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primitives ; en tout 24 droites, et par suite 27 droites on comptant les trois premiôres. Ces 27 droites sont eu général distinctes, car ei une des 24 droites se retrouvait deus lois, c'est qu'elle rencontrerait deux des trois droites primitives ; comme elles no font pas dans le même plan, elle se rencontreraient au inôme point et la surface présenterait un point sinj,'ulior, co qui n'a pas lieu eu général.

Il ne peut pas y avoir d'autres droilcs que celles-là, cdr une droite quelconque de la surlacc ne peut couper le plan des trois droites primitives que sur l'une d'elles ; toutes les droites do la surface rencontrent donc l'une de ces trois là.

§ 350. — Supposons maintenant qu'iuie surface du troisième ordre soit réglée. Soit M im point situé sur une génératrice. Un plan passant par la génératrice coupe en outre la surface suivant une conique. Au point où (^ctfe conique rencontre la gi^nératrice, le plan est nécessairement tangent, car le plan tangent est déteriniaé par la f,'(^nératrico et la tangente à la conique en ce point.

Le plan tangent en M coupe donc la surface suivant la fféoératrice et une conique passant par M. Celte conique coupe la génératrice considérée en un autre point A. Si le point A n'élait pas un point singulier de la surface, le plan tauf^ent on A serait encore le |ilan de la conique.

Or cela ne peut être, car comme on a virau (S 264), en deux points distincts d'une f,'i?nératrice d'une sm'face réglée, il y a nécessairement deux plans tangents distincts. Donc A est un point singulier, et comme il ne saurait y avoir une infinité de points singuliers sur une génératrice, A est un point fixe sur la génératrice quand M varie; c'est-àdire que les plans passant par la génératrice coupent tous la surface suivant une conique passant par A.

Un plan passant par A coupera alors la surlace suivant une cubique ayant enA un point muitipïe, puisque la tangente sera indéterminée, de sorte que toute droite passant par A coupera la surface en deux points confondus en A,

Le lien des pointa analogues à A est une ligne doiilile de la surface

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rencontrant en un point chaque génératric CettL ln;ne tsl neccasairemont une droite. Sans quoi si A et B Étaient deu^ points sur cette ligne, la droite AB couperait la surface en deux points confondus en A, et deux en B, total quatre points, ce qui est impo-îSiblr Ij sui fcn^e n'étant quc-du Iroisiôiiie ordre. Désignons celle droite par a.

§351. — Considérons maintenant quatre génératrices ABGD, on peut, d'après le § 275, trouver deux droites rencontrant ces quatre génératrices, une de ces droites est A, l'autre est donc une certaine droite réelle D. Cette droite rencontrant la surface en quatre points sur les droites ABGD est aussi située sur elle. Sur la surface il y a donc deux droites D et 4, l'une simple l'autre double. Soit do plus C nue conique obtenue en coupant la surlace par un plan tangent, conique qui rencontre A en un point A, comme nous l'avons vu. On pourra considérer la surface comme engendrée par une droite rencontrant D, A et la conique G.

Par chaque point P de A passent deux génératrices ; on les obtient en coupant le cône de sommet P et de base C par le plan du point P et de-la droite D. Par cbaque point Q do D ne passe au contraire qu'une génératrice. On l'obtient en coupant le cône de sommet Q et de base C, par le plan de Q et de i. Mais ce plan coupe le cône suivant la droite AQ qu'il faut exclure, il ne reste donc qu'une génératrice passant parO.

§ 352, — Soit P un point de la droite i, deux droites passent par P, qui coupent D, l'une en Q, l'autre en Q'. Je dis que Q et Q' sont deux points correspondants d'une involution.

Projetons en eflet la ûgure sur le plan de la conique C parallèlement à A ; tout point de A (et en particulier P) se projette en A, Q et Q se projettent en q et 5' sur la projection D, de D. Les droites PQ PQ' coupent le plan de la conique en m et m', et la droite mm' étant à la fois dans le plan de la conique et dans le plan QPQ' qui contient D, rencontre D en un certain point o, qui n'est autie que le point où le

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plan lise de la coniqae rencontre la droite lîxe D, w est donc un point lise, lit)»»' passant par un point lise, les droites km Am' ou ce qui est la même chose Aq Aq' tonnent une involution ; donc q et q' forment une involution sur D, et par suite les points Q et Q' dont ils sont les projections, iorm eût ujie involution surD(te qu'il fallait lîimonlrer) .

On voit que si R et S sont les deux pointa doubles de cette involution, les génératrices passant par R et S sont doubles.