ANALOGIES DES SYSTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS OU ALGÉBRIQIES. I
jours N — p. Ce nombre sera appelé indice de compatibilité du système (2) ou simplement indice.
Le lecteur a déjà remarqué l'analogie frappante de ce qui précède avec les traits rappelés à la fin du dernier Chapitre, relativement à Téquation diflerentielle homogène.
Si Ton envisage un système non homogène
! «Il ;i— •-.-!- «IN ;.\=^i,
«m Çi -r- . . . -h aux f x = 6m,
on est amené à considérer, parallèlement à la matrice
/au ... «IN \
la matrice augmentée
au ... ais bi \
«Ml ••. «MN 63*/
et l'on sait que la condition nécessaire et suffisante pour que le système (3) soit compatible est que le rang de la matrice des a soit égal au rang de la matrice augmentée.
Dans ces conditions, la solution générale du système (3) s'obtient en ajoutant à une solution particulière la solution générale du système homogène (2).
o. Les systèmes différentiels. — Le système (3), dans le cas où M = N — n. est l'analogue d'une équation linéaire d'ordre îï, non homogène. Pour avoir l'analogue du système algébrique où M = N. il faut ajouter, à l'équation différentielle d'ordre n, n conditions supplémentaires que devra vérifier la solution. On pourra prendre, par exemple,
cnAPiTiii; 11.
di II
c étant uti point de (A, B). u^'Hc) la valeur de -^ au point c,
cf y, y', ..., yf" '^ n constantes quelconques. (Ces a conditions, si Ton passe à l'équation aux différences finies, donnent en effet // relations entre les valeurs de u en « — i points consécutils à c, donc n équations linéaires à adjoindre aux JN — n que fournit Féquation elle-même.)
Nous allons envisager dans la suite des conditions supplémentaires plus générales :
i" On [)eut prendre deux points a, b dans rintervaile (A, B), ou dans le domaine de Weierstrass, où l'on astreint x à demeurer, et imposer à une solution la condition
au(a) -+■ ol'u' {a) -f-. . .h- a'"-i''«^"-"(a)
a, a', . . ., P, ^', y étant des constantes. (11 serait inutile d'introduire la dérivée /î'^""= de «, puisque l'équation différentielle permet de l'exprimer eu fonction de a, u' . ..., «^"".)
Nous désignerons par U(a) le premier membre de la condition précédente. Nous prendrons dans ce cas général m conditions de la forme précédente
On pourrait prendre Ji points a, />, ... dans (A, B), au lieu d'en prendre seulement deux, et imposer une relation linéaire entre les valeurs de u et de ses {n — i) premières dérivées aux points a. b, ....
2" On pourrait considérer un deuxième tjpe de condition
/l"*'/!''' •••'//"" étant des fonctions données de x (jue nous supposerons continues pour éviter toute complication.
3" Enfin, en faisant pour U/( m) la somme d'une expression du type i" et d'une intégrale du type 2" ci-dessus, on pourrait prendre les conditions plus générales
AX.4LOC1ES DES STSTÊMES LmÉAI«£S DIFFÉBEXTIELS Of ALGÉBaïQlE?. 19
Ces conditions sont linéaires à un double point de vue :
i" On peut les envisager comme limites de relations linéaires
entre les valeurs de m aux k points de division de l'intervalle (A, B)
quand k augmente indéfiniment.
:>" Si l'on a plusieurs fonctions a,, «j, ... et qu'on forme la
fonctionnelle U/ pour la fonction c, m, -j- c, «3^ .... c,. <•->... étant
«les constantes quelconques, on a
U,(c,«, -i- c,«i--. . .; = c, ti,(//,) -r- CîU/(a5) -H. . . :
cette fonctionnelle U/f m) est dislributive, et l'on sait que la disiributivité est le caractère essentiel des expressions linéaires algébriques. Toute expression possédant cette propriété dislributive peut être dite linéaire.
Ceci étant posé, nous envisagerons les systèmes différentiels de la forme
... d" Il dx"
d"~^u dx"~^
PnU-
Les conditions U/(a) = o peuvent être des conditions linéaires du tj'pe le plus général 3» envisagé ci-dessus.
Si m est quelconque, ce système est lanalogue d'un système algébrique linéaire de M équations à N inconnues que nous avons noté (2) au paragraphe 4.
L'analogue du système (3) (§ 4) serait
Uf(«) = Y, (r = I. 2, m)
Pour ces deux sortes de systèmes, homogènes et non homogènes, nous allons développer une théorie de la compatibilité analogue à celle que nous avons rappelée pour les systèmes algébriques (2> et (3) du paragraphe 4.
Prenons un système homogène (i) :
1° Ce système peut n'admettre que la solution u = o. Il sera dit alors incompatible.
2" Il peut admettre des solutions Tj,, tjo, ..-, /"i/c linéairemenl indépendantes. On aura toujours /c^n, puisque l'équation L(m)= o a au plus ji solutions linéairement indépendantes. Dans ces conditions,
sera une solution du système dépendant de /c constantes arbitraires C|, 0-2, ..., c/s- Nous appellerons système fondamental de solutions un système de solutions linéairement indépendantes y),, r,2, ••., YjA donnant la solution générale du système ditï'érentiel par la formule
Cl Ta -+- C2 r^2 -+-••• -^ C/cT^l,.
Si l'on considère le système avec deuxième mcjnbre (2) : 1° Il peut n'avoir pas de solution, car il peut arriver qu'aucune des solutions de h[u)=^r ne vérifie les conditions supplémentaires ;
2° Il faut admettre une solution Mo- Alors si 'r\\,'i\-2i •••l'fik constituent un système fondamental de solutions du système homogène (2) correspondant à (i), la solution générale de ce système (2) sera
"o+crrji-t-.. .H- c/,r,^,
C|, ..., Ck étant k constantes arbitraires. On a vu que, pour qu'un système algébrique homogène ^(2) (§ 4) ait A" solutions indépendantes, la condition nécessaire et suffisante est que le rang de la matrice /«"-«'"') soit i\ — /.-.
Etudions, pour le système différentiel homogène (1), une condition analogue.
Soit M,, Ma, ..., Un un système fondamental de solutions de Li(w) = o. Glioisissons les constantes c,, . . ., d telles que
vérifie les conditions
U, ( i( ) = o ( i = 1 , 2, . . . , m ) ; on a les conditions suivantes pour déterminer les c/ :
CjUi (Wi)-hC2Ui («2) +•••-+- C;jUi (a„) = o, C1U2 (Mi) -h C2U2 («2) -H. . .-t- 6"„U2 (m«) — o,
ClU„,(Mi)-i- C2U,,, (U2)-h...-+-C„U,;j(Mrt) = 0.
A>ALOGIES DES SYSTEMES LINEAIRES DIFFÉRENTIELS OL" ALGEBRIQUES. 21
Ce sont des équations linéaires et homogènes en c,, . . ., c„. Il faut considérer le tableau
U, («,) ... Uî (Un)
,U„.(ai) ... Ll „,(«„),
Si A est son rang, on a /i — A solutions linéairement indépendantes pour C|. .... Cn- Chacune de ces solutions donne une fonction w = C| M, -r- ... -r CnM«. Nous trouvons ainsi n — A solutions linéairement indépendantes pour le système (i). [Ces solutions sont linéairement indépendantes puisque a,, ..., M/, est un système fondamental de L(m) = o.]
On a donc ce résultat :
La condition nécessaire et suffisante pour que le système homogène (i) ah p solutions linéairement indépendantes est que le rang du tiihleau ç soit n — p.
Ce résultat est théorique. Il suppose qu'on a résolu l'équation L(a) = o.
Envisageons le système (2) avec second membre.
Soit Mo "ne solution particulière de L('w) = r, et «,.«0, — u„ un système fondamental d'intégi-ales de L.(u) = o.
Alors u = Uq-^ CiU,~ . . . -T- c,iU„ est la solution générale de L(m) = r; pour qu'une telle solution vérifie
il faut et il suffit que les c, vérifient les équations
c,Ui («i)-l-c,U, {Uî)-h...-\-c„lJ, (m„) = yi — Ui (Mo),
CiVm(Ui)-^CîUm(Ut)-i-' . --^ C„lj m(u„) = '(„— U„,(ao)-
Il faut alors envisager, conformément au résultat trouvé pour le système algébrique (3) (§ 4), les deux matrices
et
/U, («,) U, («,) ... U, («„) Yi-L'i(Mo)\
\U;„(«,) VmiUl) ... V,
Ul («n) Vl —^'1 ("o)\ Um(«/i) Y//I— U„(«o)/
rx CMAlMTKIi: II.
J^e système (llUérenliel ( :>. )aiira des solutions si G el cT, ont inèinc rani^.
Si // — p <;st ce r.uig coininua, le système (^j aiiia alors une inlinité de solutions dépendant linéairement de p constantes arbitraires, puisqu'il en est ainsi du système qui détermine les c/.
Ce résultat, tout théorique, suppose résolue l'équation \.{a) ~- r.
Gependaul, si leraui; de G est /i et si en outre on suppose in = /i, le système homogène; (i) n"a pas de solution, mais le système qui détermine les c*/ a toujours une solution unique. On a donc l'énoncé suivant sous une lorme indépendante de G et Gi, énoncé qui a son analoi^ue pour les systèmes linéaires algébriques :
Si rn^^ii et si le système homogène (i) est incompatible, le système (2) a toujours une solution et une seule.
Le parallélisme des systèmes lin(îaires algébriques et ditïerentiels peut se poursuivre. Pour ('-viter de trop grandes complications, nous n'envisagerons pas dans la suite les conditions aux limites de la forme U/(a) = v, où entreraient des intégrales du deuxième type signalé. Nous nous bornerons même à imposer aux solutions // des « conditions à di'AW points a et h », c'est-à-dire de la lorme
dont les conditions à un point ne sont qu'un cas particulier.
La théorie du système adjoint à un système dillV-reutiel donné présente également la plus gr.uide analogie avec la théorie parallèle dans les équations alg('briques.
6. L'équation adjointe. — Rappelons d'abord quelques propriétés de l'équation adjointe de Lagrange. Si l'on considère une expression dillérentielle linéaire
et si l'on cherche à déterminer un mu Itijjlicaleur r Ici que vL(u) soit la dérivée d'une expression linéaire par rapport à u. u'^ . . .,
ANALOGIES DES SYSTHMES LIXÊAIBES DIFFÉRENTIELS 01" ALGÉBRIQUES. iZ
u'"~*K on trouve que f doit satisfaire à l'équation différentielle
qu'on appelle l'équation adjointe de Lagrange. On suppose évidemment dans ce qu'on vient de dire que tout coefficient /, admet des dérivées continues jusqu'à l'ordre /. On particularise ainsi la fonction li. Nous lèverons plus tard cette restriction. Nous supposons enfin que In^^ dans tout l'intervalle (A, B^ considéré afin que l'équation L(a) = r. quand on divise ses deux membres par le
coefficient de —, — > ait des coefficients continus en toui point de
l'intervalle.
Si nous désignons par M(p) le premier membre de l'équation adjointe
DU démontre aisément l'identité
<'i) vUu)~uM(v)=-^P(u. V),
ax
quels que soient u et v. P(u, v) est une forme bilinéaire relativement aux variables a, u', — a^"~", t-, V*', — v^"~*K
Si l'on intègre les deux membres de l'identité (i) entre a et b, deux points quelconques de l'intervalle { A, B^, on a l'identité
(ti) / [vUu) — u}A(v)]dx = [?iu,i)]i.
Ces deux formes (\) et (2 ) sont équivalentes, car si l'on suppose que (2) a lieu quel que soit b dans (A. B), en diflérentiaiit les deux membres de (2 ) par rapport à la limite supérieure b qu'on peut appeler x. on retombe sur (i).
Nous appellerons ( 1 ^ l'identité de Lagrange et ( 2 ) Va formule de Green, bien que (\) et (2) aient été données par Lagrange et que Green n'ait pas donné la formule (1). Mais (2) est l'analogue pour une dimension de la formule célèbre de Green, qui, dans certains cas. permet de ramener le calcul d'une intégrale double à celui d'une intégrale curviligne; ceci explique la dénomination que nous choisissons.
Lorsqu'on a établi l'identité (i) ou (2) on en déduit de suite la propriété du multiplicateur, car si v est solution de l'équation adjointe on a M(r) = o, d'où
dx
Si l'on intègre les deux membres entre A et B, on a L'intégrale / i'L[u)dx s'exprime donc par une fonction linéaire
des valeurs de u, a', ..., a^""" aux deux points A et B.
Cherchons l'analogie pour les équations algébricjues. Pour simplifier, supposons que L(f/) soit une expression différentielle du deuxième ordre, alors le deuxième membre de (3) est une fonction linéaire des valeurs de u et u' en A et B.
Ce qui correspondrait ici à l'expression L(a), c'est M formes linéaires en q,, c,->i ••■, ^s (M = ÎS — 2),
«Il ?1-+-. ••+ «l.N b-,
«Ml^l + . • .-H aMN^N-
ç,, ..., c,j^ étant les valeurs que prend u aux points de division de l'intervalle (A, B) [d'après l'équation aux différences finies qu'on a substitué à L(a) = /•]. Multiplier L (m) par une fonction i^ et intégrer de A à B, aura pour analogue ici : multiplier les formes précédentes respectivement par des constantes j',, y-2, ...,}'j,, et
ajouter les résultats; déplus, / vL(u)da: s'exprimait linéaire-
ment par les seules valeurs de a et u' en A et B. Or, la valeur m (A) correspond à ç,, a(B) à ^;^; u' (A) correspond dans l'équation aux différences finies à une expression linéaire en Çj et ç^j u'iB) à une expression linéaire en Çjy^j et ç^ ; nous aurons l'analogue d'un multiplicateur ^^,^1 choisissant les constantes )■, , ..., j-j, telles que l'expression
ri ( «I t çt ■+■ . • . -+- «iN ?N ) +- • • • -H JKM («Ml ;i -H ■ . . -H «MN h )
ne renferme que les valeurs de ç,, ^o, ii^i, ^^.
