CHAPITRE II. — AXALOGŒS DES SYSTÈMES LINÉAIRES

Développons ces déterminants par la formule de Laplace, en prenant les mineurs formés avec ces n — A" + i lignes, on voit que tous ces mineurs sont nuls, puisque ce sont des déterminants d'ordre n — /i + i issus du déterminant F(}.) qui, d'après la définition de l'indice /:, est de rang n — k. On conclut donc que

F'(À)==o, .... F^/'-i)(>-) = o- Donc m^k.

Exemple :

1° Soit

-y-— -h Â- ?( = o ; ax-

sa solution générale est

u = A cosX.r -H B sinX^.

Prenons les conditions

Quel que soit \ AcosÀiC étant paire et sa dérivée impaire sera solution du système. Donc, toute valeur de A sera caractéristique.

On trouve, en effet,

2° Si l'on prenait

d~ Il

ii(o) = o, u' (o) = o.

D'après le théorème d'existence, la seule solution, quel que soit À, est zéro. Il n'y a pas de nombre caractéristique et l'on trouve elfec-

tivement

d'il ^„ 3° -j— -f-X^K =0,

dx-

Les nombres caractéristiques sont ici A == ii= i . ±2, ..., et l'on voit facilement que leurs ordres de multiplicité et leurs indices sont tous égaux à i .

LES SOLUTIONS RÉELLES ET LEURS ZÉROS DANS LES CAS LES PLUS SIMPLES (').

12. Solutions d'une seule équation invariable. — Nous étudierons dans ce Chapitre les résultats donnés par Sturni dans son premier Mémoire, et certaines extensions de ces résultats. Tout dabord, envisageons l'équation différentielle homogène

si l'on suppose que ses coefficients sont des fonctions continues (réelles ou complexes) de la variable réelle x dans l'intervalle fermé A^ic^B, il est aisé de voir que toute solutio/i u, réelle ou complexe, de cette équation, ne peut avoir une infinité de zéros dans (A, B) sans être identiquement nulle. Car ces zéros admettraient au moins un point limite, c, dans A^.rSB: la fonction u étant continue en c,

On sait aussi que u'(c) existe; si on la forme en considérant la valeur de u en c et en un zéro de u{x) qui tend vers c, on constate que

D'après notre théorème d'existence, u(x) est donc identiquement nulle.

Ceci s'étend aux équations linéaires homogènes d'ordre n h

(') Sturm, Journal des Mathématiques, t. I, i836, p. io6. — Picard. Traité d'Analyse, t. III, Chap. VI. — Rocher, Trans. Amer. Math. Soc. t. I, 1900, p. 4i4; t- IL 190»! p. 428; t. III, 1902, p. 196. — PicoSE, Ann. d. B. Scuola Normale sup. di Pisa, t. XI, 1909, p. 3.

coefficients continus dans A^a^^B. Les zéros d'une solution (*), s'ils formaient un ensemble infini dans (A, B), auraient un point limite c au moins. En ce point,

Mais u(x) étant continue ainsi que sa dérivée, entre deux zéros de M il y en a au moins un de u'. Donc, u' (x) a une infinité de zéros admettant c pour point limite. Donc

Le raisonnement montre de proclie en proche que

Donc u est identiquement nulle.

Cette propriété, que possède la fonction u d'avoir un nombre fini de zéros dans (A, B), ne s'étend ni aux dérivées u'(x), u" (x), . . . ni aux solutions des équations non homogènes, comme on le voit par des exemples faciles à construire.

11 existe toutefois certaines combinaisons de u et de quelques-unes des dérivées successives a', m", ..., qui ne peuvent avoir qu'un nombre fini de zéros.

• Par exemple, on démontre (-) que le wronskien de k solutions indépendantes M(, ..., Uk d'une équation linéaire homogène d'ordre n^k ne peut avoir un nombre infini de zéros dans (A, B).

Considérons, dans le cas d'une équation du deuxième ordre,

(i) -^(Km')-Gw = o,

des fonctions de la forme

= o^u — çi2K a',

O), 02 étant deux fonctions données de x. A quelles conditions n'aura-t-elle qu'un nombre fini de zéros ? Nous supposerons, pour simplifier, que ç, et cpo ont des dérivées continues; il en est alors de même de <ï>.

(*)Nous supposons dans la démonstration que cette solution est réelle. Une légère modification s'appliquera au cas d'une solution complexe.

{') Voir Bulletin of the American Mathematical Society, t. VIII, 1901, p. 53.

SOLUTIONS REELLES ET LELRS ZEROS. 4^

On a

en tenant compte de (i).

Si ^ avait une infinité de zéros dans (A^iC^B), ces zéros auraient, dans (A, B), au moins un point limite c. Alors

Or en c, si u n'est pas identiquement nulle, on n'a pas à

la fois

Les deux équations (2) en u{c) et u'{c) ont donc un déterminant nul. Ce déterminant nul donne l'égalité

(3) K /o', '-p,— 'ij'i', -!- -^ — G'^lj =0 pour j- = c.

K est supposé ^o dans (A^a^^B) pour que (1) ait ses coefficients continus. Donc dans (3) on peut supprimer K et l'on arrive à la conclusion suivante :

« Si O), cso sont des fonctions de oc à dérivées continues telles que

(4) 1 ?1?2 ) = ?) ?2 — 'fi?o — -j- — IJ-<|,

soit o dans un intervalle fermé (A, B). oa est sur que $ n'u qu'un nombre fini de zéros dans (A, B) à moins que u ne soit identiquement nulle dans (A, B). »

Premier théorème de Sturm. — Considérons une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients réels, la variable réelle x étant comprise dans l'intervalle a, b.

Si elle admet une solution réelle Ui qui s'annule au moins deux fois dans a, b et si a?,, X2 sont deux zéros consécutifs de Mi, toute autre solution réelle Uy indépendante de u, s'annule une fois, et une seule, entre Xt et x-^-

Il suffit évidemment de montrer que U2 a un zéro entre Xi et Xi. car s'il en avait deux, m, aurait un troisième zéro entre Xi et X2 qui serait compris entre les deux zéros précédents de Wo- Or «2 ne

46 CHAPITHE III.

peut s'annuler en a?, ovi x-^-, car u^ serait alors le produit de a, par

une constante; si «o était partout ^ o entrer, et a7o, — serait une

fonction continue dans Xi^x^x^ qui, s'annulant en a?) et iPo, aurait sa dérivée nulle en un point compris entre X{ et x<i' Cette dérivée est

au l'acteur —7 près, c'est le wronskien des deux solutions indé-

uh ^ '

pendantes m,, u^ et l'on sait qu'il est ^ o dans (a, b). Donc, nous avons contradiction, et par suite a^ a au moins un zéro entre Xt et Xn-

On a vu qu'elle ne peut en avoir plus d'un. Nous pouvons résumer ceci en disant que les zéros des solutions réelles indépendantes d^une équation linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients réels se séparent mutuellement .

Citons l'exemple de l'équation

dx-

dont

i<, = COS37, i<2 = sina7

sont deux solutions indépendantes.

Les zéros de m, séparent bien ceux de ao, comme ceux de toute solution A cosic + B sina? (B ^ o) indépendante de a, .

Envisageons la solution imaginaire cos.o; + t sina? = e'^ de cette équation. Elle n'a pas de zéro dans l'intervalle a, h de la variable réelle x. Si x varie de a à 6, le point u ■=. e'^ du plan de la variable complexe tourne de e'« à e'* sur le cercle de rayon i décrit autour de l'origine comme centre. La partie réelle et la partie imaginaire de e'^, qui sont des solutions, oscillent entre — i et + 1 , selon un mode connu.

Ce cas particulier est typique, car envisageons le cas général

d -j- (Km') — Git — o.

Si M, et W2 sont deux solutions réelles quelconques, w= m, + iw^ représente la solution complexe la plus générale.

Si M|, u» sont deux solutions réelles indépendantes, u ne sera pas le produit d'une solution réelle par une constante complexe; nous l'appellerons solution essentiellement imaginaire.

Considérons le point dont les coordonnées sont m, . Mo ; il représente u= u.-^ iu> ; — est le coefficient ano^ulaire de ou. «1 °

d / iiî\ "i"ï — "2«i dx \Ui/ « 1

Le wronskien étant toujours de même signe, puisque jamais nul, le vecteur ou tourne toujours dens le même sens autour de o. (Si Ut et t/o étaient proportionnels, u oscillerait sur une droite passant par o; c'est un cas limite du précédent, où la trajectoire de u est aplatie suivant une droite passant par o.) Prenons deux solutions essentiellement imaginaires

M,, Ui, Mj, «4 étant des solutions réelles, m, et a^ sont linéairement indépendantes, ainsi que «3 et u^.

Donc on a

U3= (ZUi-i- f>Ui, Mi= Y"l~i~ Sffj

a, 3, V, S étant en outre réels.

Dans le plan de la variable complexe u on passe de a à p par la substitution linéaire précédente qui porte le nom à^ affinité. Cette transformation change les droites en droites et multiplie toutes les aires par la même quantité (ao — ^yj. En particulier, une droite issue de l'origine est changée en une droite issue de l'origine o. Si le ravon vecteur ou fait un certain nombre de tours autour de o, le rayon vecteur ov en fait un nombre égal. D'une façon plus précise, si l'on considère x comme le temps, et si l'on cherche la vitesse aréolaire par rapport à o du mobile qui représente la solution a =: m, -j- laj? on voit que cette vitesse est

c'est le wronskien des deux fonctions Wi, u-^.

Quand on passe de la solution u à la solution v., ce wronskien

est simplement multiplié par ao — ^y, ce qui n"a rien d'étonnant puisque les aires sont toutes multipliées par ce nombre. En particulier, si u fait moins qu'un demi-tour autour de o, lorsque x décrit l'intervalle (A, B), v fera moins qu'un demi-tour et il en résulte alors que dans (A, B) aucune solution réelle (re[)résenlée par la projection sur ox^ ou sur oy du vecteur ou) ne pourra s'annuler plus d'une fois. L'équation différentielle est dite alors non oscillatoire dans l'intervalle (A, B). Nous reviendrons ultérieurement sur la question de reconnaître si une équation donnée est oscillatoire ou non dans un intervalle donné.

Après ces brèves indications sur les solutions complexes, revenons aux solutions réelles d'une équation à coefficients réels. On a vu que, si l'on considère = '^, a — cpoKw', c2,,c2o ajant des dérivées continues telles, en outre, que

! <fl?! ! = 'fl?2— ?1?'2 "^ ^ ~ ^?i'

soit ^ o dans (A, B), celte expression <ï> n'a qu'un nombre limité de zéros dans (A, B).

Prenons deux telles fonctions O, et $2 formées : la première avec une solution w,, la deuxième avec une solution U2 indépendante de M, (?^,, a-, et cp,, cpo étant réelles)

*! = cpi^^i— O2KM', , 'i>2= cp, «2— CP2KM2 j'^i(B2Î^0;

, et 2 n'auront qu'un nombre limité de zéros dans (A, B). FJans ces conditions, le premier théorème de Sturm sur les zéros des deux solutions w, , U2 indépendantes s^ étend aux zéros de <t>, , ^o. Entre deux zéros consécutifs de '!>,, il y en a un et un seul de <ï>o.

La démonsti^ation donnée pour t^, et Uo s'applique ici presque sans changement.

On trouve de la même manière que, si u est une solution essentiellement imaginaire de (i), le vecteur qui représente la quantité cp, w — cp^K-jf' tournera toujours dans le même sens lorsque x augmente depuis A jusqu'à B pourvu que i o,, Ooj ^z^ o.

On peut encore, sur ces expressions $, se proposer une autre question.

SOLl'TIOXS RÉBLLES ET LECBS ZEROS. 49

Prenons une solulion réelle, non identiquement nulle de

-y-(Ku') — G« = o.

ax ~

Prenons quatre fonctions réelles et lormons

Peut-on donner quelques résultats sur les zéros de <& et de W ? fout d "abord, nous supposerons que ces zéros sont en nombre fini <t pour cela que ,' 3>,, Sjl et ' 'i»,, 'l^l sont ^ o dans (A, B).

Remarquons ensuite que Km' et m, qui sont des formes particulières de 4> et W, vérifiant une équation homogène de Riccati, c'està-dire une éqtuition de la forme

u>ju>2 — tOîU), =Aa)j -^Bojiaij-r-Cto;.

on peut penser quil en est de même de $ et W. Et, en ellet. on a identiquement

/ *(<!/itt — t}/jK«') — *'(çitt — o^Kii ) — o

\ ou bien

\ (^1* — ^,U' (M— (ij* — çij <Ï^")K«'=^ o.

En différent iant et tenant compte de l'équation que vérifie u. on a

(6) (^i *'— çiV-i- .«,',4» ç', w — G<Vî* ^ GoîW)u

(5 ) et (6) sont deux équations linéaires el homogènes en u et u'. Si u n'est pas identiquement nul, on n'a pas à la fois en un point M = o, «'=0; donc le déterminant de ces deux équations est identiquement nul. Ceci fournit une équation homogène de Riccati pour O et W

(o,i,— s,-^,)(«i.'»i-4>\i-')i- ; -ii^î ;**

— 'ii'Vx — Ci ri — <?'. '^î— ?i 'Vi -^ 2 îi^ — 2G=î I/j I «fr'J- ^ ; o, Çî' ^-î = o.

Pour que cette équation soit régulière dans (A, B) on voit qu'une B. 4

5o CHAPITRE III.

condition nécessaire est que

Oi<^2 — 92 4'i 7^ o dans ( A, B ).

Si cette condition est réalisée, et W ne pourront s'annuler au même point, car ca, >h., — csa'}) étant le déterminant des deux équations en u et Km', «ï> = o, W = o, on aurait en ce point ii = o, u' = o, ce qui est absurde.

Avant de passer à l'élude des zéros de<ï> et^', remarquons qu'en un point où s'annule, ^F n'étant pas nul, on a d'après (7)

(I) *'=: '^llll^W

Çi Y2 — '■■r'2 Yi et de même, en un point où W = o, on a

(II) w'^ /^'^-' 1».

Ceci posé, on peut montrer que : entre deux zéros consécutifs de , il y a un zéro et un seul de W, et réciproquement.

En effet, tout d'abord dans tout segment de (A, B) où ^ ^ o, $ ne peut s'annuler plus d'une fois. En effet, si O s'annulait au moins deux fois, en deux points consécutifs a^i, Xi d'après (I), <î>' aurait même signe puisque ni U^, ni co,'!^ — ^i'^k ne s'annvilent. Ceci est évidemment impossible.

Réciproquement, dans tout segment où reste ^ o, W ne peut s'annuler plus d'une fois.

Supposons maintenant que 4> admette plusieurs zéros dans (A , B) , soient x^ , x-^ deux tels zéros consécutifs. ^ s'annule au inoins une fois entre x^ et 372, car dans le cas contraire l'intervalle a^j, x-^ serait compris dans un intervalle un peu plus grand où W serait différent de zéro, et dans cet intervalle ne pourrait avoir deux zéros. Donc ^F a au moins un zéro entre Xt et x-x et, d'après un raisonnement connu, il n'en a qu'un.

Voilà dofic un cas :

dans (A, B), «pi'i'2 — ?2 4'i 3^ ^; t <?i?2 I P^ o, \ 'l^'bi'^ ^ o

OÙ les zéros de ^, W se séparent.

Ce théorème n'a pas de sens si ni ni W n'ont plus d'un zéro dans (A, B).

SOLLTIOXS REELLES ET LEURS ZÉROS. 5l

Voici un cas où cette circonstance se produit :

Théorème. — Si aux conditions

dans (A, B;, ri'r'?. — fî'^tT^Oj l'fi^î', ?=o, )d;it!;,j3éo

on ajoute la condition que \o^zi■2[ et \'!jt'l2[ soient de signes contraires^ ni ^ ni W ne peuvent s'annuler plus d^une fois dans (A, B), et de plus, si l'une de ces fonctions s annule une fois, l'autre ne s'annulera pas.

Autrement dit, considérons le produit <1>T; ses zéros sont ceux de $ et de W. D'après le théorème démontré ci-dessus, deux zéros consécutifs de ce produit sont, lun, zéro de $, l'autre, zéro ,de *î*. Le théorème actuel dit que, dans les conditions précédentes, le produit ^W na qu'un zéro dans (A, B).

En effet, s'il en avait plusieurs, en considérant deux zéros consécutifs, l'un appartiendrait à et l'autre à ^; nous allons montrer qu'en ces points la dérivée

a le même si^jne. Cette contradiction démontrera notre théorème.

Pour le premier zéro, l'expression —(<Î>T) prend, d'après (I), la

râleur

ij-i

et pour le zéro consécutif sa valeur est, d'après (II),

Ces deux valeurs sont de même signe puisque

Application". — Si l'on prend d, = i . 'l^ = o. on a W = u, et nous obtenons le résultat suivant :

« S'il existe une fonction o, à dérivée continue, telle que

5o. CHAPITRE MI.

ni une solution u non identiquement zéro de l'équation -j— (Ki<') — Gu = o où K > o.

ni la fonction ou — Kw' ne peuvent avoir plus d"un zéro dans

L'équation est donc non oscillatoire.

En donnant à o des formes particulières, on a diverses conditions suffisantes pour qu'une équation soit non oscillatoire. Citons la condition G >» o qu'on obtient en faisant es = o et qui est bien connue. INous retrouverons plus loin ces conditions de non-oscillation.

13. Effet produit sur les solutions par un changement des coefficients de l'équation. ^ — Après avoir ainsi étendu dans diverses directions les propriétés des zéros des solutions réelles, revenons à ces zéros eux-mêmes, pour étudier l'effet que produit sur eux un changement des fonctions G ou K.

Laissons d^ abord K invariable. Alors toute dimiaution de G augmente la rapidité d^ oscillation des solutions de l'équation . La démonstration va éclaircir le sens de cet énoncé.

Considérons ai solution de

et Mo solution de

— (K?/'i) — Gi«i = o

-r-(K«'> ) — G.>?/-; dx

(j2 est supposé << Gi eL ni Wj ni Mo ne sont identiquement | nulles. En combinant les deux équations précédentes multipliées ^ par Mo et — «i , on a |i

-T-[K( u\ ii-î — Ml u'.^)\ = (Gi — G-2)ui 11-2 ;

d'où, par intégration,

( Gi — Go)?*! «2 dcr.

Celte formule, doiiaée par Sturm, peut être considérée comme un cas particulier de la formule de Green.

Supposons que a, ait plusieurs zéros dans (A, B) et soient a?,, x-y deux de ses zéros consécutifs. Dire que «2 oscille plus vite que a» c'esl dire que toute solution a^ de la deuxième équation a au moins un zéro entre x, et x-i distinct de x^ et x<i.

Effectivement, si cela n'était pas, on pourrait supposer M| et «2 positifs entre X\ et x-i. Alors Gi — Go étant > o, l'intégrale dans la formule précédente serait >> o.

Or, en x^ et x-i. u, = o, u[ est >>o en x^ et <; o en X2 et non pas =z o puisque «, n'est pas ^ o. Donc le îpreraier membre de la formule précédente est ^o; ce fait est contradictoire avec le résultat précédent. Donc Mo s'annule au moins une fois entre Xi et x-2-

Le terme, oscillation plus rapide de a^, sexplique très bien, car si l'on considère une solution Ui de la première et une solution Mo de la deuxième équation qui s'annulent toutes deux en x, le zéro de M2 qui suit x se présentera avant le zéro suivant de M|, en sorte que la demi-oscillation de u^ est plus rapide que celle de «, .

Supposons maintenant que K et G changent. Considérons les deux équations

-T— (K,Mi) — G,?/, = o. — (K*?*;) — G2«/î= o,

où

G,>Gj, K,>K2>o.

Il est aisé de voir que la diminution de 1\. et de G produit une oscillation plus rapide des solutions, autrement dit : entre deux zéros consécutifs d'une solution quiconque U\ de la première, il y a au moins un zéro de toute solution u-i de la deuxième équation .

^lOus donnerons de ce fait une démonstration basée sur une formule de Sturm, modifiée par M. Picone.

Des identités

— (K, Uiu\) = u.2--j-{Kiu\) -f- Kl M, u\ = GiUiUi-\- Ki«'o «',

-j— ( Kj ui u\ ) = G» «1 lu ■+■ Kï u', u'. dx

on déduit

-j-(KiM2"l ~ K^UlU'.,) = (Gi G2)î<l«i2-r- (Kl K^) u\ u'.,.

Cette formule a été donnée par Sturm et généralise immédiatement le cas que nous avons traité plus haut où K, = R2. Mais le raisonnement que nous avons tait pour R, = Ko ne convient plus ici à cause de la présence du factevir u[ a\ ; on établit alors la formule suivante

d dx

— (Kl «2"! KoMj «2) = — [(Gi Gi)U\ U2+(Ki— K2) w'i '/'2I

U\ lU U] 11-2

-(Kl u^ii'f — Kj^im',),

d'où l'on tire Fidentité de M. Picone

^[iJi(Kia2«l'-K2«l«'2)]

= (Gi— G,)?^| +(Ki— K2)»?--hK2 \u\ — u'. —

Cette formule s'applique évidemment en tout point où u2^o. Si l'on suppose alors qu'entre a:,, iCo? zéros consécutifs de m,, ainsi qu'en X\ et Xi, u^ soit 7^0, et qu'on intègre les deux membres de Xi h.X2i puisque Ki et K2 sont >> o dans Xi x^ ainsi que K, — Ko et Gi — G2, le deuxième membre donne une intégrale positive, et le premier membre donne une intégrale nulle, la contradiction démontre le théorème.

La formule s'applique encore si Wo s'annule en t, ou iCg si en

un tel point u, s'annvile aussi, car alors — tend vers la valeur —7 ^ ' ;i2 "2

qui est bien déterminée ( ' ), puisque Mo n'étant pas identiquement nul, u'^ n'est pas nul. Le premier membre donne alors dans l'intégration entre Xi et X2 une quantité bien déterminée ainsi que le troisième terme du deuxième membre, et l'intégration encore correcte prouve l'exactitude de notre théorème. On peut encore l'étendre au cas où l'on a

G2^G,, Ko^Ki,

(') Quand a; tend vers x^^ par valeurs supérieures ou vers x„ par valeurs inférieures.

à condition, bien entendu, que régalilé n'ait pas lieu en tous les points de l'intervalle X| x^. Il y a ici. toutefois, un cas d'exception qu'il convient de signaler.

Nous nous sommes servis de l'identité de Picone

.(K.iii-K,lll)r

- ^ '(G,-G,)«f ^-4- /^"(K,-K,;«,2r/:r-^ ^""'Kï ( "' "-~ "' "'- Vt/x.

En supposant, dans AB, G,^Go, Kj^Ro, les signes d'égalité n'ayant pas lieu en tout point dea"i x-^^ nous avons dit quen général le deuxième membre a une valeur positive non nulle.

En ert'et, si dans'une partie de l'intervalle Gj > Go, la première intégrale est sûrement positive; si dans x, Xo on a G| ^ G2, alors il peut axriver que dans une partie de l'intervalle X\ x^ on ait K, — K2= o et dans le reste u\ = o, en sorte que la deuxième intégrale soit nulle. Mais cela ne peut arriver que si

-;— (K, «') G lit = o

admet une solution constante mais non nulle dans cet intervalle partiel, ce qui exigerait G|^o dans cette partie de jTi Xa- Et en effet si G|^o dans une partie de Xt x^-, il y a une solution Uf constante dans cette partie. Evidemment, si K diminue, cette constante solution particulière reste invariable. On pourrait ainsi facilement construire un exemple oîi la diminution de R n'altérerait pas l'oscillation des solutions, ce qui ferait exception au résultat que nous avons plus haut.

Pour écarter ces cas exceptionnels nous supposerons que l'identité G, ^Go ^one doit être vérifiée dans aucune partie de AB(').

Avec ces précautions, la diminution de G et de R produit bien une oscillation plus rapide des solutions, comme nous lavons dit plus haut.

Application . — Ce théorème permet de comparer les solutions de deux équations différentielles dont les coefficients ont entre

(') Des restrictions bien moindres seraient suffisantes ici.

eux des relalions simples. Ea particulier on peut déduire des conditions pour qu'une équation soit non oscillatoire. Soit en effet l'équation

(0 — (Km') — Gi/ =:^ o;

comme toujours K est supposé > o, x étant compris dans AB. Soient min K et min G le minimum de K et celui de G dans l'intervalle fermé AB et considérons l'équation

—r- [(minK)M'] — (miaG )h = o

/ \ min G

( 9- ) U : — Il = o.

mm K

(■a) s'intégre de suite.

min t'.

Si minG>o, on a la solution exponentielle e """ ^' , c'est une solution réelle toujours ^o dans AB. Donc (i) n'a pas de solution s'annulant deux fois. Il en est de même si min G = o.

Si donc G est partout ^o, l'équation (i) est non oscillatoire.

Si min G < o, les deux solutions fondamentales de (a) sont