THEORIE GÉOMÉTRIQUE DU CALCUL DES IMAGINAIRES

§ 353. — Dans la première partie de la Jccon, noua avons prosonté la tliéorie des imaginaires au point de vue abstrait. Nous allons nous placer ici à un point de vue tout dillércnt, eu (nisnnt usage d'une représentation due fi Caucliy,

Considérons deux axcsj:eclaBgulaii'c.'^ o.r oij, et M un point du plan. Le point est déterminé par ses coordonnées x eti/; il l'est aussi par ]a longiieuv OM (quantité toujours positive) et l'angle de OM avec OX, angle ponvant varier de — oo à -(- =° • ^^o^is nommeroos p la longueur OM et 01 l'angle XOM (avec son signe).

Deux segments Ali et CD sont dits iqià'polknts quand ils sont égaux parallèles et de même seas. Nous écrirons,

AB ■- en

pour écrire que AB est éc]inpollon( à CD.

Comme deux droites parallèles à uee troisième ci de même sens sont entre elles parallèles et de mémo sens, les relations

AB ^ CD, XB ^ \lf entraînent la suivante CD ^ EF

Un segment AB peut être représenté par ces deux i)rojec lions sur OX et sur OY. Si l'on mène par l'origine un segment OM équipoiienl à AB, les coordonnées du point M seront les' projections de OM (ou de AB sur les axes) . On voit que nous ne tenons pas compte de la position du segment dans le plan, mais seulement do sa grandeur et de sa direction.

LEÇONS SUR LF.S MKTHOBKS UB LA 01!

On peut aussi représenter le segment par les valeurs de s et de ii dérmiea ci-dessus, p s!appello le module, a l'argument du aegtncnt OM ou du segment AB équipollent.

Nous allons maintenant définir sur les segmenla, certaines opérations analogues aux opérations algébriques. Nous désignons, pour abréger les segments par de simples lettres.

§ 354, — Addition. — Soient ii b r d plusieurs segments. !*reno!:s (in point quelconque A puis par A menons AB ^^ a, puis par B, Bc^^b puis CD bi; c et enfin DK ^^ d; le segment AE sera dit la soiuiiie "géométrique des segments abcd, si, au lieu de partir de A on élait parti d'un autre point A', on eut obtenu une figurcA'B'C'D'E'quî n'eût été que la TigureABCDE transportée parallèlement <i eUe-métue.On eût donc bien obtenu un segment A' E' etjuipolleut à AK,

Les propriétés de l'addition sont les mêmes eine pour U'? soinnus ordinaires. Ainsi l'on a :

. + " -^ î' + " en effet soit AB ^ a BG ^ &, on a par délinition kC ^ a -{- b d'autre part achevons le parallélogramme, ABCD. Les côtés opposés d'un parallélogramme étant équipollenfs, on a :

AD ^BG^d et DC^AB ^ a.

mais pour construire (> + ft, il faut justement mener Al) ^ b ii^i DC ^ a, donc AC est bien b -f <i, ce qui démontre la proposition.

On a aussi : a-\-h-\- e^a-\- {h -\- 1:).

en effet prenons AB ^ (i BC =;= (» CD =^ r, on aura par défluilion :

.AD =i=fl + ÎJ-l-o Mais d'autre part on pou parvenir au point D comuie il siiil, ou a ; AB ^ a, puis BD ^ î» + f^ flo^^ -^^ >-'St bien équipollent t a -{■ b -\- <■ : Un segment nul n'a aucun effet dans l'addition, on a :

lï -J-o ^ a Je vais encore dêuiontrcr que l'équipoUence

en eflet prenons AB ^ a BC la; (> BD ^ c.

La première éqnipollence exprime que AC est égal et parallèle à AD, mais alors C coïacide avec D et par suite BG avec BD ce qu'exprime précisément la seconde équipollence.

On sait que toutes les propriétés de l'addition peuvent se déduire de celles que nous venons de démontrer.

Soit encore AB li; » BG i^i; b CD =i: e.

Si l'on projette les points ABCD parallèlenieut à une droite sur une droite quelconque en « p 7 3, on aura (§ 100)

„3 + f.y + yS + S« = ou k3 ^ aS + iy + yS

c'est-à-dire que la projection «,5 de la somme géométrique AD des segments abc d est égale à la somme algébrique des projections de ces segments.

§ 355. ~ Soiimaction. -Soil a =^ b + r, prenons ARii: b 13C^ c on aura par définition AG ^^ a ; dans les mêmes conditions nous écrirons c^a— boub^ a — c;!a soustraction est donc définie comme l'opération inverse de l'addition. Mais ce qu'il y a d'important, c'est que la soustraction se ramène immédiatement à l'addition. En elîet, soit 0' le segment égal parallèle à c mais de sens contraire.; dans la même figure que tout à l'heure on aura : AG ^ a, CB ;^ c" donc AB sera équipotlont à a -|- c' donc :

(1 =i; a -{- e' mais ou a b ^ n — c donc la soustraction de c équivaut à l'addition de c' égal et do sens contraire.

La tiiéorie précédente s'applique sans modification sensible, au cas des segments non situés dans un même pian. Mais pour la multiplication il n'en sera plus de mÈme.

LEÇONS SUR LES MÉïHODES DE LA OÉOMETRIE MODEIINE 219

J'appellerai segment unitaire un segment dont le module esl é^al à l'unité. 11 est complètement défini par son argument.

Un segment parallèle à ox sera dit une quantité réelle ; si ce segment est du sens ox la (luantitô est dite positive. L'argument est alors zéro ou un multiple de 2-, si le segment est du sens oppose à ox, l'argument est r ou un multiple impair de tt et le segment est dit négatif.

§ ,356 — Multiplication. —- Un segment a est dit égal à b X c, si ie module de a est égal au produit des modules de h et c, et l'argument de a à la somme des arguments de h et de c. 11 est clair d'après cela que l'on a 6X c ^ c X b, et que a X E> X c Si: a X (& X c).

En eflet, si B C A sont les modules de (> c a et fi 7 « leurs arguments les égalités précédentes résultent de ce que :

BXC = GXB AXBXG=;AX(I!XC)

Une autre propriété très importante do la multiplication est ceik qui s'exprime par l'égalilé.

('j + c)Xa=^''Xa-|-cXfl

Pour la démontrer soit OB ^ 6 '^C'^c alors OC ^ )) + c.

Soit p le module, ]•■ l'argument de a : taisons tourner le triangle OBGlout d'une pièce d'un angle «, et agrandissons ensuite ses côtés dans le rapport de ,0 à l'unité ; nous aurons un triangle B" C" dont les côtés sont les côtés du triangle B C tous multipliés par n ,

On aura UB" ^h V. fi, B"C" - c X a C' ^ (6 + () X «

mais d'autre part par la définition do l'addition on a

C" bi; B" + B" C" donc (l) + X (i = '' X a + r X '(

Ce qui démontre la proposition.

Remarquons encore qu'un segment n'est pas altéré quand on le multiplie par un segment égal à -[- 1, c'est-à-dire de module 1 et d'argu-

220 LEÇONS SDR LES MÉTilODES DE L.\ GÉÛMI']TR1K MODERNE

ment nui. Il est changé de sens quand on le mulliplifl par— 1. {Segment de modula 1 et d'argument ir)

Le produit de deux segments réels- et positils est réel positif, el égal au produit arithmétique île ces deux segments. La multiplication d'un segment réel par un segment négatil change son signe. Tout ceci se vérifie lacîlement.

La règle de multiplication des polynômes s'applique à la multiplication des segments puisqu'elle est fondée sur les (iroptiotés de la multiplication démontrées ci-dessus.

Représentation nouvelle des Segments

§ 357. — Soit M un segment, I' la projection do M sur OX, soit OP^=x PM^^ t/, X et y sont les coordonnées de M. Désignons par i un segment de module 1 et d'argunteat -î-, on écrii'a d'après nos notations.

OM^OP + PM H étant sur l'axe o £ sera simplement représenté par «■, P M c'est y X i, puisque c'est îc segment réel y qu'on a lail lournnr de l'angle -^- . On écrit doiic avec nos notations.

M =i ,r + VI

D'après la propriété de la multiplication, si .M' est un aiiU'o segment tri ijue

OM X OM' ^ xj:' + ■>!i-'' + '■■'■!!■ + i'tnf

les segments iy.r' i.ci/' sont tous doux p^n-tés sui' une paralliMe à OY leur somme est donc égale à i (yx' + xu') \o signe + dans la parenthèse ayant le sens de l'addition algébrique, de même cou)mc la mul-

tEÇOKS SU[\ Ll".^ METilODlW DK L\ GEOMIiTUIK MODEUNE li\

tiplieation pari' équivaut à ajouter deux lois -J- à l'argument, i'/y;/' représente un segment por.lo sur ox en sens inverse de y y' de sorte {[ue x3f -\- i, ytj équivaut à xj/ ny' le sigae — ayant le sens aritliinétique. On peut doDC écrire

OM X OM' ^ '.a' - y}j- + i (ya' + xy'} les signes ont le sens ai'illiniéti(|ue sauf celui qui est place devant le synibola i.

On aboutit ainsi au calcul des imaginaires tel qu'il a été établi autrement, à la huitiènio leçon.

§ 358. — Mais on va déduire de cette manière d'envisager les choses des lonuules de trigonométrie.

Si OM a pour argument a et pour module R, on voit que x — R cos a y ^R diia. Ces formules sont vraies en grandeur et signe ; car si R était égal à l'unité, xety seraient par définition mêmeie sinus et le cosinus de l'angle a-

De même, pour un autre segment M' d'argument «.' et de module R' on aura, af = R' cos a' y' — Wsina.

Or, d'après la définition même de ia multiplication ;

OM X OM' ^ HR' cos (ri + a') + i RR' nn (n + a') dans la [ormule

OM X OM' - .rvf - un' + i (ys' + .■■;/') Remplaçons x et y par leurs valeurs ainsi que x' y', on a ;

OM X OM' ^ RR' (ras a cos a! — sm a sin a') -\- i HR' {.sot a cou a' -|cos a sin a').

de là résulte que;

(') cos (ffl + <i'j — COI a cos a' — sin a sin a'

(-) dn {a + «') ^^ sin a com' -\- cos a sin a'

Ce sont les lormules d'addition des ares que l'on retrouve ainsi d'uac laçon un (jcu indirecte.

Si l'on a plusieurs (juantilés, de module 1, cos a-\- i sin a, cos a + i sina\ cosii''-\-isina" etc., leur produit est égal à cos {a '\- a' -\- a" -]r ■■■) + i sm (ffl + ffi' + a"). d'où il résulte ensuite en les laisatit toutes égales entre elles, que

(') cos ma + i sinm a = {cas a~{-i sin a)'"

Je vais démontrer qce cette formule subsiste quand m est fractionnaire; à ect effet, je remplace dans la formule m par p, et a par

cos a -\- i dn a= | cos -^ + i ■s'î" - 'J de sorte que:

■ co^^+i sin-^^-\/ cos a + isln a = (cos a + i ./» a)"

11 faut toutefois faire atteotioa que quand un segment est donné, son argument n'est déterminé j^u'à un multiple de 2jr près.

Or si on remplace a par lï -|- 2 Ktt, K étant entier, cos a al sin a ne changent pas, mais cos — etsm — . changent; l'égalité précédente exprime donc simplement que le premier membre est l'une des valeurs que peut prendre le second. La formule correcte sera;

cos — ^-T "> -L jsïJi jUî z= [cos a 4- i sin a)

et en multipliant les arguments par m, et ayant és'ard à (')

(•) » Fî±^'] " + ■' •*• '^^^^'^ = !»"■ + * •''" «t"^

eo qui est la[ormulc(")oii m est remplacé par -^-

§ 359- — Je ne veux pas ici faire la théorie complète des exponentielles imaginaires, ce qui m'entraînerait trop en dehors de la géométrie pure ; je veux néanmoins établir une notion qui nous sera utile

LEÇONS suit LF.S MlîTHODIiS IIK LA GliOMRTllIIÎ MODEBNK 223

sinon indispensable pour la géométrie nou enclidienne dont je dirai quelques mots au chapitre suivant.

On sait que le logarithme do a dans la base a, est le nombre u tel que «u := z; les propriétés des logarithmes peuvent se déduire tous de cette propriété unique que log s -\- log s' = ïog z^". Et si nous posons log s^:=u log i' ^= o, on aura a" zz: s a'" ^ s', et la propriété ci-dessus résultera de ce que a" X a*' ^= a" + ''.

On voit aussi que la hase la plus commode en analyse est le nombre e qui est la limite de I 1 -|- — 1 pour m infini, et sur los propriétés duquel nous n'avons pas à insister ici.

Soit maintenant une imaginaire «-|-^i^ ! nous poserons par définition

b" + i f^= e " (ras Ci + i sin fi) Je vais montrer que ia propriété t" X c" = e" "'" " s'applique encore ici : en eilet elle équivaut à

e" (eos |3 + i sinfi) X e"-" (cosf-J + i sinf/) zm e"- + "' [cos d^ + ,^5') + i sin (i5 + , S')]

et se déduit immédiatement de la définition delà multiplication.

Cela posé, nous définirons le logarithme d'une imaginaire A + Bi comme une autre imaginaire w, celle e«- =^ A -^ Bi.

Cherclions d'après ceîa le logarithme de r{cos6 + i dnd] on devra avoir:

ex + iv — i- [cosB + isinS] c'est-à-iîire ;

«■'! {cos y-\- i sin y) := r [coxQ -\- i sinli)

Les modules des deux membres doivent être égaux, leurs arguments doivent être égaux à un multiple de Stt près, on doit donc avoir

is>::^ r d'où ai := log r ■i; iiz « + 2 Ktt Le logarithme cherché est donc : log !■ -\- i {6 ■-{- 'i K-)

224 LEÇONS SDR LES MÉTHODES DK L.\ GÉO>ilîïHIE MODliUNI!

§ 360. — On voit qu'il y a une iulinitc de lo<j:aritUiiies, qui différent cutrn eux ijuc d'un multiple de 2 in. Si ^= auquel cas le nombre donné eat réel et positil, l'un d'eux est réel ; Si 'J = -, (nombre nÉj^otif), la partie îmaginaire est' un multiple impair de ii? ; si r = 1, e'cst-à-dire si la quantité donnée a pour module 1, les Ingaritlmics sont purement imaginaires. Le cas que nous aurons à cousidérer dans îa suite est celui où l'on a un rapport anliarmonique.

■i( et u' étant des quantités imaginaires conjuguées, m et m' des quantités réelles: alorsiit— M et m— m' sont conjugués, ils ont même module, le module do y.rl^, est égal à 1, de mfime celui de ]j^i~^[ ■ Les logarithmes du rapport anharmoniquc considéré sont donc des imaiïinaires pures, et leur quotient par 2 j est une expression réelle. D'après ce que nous avons dit, la iôrmule

Loij. % + Lo(j. «■ = Lo(j. sf L'st onrorc vraie ici, seulement comme les logaritlimcs ont plusieurs valeurs, il est pius correct d'écrire

Log. 3 + Log. z' — 2\i-i-\- i.rm. zz Dans le cas eontraire, il laudraiE entendre que l'une des valeurs du premier membre est égale à l'une des valeurs du second.