ANALOGIES DES SYSTÈMES LINÉAIRES DIFFÉRENTIELS OU ALGÉBRIQUES

de rang 2 ; posons

dij= Uibj— cijbi.

Plusieurs cas sont à distinguer :

i» (/,2^ 0, on prend U3 et L4 arbitrairement, mais tels que Ui, Uo, U3, Ui soient indépendantes.

On peut prendre évidemment \j^^u\a)^ [J,r=r: a'(6), car le déterminant des quatre formes est alors c/,o^ o.

Ensuite on forme

I [p L( m) — «M(i':)]rfx = [Ka-«'— «/)]*,

et Ton réduit la forme du deuxième membre à

L , Vi ^ L 2 V3 -<- U3 V2 -+- LU V„

on trouve ainsi

V, = — I K(b) rfia i'{b) -T- K(a) d^^ v\a) -r- K( è) d^ v'ib)], du

Vi= ^[—K{a)diiVia)-^K{a)di3v'(a)-^K{b)di3v'(b)]. «12

Pour V3 et V,, des expressions analogues mais plus simples. Alors le système adjoint est

M(i')=^(K.')-Gr

V,Cp) = o

Pour que le système proposé soit son propre adjoint, il faut et il suffit que les conditions V,(r) = o, y.{v) = o soient essentiellement les mêmes que U, = o, U.^o, ou autrement dit que V, et \\ soient des combinaisons linéaires de U, et U^. Comme p(a) n'entre pas dans V,, en éliminant u{a) dans U, et Ua et comparant à V,, on a une première condition nécessaire. En éliminant u{b) entre U, et U. et comparant à V2, on a une deuxième condition nécessaire. Et ces deux conditions prises ensemble sont nécessaires et suffisantes. Elles se réduisent d'ail-

leurs à l'unique condition

?/' Si d^2=o, plusieurs cas seront ù considérer; mais on retrouve toujours la condition précédente pour que le système proposé soit son pro|)re adjoint.

Quelques exemples simples feront bien voir quelles circonstances peuvent se présenter dans la détermination de l'indice d'un système.

Soit, par exemple, l'équation ~ + m = o. Son intégrale générale est M = A cosa; -f- Bsina?.

Si l'on prend les deux conditions indépendantes

m(o)— uiir.) = o, u'(o) — u'iiTz) = o,

on n'apporte aucune restrictioneffective à la solution. L'indice du système est 2 comme celui de l'équation.

Si nous prenons

«'(o) -+- U' {ITZ) = O,

la première ne restreint pas et l'on trouve que l'indice est 1; la solution est A cosa?.

Enfin, si l'on prend

?/ (o) -I- «((air) = o, '

u' (o) -I- u' {lT.) = o, la seule solution csL u =0. Donc, l'indice est zéro.

11. Nombres caractéristiques. — En terminant, considérons le cas, qui se présentera souvent dans la suite, où les coefficients du système

dépendent d'un puramèlreX; la première question qui se pose est de déterminer pour quelles valeurs deX ce système est compatible, c'est-à-dire a des solutions non identiquement nulles; c'est une question moins précise que la détermination de l'indice.