation précédente, elle devient:

divisons tout par y on a ;

C) "/ (■>-•, y y ""J/ — "i -1 (a y, my) — o

c'est- l'équation d'une courbe du denxiûnie ordre, qui esl la projection sur le plan dc3 x y, de la section de la surlace par le plan.

ï^oit ? (/, ;/, /) ~ « X' + a' V* + «" i'-\-i p yz + 2 ,5' 3x + 2 ;." .r/, +

Plus 'f (a:, 1/. ï.) — A a-' + A' ;,' + A" := + 2 B (/: + 2 IV z-v + tV,' ri, 4-iC^+2C'y + 2a'3 + D.

en écrivant explicitement l'équation (') a- et T étant remplacés par ces valeurs, on aura l'équation de la conique. Pour écrire que cette conii(ne est un système de deux droites, il faut écrife entre les coefficients de l'équation (') la relation du § 302. Il est iaeilc alors de voir que cette équation devient une équation du cinquième degré en m ; d'où celte proposition : Par une droite située sur une surface du troisième ordre on peut faire passer cinq plans coupant ia surface cliacini suivant deux autres droites.

La droite donnée et les dix droites cootennea dans les cinq plans, . cela fait onze droites ; mais ce ne sont pas les seules sur la surface.

§ 349. — Considérons en eilel l'un des cinq plana ; il coupe la sursurface suivant trois droites. Par chacune de ces trois droites ou peut ïaire passer quatre autres plans coupant la surface chacun suivant deux droites ; cela fait 8 antres droites pour chacune des trois droites