I.KS THKORKUES d'eXISTENCE. f

lioa ordinaire de />, 7. /•. -'• -''. G est ce qu'oa appelle une fonctionnelle de ces ciuq arguineuts, c'est-à-dire une fonction de x déterminée dans (A, B) par les trois fonctions p. y. /• détinies dans (A, B) et les deux consUintes y et -''. Nous nous bornerons ici au cas «»ii p. q. r si»nt continues.

Dans ces conditions, je dis que la fonctionnelle

est une. fonctionnelle continue de ses cinq arguments, c'est-à-dire qu'étant donné un nombre positif 0 aussi petit qu'on voudra, ou j>eut déterminer un nombre positif t tel que, une variation quel- «onque des fonctions/), q. r partout inférieure en valeur absolue à î. dans l'intervalle CA, Bj, et une variation quelconque des conslantes y et y' également inférieure en valeur absolue à s, entraîne pour la fonctionnelle J une variation qui, dans (A, B), est partout inférieure en valeur absolue à o.

On répond donc à la question posée au début en démontrant que M = ^ (p, q. r. -\ y ) est une fonctionnelle continue.

En elfet, d'abord on démontre comme pour les fonctions continues que la somme, le produit de plusieurs fonctionnelles continues, sont des fonctionnelles continues. On voit aussi très aisément que l'intégrale

•!/ = I *•'/>, q. r. Y, y' ) dx •' 1*

est une fonctionnelle continue si 4> Test.

Il suit de ces propositions élémentaires que les termes des deux séries ^v„ et 5]r',, sont des fonctionnelles continues de />,//./■, v, */'. Ces deux séries de fonctionnelles ont leurs termes respectivement inférieur? en module à ceux d'une série de constantes que l'on peut facilement calculer d'après les expressions connues de r„ et t'„, en supposant que nous nous restreignons au champ fonctionnel formé par les fonctions p, q. r continues en x dans CA, B)

et Unies ainsi que v et v'.

>t étant une certaine constante.

lï'K-V

CIlAPlTRi; 1.

On choisira G^|P| |, \i\ |, ({iiels que soient p, </, r, y, v' dans ce champ, et l'on voit de suite que cesl possible. De même on clioisira M ^ |y->| - j </ |, par exemple M = :iN .

Les deux séries St',/ et Sr^^ sont ah)rs uniformément converg;entes dans le champ précédent, cest-à-dire qu'on peut déterruiner un indice N| tel que, pour Ai|>]\,,

-l-oo

hx

Pi

soient -< z quels que soient />, ry, r, y, y' dans le champ envisagé. Chaque fonctionnelle (',n '« étant continue, on démontre, tout comme pour les séries dont les termes sont des fonctions continues, que les sommes Si',, et "^i^',,-, c'est-à-dire u et «', sont des fonctionnelles continues àe p, ry, /•, ^', y'.

Remarquons d'ailleurs que rien dans le raisonnement précédent ne nous enqH-che de su[)p<)ser que p, y, /•, tout en demeurant finies, ont un nondire fini de discontinuités.

Enfin, cette méthode de \arialiotis s'applique si p, cj , r sont analytiques par rapport à la \ariable complexe x dans un domaine D. Toute |>etite \ariationde p, q, r qui laisse analytiques ces (onctions produit sur a, ii' une \ariation iinifornK-ment petite dans toute réijion intérieure à I).

()" Equal ions quiisi-di lièrent ici les :

Soit uwv ('(piiition lie la l'orme

-7— «1 -;— ( an ) ^ hu dx L dx ~

/-;— ( au ) - lia — /•

dx '

Si a. rt,, b sont dérivables, on a une équation d illerentielle ordinaire en effectuant les différentiations.

Si «, «,, h. /, </, /• sont des fonctions continues non dérivables, on n'a plus affaire à une ('quation ordinaire. Nous supposerons d et a, partout -^ o dans (A , Hj.

Une solution de cette équation sera une fonction a (pii perm<;llra d'effectuer les dilïV-i-entiations et (jui vérifiera aussi l'équation pri'cédenle.

u n aura pas de déri\<'e lorsque a \\ aw aura pas, mais au en aura une. Donc la relation ])r(''cédente n'est pas, comme les équa-

LKS TIIÉORÈHES d'eXISTENCE. I I

lions ditférenlielles ordinaires, une relation entre les valeurs de u et de ses dérivées première et seconde. C'est ce que nous appellerons une équation quasi-dijférentielle. Notre méthode d'approximation s'applique; ou partira d'une fonction a© qu'on substituera dans — L-r- (au) — qu~t- '', et telle que au ait une dérivée

continue. De proche en proche, ou aura par une série la solution u cherchée et unique vérifiant les conditions

lé""'^].

D'ailleurs, ces équations se ramènent à des systèmes différentiels du premier ordre en posait

y = au,

z = hu ->- a, y',

grâce aux hypothèses a 7^ o, ai ^ o.

7" Ce que nous avons dit de l'équation du deuxième ordre s'applique sans modification essentielle à l'équation du n'^'"^ ordre et au système difl'érentiel