ANALOGIES DES SYSTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS OL ALGÉBRIQUES

dis alors que les k systèmes de constantes U«+i(wi), ..., Uî„(«,),

U„+i(a>t), ..., Uî„(ma),

sont linéairement indépendants, cest-à-dire ([u' il est impossible de tromerdes constantes c,, Co, .... c* non toutes nulles et telles qu'on ait

Cl U„+,(«,)-f- d Vn+iiui) ~. . , — ci,\J„^i{uk) = o pour i = i, 2, ...,n.

En effet, si l'on pouvait trouver de telles constantes, cela voudrait dire qu'on aurait

U/n-t(ci;<i-f- CjWjH-. . .— c^iii;,) — o,

puisque les opérations U sont linéaires. Or

" = Cl "1— . . . -f- Cl,llk

est solution de (i)et cette solution vérifierait les a/i conditions

Ces 2/1 formes L,, ..., U.,// étant indépendantes, les équations L i = . . . =: Uo// = o admettent la seule solution

Donc, la solution

U = CiUi— d Uy— . . . ^ au/,

est identiquement nulle, ce qui entraînerait, puisque c,, ...,ca

ne sont pas toutes nulles, que u, um ne sont pas linéairement

indépendantes. La contradiction démontre le lemme.

Ceci posé, remarquons que, dans les systèmes algébriques, si l'on envisage un système

et son adjoint

<^ii ;i-^. ■ •-!- ai„ c„ = o,

«/Il Cl -^. . .-T- a„,i ;,, = o

«Il ■''il — . . .— ««1 V,,, = o.

«l/i'ii — . . .■+- a,inr,n— O,

les matrices de ces deux systèmes étant les mêmes à une permutation près des lignes et des colonnes, leur rang est le même. Comme le nombre des variables est aussi le même, ces deux systèmes ont même indice^ c'est-à-dire même nombre de solutions indépendantes. Ceci suggère le théorème suivant :

Théorème. — L'indice d an système différentiel homogène (i ) est égal à celui de son adjoint (2).

L'indice est iciaussi le nombre de solutions linéairement indépendantes du système. '

Il suffit, si k est l'indice de (i), de démontrer que celui de (2) est ^A", le théorème résultera alors de la réciprocité entre (1) et (2).

Servons-nous de la formule de Green

Soit Lt .nue solution du système (i), et 5(, z.21 • • -, Za un système fondamental de solutions de M((0 = o. En substituant a et zi à u et (' dans l'identité de (jrreen, on a

Ceci est un sysLèjue de n équations homogènes en U„j.)(a), ..., V}^,i{u)' Il est satisfait par les valeurs U«^4(a/), ..., U2rt(M/), Ui étant une solution quelconque de (i). Soient W), ..., Uk k solutions linéairement indépendantes de (i), qui a l'indice k.

D'après le lemme, les k systèmes de constantes

sont linéairement indépendants.

Le système (3) a donc au moins k solutions linéairement indépendantes. Son rang est donc "^n — k. Or, son rang est celui de la matrice