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ay\
S appelle déto-niinant de la J orme.
Si A r/-' o, la tbniK' est ordinaire; si V ^ - o, la loriiic est sinj^ii- Jière.
Faisons sur les .r, une subslirulioii qui les remplace par les X/,
Xi = r, 1 .rj -+- r|,.r.2 -f-. . . -h ds ^\,
\>j = Cm 371 -H C\2X2 -^ . . . -i- CSS^S-
Nous supposons que cette substitution est ordinaire, <;'est-ù-dire que le déterminant G = [ c,7f| n'est pas nul.
On peut alors remplacer les x; en l'onction de X, dans la forme bilinéaire donnée qui pr(;ndra la l'orme ^di/^iy/.
La forme transformée est sintiulière ou ordinaire, selon que la proposée était singulière ou ordinaire.
Envisageons (;elte forme transformée; on penl l'écrire
à condition de [)oser
Y] = ditji-+- '^i'2Xi-+- .. •-+- '^iN JN,
Y.\ = <5^.\l JKl -t- </.\2 J-o ^- • . . - dyyVs.
Ceci est une substitution (|ui remplace les )'/ par les Y^. Si la forme proposée est ordinaire, (^elte substitution est ordinaire.
Donc, en supposant la forme initiale ordinaire, on peut, par deux substitutions convenables ordimires faisant passer des Xi
auxX/, et des j/ aux \ ,-, réduire la forme initiale V a/,\r/ >-, à
la forme canonique \ X/\,-.
( — 1 Le déterminant (^ étant ^ o. les formes X,,Xo. ..., \,^ enr, .r^^j sont indépendantes, on pourra les donner arbitrai-
AXALOGIKS DES SYSTÈMES MNKAIRES DIFFKRKNTIELS OU ALGÉBRIQUES. 27
rernenl. Les formes \ ,. ..., \ j, seront alors bien déterminées par le choix des X/, et elles seront indépendantes puisque leur déterminant D ^' o.
Si. laissant p des formes X, invariables, nous changeons les ^ = N — p restantes, quel sera l'ellet produit sur les formes 11 / ?
Lorsque nous choisissons les formes X ,, ..., X^,. Xp^i, ....Xp^^.
les formes \ correspondantes sont ^ ,. ^.j ^ p' ^/j+i" •••' ^ p+q-
Si nous choisissons les formes X,, Xo, ..., X„. X' ., — X'„ „, en conservant les p premières formes précédentes, et faisant
X^^, ^'p^.. dirtérentes de X^^i, ..., X^^.^, mais formant
fivec X, Xp un système linéairement indépendant, il leur
correspondra pour les \ des formes \'^, \[,. \ ' \ ',^j . ^
linéairement indépendantes. On a évidemment l'identité
où il faut supposer les X les X', les ^ les ^ ' remplacés par leurs expressions en fonctions des Xi et des j/.
(Choisissons pour les Xi le système unique de valeurs qui rend
Pour ces valeurs de X/. les formes Xy^^., ^p+i piennent des
valeurs nuuiériques A/,^.,. .... A^^^; en substituant ces valeurs dans riilenlité (i). on a l'identitt', par rapport aux >',,
On trouverait un résultat analo^^ue pour ^l+î- • • -, ^ „^«- Donc. \e< q dernières formes ^^,, •■•. ^/,+« s'expriment par des fonctions linéaires et homogènes des anciennes q dernières ^/j+i. • • •. Y
Choisissons maintenant les Xi tels que
les Xp^, ^p+q prennent certaines valeurs numériques
Bp+i, .... \ip^(f el l'identité (i) donne l'identité suivante par rapport aux v'|.
Y', = 1 1 — Bp-^i I p^\ — ...-- tip^,f\ p^^.
Même résultat pmir \.,. ..., \' .
28 CHAPITBE II.
Les p premières formes \ j, ..., Y^ sont égales auxyj anciennes
Y, , \.> Y^ respectivement augmentées de fonctions linéaires
et homogènes des Y^^i, . . ., Y^^^.
8. Les systèmes adjoints. — Ceci étant rappelé, on a vu que si Ton considère
et si M(^/) désigne l'expression adjointe, on a l'identité de Lagrange
P(f/, ç) étant une forme bilinéaire par rapport aux systèmes de
variables
On peut former 1res aisément P(a, v) et l'on trouve
dihv) dx
' dx"-^ J
^,,^^iLii^^...^(^,y-^^"-'(^"^y
dx
dx"-"- J
Le déterminant de la forme s'écrit
{-yy-u,,
les éléments de la deuxième diagonale étant égaux à =b l^ et les éléments au-dessous étant tous nuls.
Ce déterminant est donc égal à ± (^«)" ^^i comme nous supposons que l'équation L(m) = r est régulière dans l'intervalle considéré (A, B), nous supposons In^o dans cet intervalle. Donc, le déterminant précédent n'est pas nul. La forme ^ ( u, v) est ordinaire pour toute valeur de x prise dans l'intervalle (A, B).
