ANALOGIES DKS SYSTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS OU ALGÉBRIQUES

Or. cette matrice est celle qu'il faut former pour trouver l'indice du système (2). On en conclut que le système (2) a au moins k solutions indépendantes, cest-à-dire que son indice est ^ A.

Si Ton considère maintenant un système non homogène, l'analogie avec les systèmes algébriques nous suggérera quelques résultats.

Soit le système

«11 Si-i-. .■—ain\n= b\.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit compatible s'exprime simplement à l'aide des déterminants caractéristiques de Rouché. On peut aussi, sans introduire explicitement ce> déterminants, dire que la condition nécessaire et suffisante de compatibilité est que toute relation homogène qui relie les a d'une même colonne dans le Tableau (a,*) doit relier aussi les b. c'està-dire que toute solution des équations

^,I«1I — r.iClii

1««nl

où y,,, .... r^n sont les inconnues, doit vérifier la relation

^1 "Tj! -i- 6iT,2 -t- . . . -4- 6„rjn = O.

On voit comment s'introduit naturellement le système adjoint au système homogène correspondant au système donné.

Nous allons, pour le cas d'un système différentiel non homogène, tirer une condition analogue de compatibilité de la formule de Green.

Si le système donné est

h(ii ) = /•,

II

le système adjoint homogène sera de même par définition.

Supposons que (4) ait une solution a, et soit f une solution quelconque du système adjoint; substituant ces deux fonctions dans l'identité de Green, il vient

j rvdx=.-[y V2„((^) + ...-4- Y« V«+i(^)-

Donc, toute solution du système adjoint doit vérifier la relation (6). C'est une condition nécessaire, pour la compatibilité du système (4)- On démontre, à l'aide de la formule de Green, qu'elle est avissi suffisante, mais nous ne nous arrêterons pas sur ce point (*).

10. Les équations quasi-dififérentielles. Équations du deuxième ordre. — On a supposé, dans tout ce qui précède, que les coefficients de l'expression

avaient des dérivées continues jusqu'à un ordre marqué par leur indice, pour pouvoir former l'expression

dn{l„v) ,

dx"

INe peut-on se bornera supposer simplement loi U^ • • -i f-n continus, quitte à élargir la définition de l'expression adjointe ?

Pour la généralisation que nous avons en vue, il est plus simple de considérer tout de suite, au lieu de L(a), une expression quasi difierenlielle et de développer pour une telle expression la théorie de l'expression adjointe; le cas d'une expression différentielle L(a), où /|)7 ■ • -i Iji sont simplement continus, sera un cas particulier de la théorie précédente.

Nous ne ferons qu'esquisser cette théorie pour une expression quasi-différentielle du troisième ordre

dx

dx

dx

^-s^r*^^^""^^*'"! "^ ^•iï*^"""'*'^ '^"'

si «o<^i ci^a^y^ o.

(') Voir mon Mémoire cité au commencement de ce Cliapitre, où l'on trouvera aussi des résultats pour les systèmes difl'érentiels où m y- n, analogues à ceux que nous avons signalés ici pour le cas où m—- n.

ANALOGIES DES SYSTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS 01 ALGÉBRIQUES. Sj

Nous appellerons adjointe l'expression

M(.)=ao^j«.^[a,(a3P)-/..J-^/,.>

En formant v\^( u) — «M(^), on voit que celte expression est éijale à -j- P(m, ^'), où P(m, r) est une fonction linéaire en

Ces six variables sont celles qui, dans le théorème d'existence pour les équations quasi-différentielles, correspondent à

dans les équations différentielles ordinaires.

Les formules qu'on obtient sont plus compliquées, mais ne diffèrent pas essentiellement de celles obtenues dans la théorie ordinaire de l'adjointe. Avec quelques petits changements, on peut également échafauder une théorie du système adjoint parallèle à celle qu'on a déjà exposée. On voit donc qu'il n'est pas essentiel de supposer que /o- ^c • • •• ^« dans L(m) ont des dérivées jusqu'à certains ordres.

Une question se pose à propos de l'équation adjointe; nous ne l'étudierons que pour les équations du deuxième ordre. Soit

V,(u) — li-r-r -i- h —, IqU = r [/«?£ o dans (AB)].

ax- dx

L'adjointe de L(a) est

A quelles conditions l'expression L(a) est-elle identique à M (t)? On voit immédiatement qu'il faut et il suffît que

Une expression différentielle quelconque du deuxième ordre n'est donc pas toujours sa propre adjointe, mais on peut la rendre telle, comme on voit, par un calcul simple, en la multipliant par le facteur

Nous ne diminuerons donc pas la généralité d'une équation du deuxième ordre en supj)osant que son premier membre est adjoint à lui-même, et en l'écrivant sous la forme adoptée par Sturm,

dx \ dx )

Cette forme est même plus générale que la forme ordinaire, car K pourra être supposé simplement continu mais sans dérivées, alors m" n'existera pas, u et u' existeront toujours, et c'est en général d'eux seulement que nous aurons besoin. C'est un cas très simple d'équation quasi-différentielle.

Si donc

l'adjointe est

M(^)-^(K.')-G., ^■ L(w) — uyi{v) = — [K(p«'— iiv' )\,

identité valable même si K n'a pas de dérivée. Prenons ensuite un système homogène

Ui = (7i u{a) -T- «2 u{b) -+- «3 a'(a) + a. u'ib) — o U2= ^1 u{a) + è, ui^b) -H 63 u{a) -4- 6. u\b) = o

La recherche du système adjoint se fait sans difficulté. Indiquons-la brièvement. On suppose bien entendu U< et U2 indépendantes, c'est-à-dire le Tableau