J" 1 II
dx" '
-Pn'l = O,
qui \<'Ti(ic]il les conditions
«1 (c) = I. "'lO') — o.
u.^ (c) — o. ii'^ (c ) = I,
'(-II
Chacune de ces n fonctions m, ( .x) u„(x) est l)ien déterminée
et unique.
Ui{oc). .... /f„(.'r) constituent un système londamenlul d'inlé- «ii-ales pour Téquation homoi;ène, puisque toute intégrale de cette équation est une combinaison linéaire et lioinogène à coelficients constants de a,, iio^ •••5 "„, et réciproquement.
Rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour que
// solutions //,. Mj u„ de l'équation homoi;èue foruient un
syslèuie fondauiental est que leur wronskien
soit j^ o.
Ce wronskien se calcule pai- la formule d'Ahel
Il nr. jietit être nul en un point sans être identiquement nul.
Une autre condition nécessaire et suffisante jiourque le système de solutions u^^ u,- ■ ■■■, Un soit fondamental est que //,, ..., Uu soient linéairement indépendantes, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de constantes, non toutes nulles, c,. r^. .... c„ telles qu'on ait identiquement
Cl Wi -- Ci Un-h . . .-' C„ Un = O.
]^a condition A^o est la condition |)our que les n solutions iii Il,, soient linéairement indépendantes.
LES TIIÉORKUES D EXISTENCE. 15
>i l'on revient à l'équation non homogène
djc" ^ d.r"^
sa solution générale s'obtiendra en ajoutant à une solution particulière M, la solution générale de l'équation homogène
Ci r,, -T- f,T,j -f- . . . — c„ r,„
(c^ c» étant des constantes, r,,....,Y„i un système fondamental de solution de l'équation homogènej.
I i ciiapitrb: h.
IJ<;S ANALOGIKS DES SYSTÈMES DIKFÉREM'IELS LINÉAIHKS AVEC LES SYSTÈMES ALGÉBRIQUES LINÉAIRES (').
A. Les systèmes algébriques. — Dans ses recherches sur les équations dilFérentielles, Sturni, comme beaucoup de ses prédécesseurs, lut amené à les envisager comme limites d'équation aux différences finies.
Considérons, par exemple, léquation
d- u du
p, q, r sont des fonctions C(mlinues de x dans l'intervalle fA, B). On imagine que (A , B) ait été divisé en k parties égales par les
Imï. I.
points X,, iPo, .... .r/t, . ^x désigne l'une des difterences
Ou
cr/, = B
\u(Xi)= U{x,-^i) ll(.Vi),
a^uixi) = u(Xi+i) — 1U(Xi+i) -h u{Xi).
(•) Pour les faits purement algébriques, voir, par exemple : BôcnER, Introduction to Higher Algebra, New-York, 1907, ou l'édition allemande de 1909, Teubner.
Pour la théorie de l'équation adjointe, voir : Darboux, Théorie des Surfaces, t. II, Chap. V. Pour les systèmes diiïérentiels, voir :
BACHER, Trans. Amer. Math. Soc, t. XIV, 1918, p. /,o.?.
ANALOGIES DES SÏSTÈMES LIXtVIRKS DIFFKKENTIELS 01 ALGEBRIQUES. l't
Gt)nsidérons alors réquation
^. -4-/>(.r, (— ^- q(T,)uf,ri) = r(3-,)
qui devra avoir lieu pour toutes les valeurs t= o, i, i, ..., k — 2. Si l'on uiultiplie les deux membres par Ax', l'équation s'écrit
y P.uiT,) ■+- Qiu(Xi+t ) -+- Ri«(ar/H-,) = r„ ri=r<x,)\x*- I a = o, i, i, .. ., k — a).
L'équation ( i), qui lie les valeurs de u en trois points de division consécutifs, doit être ivalable, on la vu, pourt = o, 1, ..., k — 2. Elle donne donc naissance k k — i équations algébriques entre les A -f- 1 inconnues u{Xo), u(x,), ..., m('x/__,), u{Xh). Si k tendait vers l'infini, l'équation différentielle initiale apparaîtrait donc comme la limite d'un système d'équations linéaires algébriques, dans lequel le nombre des inconnues, surpassant toujours de deux unités le nombre des équations, tendrait vers l'infini.
Le système (i) admet eu jrénéral une infinité de solutions dépendant linéairement de deux constantes arbitraires. Sans entrer dans les détails, ceci fait prévoir que l'équation différentielle aura une infinité de solutions dépendant linéairement de deux constantes arbitraires.
Si Ton avait une équation différentielle linéaire d'ordre /i, on pourrait la regarder comme limite d'une équation aux différences finies, c'est-à-dire d'un système algébrique linéaire dont chaque équation relierait les valeurs de la solution u en n -j- i points consécutifs choisis parmi x^, x,, — Xa, le nombre des inconnues surpassant de n celui des équations.
Nous allons étudier dans ce Chapitre les analogies des systèmes différentiels linéaires et des systèmes algébriques linéaires.
Nous envisagerons d'abord le système homogène algébrique
i «11 Çi -H a„ ^, -(-... -f- a,> ç> = o,
«m $1 -^- ûMi $ï -H . . . H- ans Çk = o. On sait que :
iC, CHAPITRE 11.
j" Le syslènK- (:>.j poul ii"a\<>ir- <[ur la solution
Il est dit alors incompatible.
■>J^ Si le système (:>.) a plusieurs soliilions
in
ou aura une solution plus ^('-nc-rale par les tormules
où C|.c'2, ...sont lies constantes quelconcpu;s, et Ton peut t«)ujours trouver un nombre lini de solutions telles que cette dernière io)mule donne la solution iién<''rale d\\ système {'i).
Si ces solutions en noud)re (ini sont linéairement indépendantes, on dira qu'elles forment un système fondamental de solutions du systèîne (2).
Rappelions que des solutions
sont dites linéairement indépendantes s'il est im[)ossible de trouver des constantes k\ A", . . . non loiiles nulles telles que Ton ait à la lois
Le rani^ du tableau
