ANALOGIES DES SYSTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS OU ALGÉBRIOVES
La formule de Green nous donne
[vL{u)-uM(v)]dx = [P{u, p)]â.
La quantité [P(m, ^v]« ^^^ une forme biliaéaire par rapport aux deux séries suivantes de 2n variables,
u(a), u'{a), ..., u"-^^{a), u{b), u'{b), ..., «"'-'^(ô), via), v'(a), ..., v^'»-''{a), v{b), v\b), ..., v^'^-^^b).
Cette forme bi linéaire est d'un caractère particulier; elle est, en réalité, la somme de deux formes bilinéaires : la première, par rapport aux w^''(a) et p(')(a); la deuxième, par rapport aux af'>(6) et^'('^(6).
Le déterminant de cette forme serait
^^ln{a)
±ln(a) o
termes loQS nuls
terme» nuls
in ( a ) O
±fn{b)
termes nuls
= [ln{a)]"[lr,{b)V.
11 est ^ o d'après nos hypothèses, la forme [P(w, t^)]* est donc ordinaire. Elle est donc réductible à la forme canonique.
Prenons 2n formes U,, .... U2/J linéaires en m (a), u'{a), ..., a'"-'^(a), u{b), u^"-*'(b) et indépendantes
U2„ = a,„ u(a)-~ ^ aj«„- ''"'"-^Ha)
Les U/. étant choisies indépendantes, entraînent que 2/i formes
V, V2„ linéaires en ^{a), i^-'{a). .... v^'^-'^ia), v^(6), t^'(6), ....
(;(«-' ^(6). et linéairement indépendantes, se trouvent déterminées
par le choix des L, et sont telles qu'on ail
Tout ceci résulte des propositions relatives luv lornies canoniques que nous avons déjà rappelées.
La ionnule de Green s'(;cril donc
(!) f [^>L{u)- a M {y)\d.r={}, \,„ -i- Uo V,„-i + ...-- U2„ V, ,
d'une infinité de jiianières, puisqu'on peut choisir les U» , ..., Uan arbitrairement, à condition touteiois que ces formes soient indé- [)endantes.
Il est alors aisé de délinir Je sjslcjnc adjoint au système
les U/(m) étant de la ioriue habituelle
+ a)"-'' u-"-^Ha) -r- [ii ii(ô) -;-. . .-u p^" >) „("-i'(6^;
a, b sont deux points de l'intervalle A, B. i\ous supposons, bien entendu, les formes U,(a), ..., iJ,n{ri) indépendantes relativement aux variables u{a), ..., m"'~'^(o), u(b), .... //'"-'^(è). Il est nécessaire pour cela que l'on ait /?z< a/i.
Soit donc m formes U,(m), ..., U„,(a); nous leur adjoij;nous
■AU — m formes U,„+, (a), ..., U2„(w) telles que U,, U. Uo„
soient linéairement indépendantes. Ce choix des U^^, (w), ..., U2,i(a) est possible d'une infinité de façons. Avec ce choix de U,, Ua- ••■. iJo/o la tormule de Green (i) donne ah autres formes \^, Vo, ..., V:,« linéaires eu <'(«), (''(a), .... ♦•("-''(«), r(è), ..., i^("-^')(^). Choisissons les m /^ — m premières de ces formes et formons le système différentiel
On raj)pellera le système adjoinl du système {:>.).
ANALOGIES DES SVâTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS OU ALGÉBRIQUES. il
J-,es V,, ..., Vi„„i dépendant des U», .... Ua», il semble que le sjslèine i .>) n'est pas complètenieril déterminé puisqu'un changement dans les U//,^.!, ..., Uo,, entraine un changement dans
les V , ^ 2n-/"- il n en est rien au tond, car si Ton remplace
les U,„+,. L,„+2 Ui» par d'autres formes U„,^,. U,,,^.^ U',,,,
les V'^ ¥',„ déterminés par la formule de Green. sont liées
aux V, V.2U d'une façon simple que nous avons appris à
déterminer. En tenant compte que dans la forme canonique adoptée pour [P(m. t^'^j'î- l'ordre des indices des V est renversé, on voit que V',, ..., \''.^„,„ sont donnés par des formes linéaires en \i, y -2 y m m telles que
y'i = Bj V, -i- BjVî -T- . . .-+- Bj„,„ Vïn-,,, ;
ces formes sont indépendantes en V,, Vo, .... V-^,, „,, car elles sont indépendantes en t'(a), ^''(fl); • • •■> ^(^)? *^'(^)? • • ••
Il en résulte que les conditions V, = o, ..., V^.j„„, = o sont équivalentes aux conditions \'j=:o, . . ., V.,,, ,„=: o. Le système adjoint est donc essentiellement le même ( ' ).
Enfin, si dans le système proposé (2) on remplace les U| par des formes linéaires indépendantes en U|(m), •••.L/„(m), le système (2) ne change pas essentiellement. Un raisonnement tout pareil à celui qu'on vient de faire montre qu'alors les conditions du système adjoint V , =:: o, . . ., V2„,„= o ne changent pas essentiellement. Donc, le système adjoint n'est pas altéré.
De plus, la réciprocité entre L'(a) et M(p) et la symétrie du deuxième membre de la formule de Green par rapport aux deux groupes de variables U/ et V, prouvent que le système adjoint à (3) est le système (2). Il y a réciprocité entre un système et son adjoint.
Disons quelques mots de l'analogie algébrique.
(') Les loriues V^,! „,^i, . .., V2« sont moins intéressantes que V,. . . ., \iH-m '•
cependant, Teffet sur ces formes d'un changement de V,n+t, , Uo„ est simple;
on a de nouvelles formes liées aux anciennes par des formules telles que
' tn-int-i - ^' î n- ut i-i "*" -* I » i "*"• • • "•" ^■iii-m ^ tn—iiti i étant un entier quelconque de la suite i, 2. ..., m.
Zj.
Au système différentiel (2) correspond un système homogène
h\ çi
«IN b = O
«Ml^l
«M.NÇN
On trouverait qu'au système adjoint (3) correspond le système homogène (3') dont le tableau des coerticients est simplement le tableau de (2') dans lequel on a permuté lignes et colonnes,
«11 TQi-T-
«MI r^M
«iN'^il
«MNT1M= O.
L'analogie est plus satisfaisante ici que celle signalée pour l'équation adjointe seule.
Nous ne la poursuivrons pas, car dans les démonstrations ultérieures nous n'utiliserons pas ces analogies algébriques, nous nous contenterons de les signaler quand elles pourront suggérer des faits nouveaux.
9. Quelques propriétés du système adjoint. — Pour abréger, nous ne considérons que le cas très important où m = n. On a
et son adjoint
L(a) = 0 Ui(«) = o
Nous aurons besoin du lemnie suivant :
Lemme. — Soient M), u-21 •••, Uk des solutions linéairement indépendantes du système (1). Choisissons , comme dans la définition du système adjoint, des formes \Jn-{-\ (w)? •••7 U2n(a) telles que U,, . . ., LJ,<, U„+) , . . ., Uo^ soient indépendantes . Je
