ANALOGIES DES SYSTÈMES LIXK.URES DIFFÉRENTIELS OC ALGÉBRIQUES

Si iif, ....Un est un système fondamental de solutions de L.( u) = Oj la condition de compatibilité du système est

U,(a,) ... U,(tt„)

Les coefficients de U, et les solutions a, sont des fonctions de À, on a donc là une équation en a

que nous appellerons e^aai/o/i caractéristique du système différentiel. Ses racines X,. Àj. ... seront les nombres caractéristiques.

Nous supposerons que les coefficients du système sont continus en (a:, a) et analytiques en k dans un certain domaine de Weierstrass, lO. Dans ce cas, F (a) est une fonction analytique de À. Ses zéros sont alors isolés dans ce domaine (avec peutêtre des points limites sur les frontières du domaine), sauf évidemment si F (À) était identiquement nulle.

Tout nombre caractéristique A/ rend le système compatible. Le système a alors un certain indice X"<\>o. tandis que pour tout nombre non caractéristique /"/= o; A/sera appelé indice de A/.

Ln nombre caractéristique a, a un certain ordre de multiplicité m,- si on le considère comme zéro de F (a) = o, et cet ordre de multiplicité ne dépend pas du système fondamental dont on s'est servi pour former l'équation caractéristique puisqu'un changement de ce système fondamental a pour effet, comme on le constate facilement, de multiplier le premier membre de léquation caractéristique par une fonction de A sans zéro. Les m/ peuvent différer des A/, mais on a toujours

mi^ A,

(on a vu ailleurs que A/£/i). Effectivement, soit A l'indice d'un nombre caractéristique a; montrons que ce nombre annule

F'(X), ..., Fa-i)(X).

Chacune de ces dérivées est une somme de déterminants dont chacun renferme n — A^ ^ i lignes inaltérées du déterminant F (a), les autres k — i lignes pouvant avoir été différentiées.