COS

Elles oscillent : cependant on peut former une solution de (:*) qui soit différente de zéro dans un intervalle ah de AB. à condition que l'intervalle nb soit inférieur à

Si donc on a

min G ininK

min G

minlv ^ ( /> (()-

l'équation (i) est non oscillatoire dans a/y.

On a d'une façon analogue comme condition certaine d'oscil-

SOI-ITIONS REELLES ET LEURS ZEROS. 57

lalioli dans ah :

mn\ G ^ rr-

ma\ K { ù — a

ce qui implique niaxG <[<'•

Cette condition suffisante peut même s'étendre; si

ma\G /î-î

ina\K {b — o \'-

loule solution de l'équation a au moins /• zéros dans l'intervalle terme a^x^b. Ces résultats sont souvent utilisés dans les applications.

Signalons, en passant, un cas spécial envisagé par Sturui et Liouville ; c'est celui de l'équation

d , , , . , (ku )-^(kg— l \u = 0.

 . g^ l sont des fonctions de x continues dans l'intervalle AB. / >>o, ^ > o, /^o.

Cette équation est fournie par l'étude du mouvement de la chaleur dans une barre hétérogène, ou des vibrations simples des cordes hétérogènes.

Si A varie, k reste invariable, mais G = / — \g varie; si a augmente, G diminue, les solutions oscillent plus rapidement.

Onpeutne passupposer «^^ o etadmettre ^ = o. Poursimplifier, nous nous bornons à^'^^o. La condition /^o fournie par le problème physique est superflue, puisqu'elle n'intervient en rien dans la variation de G = / — a^.

La autre cas envisagé depuis Sturm par divers géomètres, et avec des méthodes différentes, est celui où A > o. /^o. mais où

î! chansre de signe dans AB.

On a cru ce cas essentiellement distinct du précédent. Il n en est rien. Si nous divisons par | A | l'équation s'écrit

d / k ,\ r , . , Il , ( -- I si X > o

dx\\K\ ) L^ " ^ lAlJ I , s. /.<o:

si l'on pose

on voit que réquation est du type de celles que nous avons étudié dans les précédents paragraphes.

i" Si A>o, A croissant G décroît en général et K aussi; c'est le cas de Stvirm où K et G décroissent. Si ^s^o, G ne varie pas mais K décroit certainement.

Donc les solutions oscillent plus vite.

a" X <; o, si I A] croit, même résultat.

Nous trouvons donc, comme simple corollaire des résultats de Sturm, les circonstances qui se produisent dans ce cas particulier.

14. Les théorèmes de comparaison. — Considérons le système suivant (jui comporte deux conditions à un point

dx

Gu

Avec la condition ] a] -h [a' | >> o, nous excluons le cas où la solution M, qui est unique, serait identiquement nulle. Le problème fondamental qui se pose est d'étudier comment varient les zéros de la solution a. quand K ef G changent.

Disons tout d'abord un mot d'un point de vue un peu difFérent auquel on pourrait se placer dans une telle élude. Si l'on considère le système

—r- (Kif') — G a = 0 dx

n' u(a) — au' (a) = o

la condition supplémentaire exprimant que, pour la valeur a de .r, u et u' sont proportionnels à a et a', les solutions de ce deuxième système se déduisent de la solution du système initial en la multipliant par une constante ai^bitraire, ce qui ne change rien à ses zéros; en sorte que Pétude des zéros des solutions du deuxième système est identique à la même étude faite pour le premier.

Considérons donc deux systèmes

Kl^< j

ui a

lii (L

d dx

— Go a

OÙ nous supposons K,>Ko, G, ^G,; afin que leurs solutions ne soient pas identiquement nulles nous supposerons

De plus Té^alité K, = Ko, G, = Go n'a pas lieu en tout point dune partie de l'intervalle ab et lidentité G, ^ Go ^ o ne doit avoir lieu dans aucune partie de cet Intervalle.

Enfin sur les a et a' nous ferons les hypothèses suivantes :

1 K, frt) a', -^K,(rt )a'o b>i a, ^ o, alors ao devra t-tre ^ «• et tel que — ^ — — ->

c'est-à-dire que . ' ^'' ^ diminue en passant de (i) à (2).

Si a, =0. nous ne taisons aucune hypothèse supplémentaire. Sous ces hypothèses. Sturin établit ses deux théorèmes de comparaison.

Premier théorème pe comparaiso:«. — Si la solution U\ de n) a un certain nombre de zéros distincts de a dans l intervalle ab {a<Cx<b), la solution u-. aura au moins autant de zéros dans cet intervalle, et en numérotant XiX-^x^... les zéros de Ut dans l'ordre de grandeur croissante^ x\x'.-,x\... ceux

de 11-2 on aura toujours

x'i, < xu

pour toute valeur de A correspondant à un zéro de Ut et «o.

D'après un résultat obtenu au paragraphe précédent, on sait que U2 a un zéro au moins entre Xt et Xo, entre X2 et X3. etc. Il

It-,

Oo CHAPITRE III.

reste à démontrer que a-, u au moins un zéro entre a et.«,. Si l'on

avait

Uxin) = aj = o,

on serait sûr que Mo a au moins un zéro entre a et X{ d'après les résultats qvie nous venons de mentionner.

Supposons donc a, ^ o. Si u-, n'avait aucun zéro entre a et 37), la formule de M. Pici^ne entre ces limites donnerait, puisque Mo {a) ^o,

Ja ^a Ja "ï

Lune au uioins des deux premières intégrales du deuxième memb]-c est >> o et ^o.

Le crochet dans le premier memhre est = o pour la limite supérieure puisque u^ s'y annule, il est ^o pour la limite inférieure, en vertu de l'hypotlièse

ai " a^

Donc le premier membre est ^o. Le deuxième est sûrement >> o. Il y a donc contradiction et le théorème est démontré.

DEUXli':ME THÉOllÈME DE COMPARAISON. SoLlS Ics lnêtnCS liypo-

thèses, si a, ( />) ^ o, et a^ (6) p^ o,

Ui(b) u-,\h)

pour\i/ que les solutions Ui de i i) et ii-. de (\'i) aient le même nombre de zéros entre a et h (cette restriction est effective, car Mo peut avoir plus de zéros que w, entre a et h).

i" Supposons d'abord que ?<, et u-^ n'aient aucun zéro dans (ah). On peut alors se servir de l'identité de M. Picone, entre les limites a et b. JjC deuxième membre est positif; si l'on n'avait pas

\i,{b)u\{b) ^ lU(h)u'.,(l,) U[{b) ^ u-iib)

dx

SOLUTIONS REKLLKS ET LEL'RS ZÉROS. 6l

le premier membre serait népitifon nul d'aprt'< les livpotlièses faites.

2" Supposons que «i et Wo^'ient /* zéros entre a et b^ soit :c„ le dernier de ces zéros, c'est sûrement un zéro de «, (i'"' théorème de comparaison). On peut appliquer la formule de M. Picone entre Xn et b. Le deuxième membre est > o. Le crochet du premier est nul k la limite inférieure, il faut donc, pour éviter tout<; contradiction, que l'inégalité à démontrer soit vraie.

Voici quelques conséquences des théorèmes de comparaison. Soit le système

où K., G, a, a' dépendent du paramètre A

Supposons que a variant dans un intervalU- A, \, (où l'on peut avoir A, = — ao ou A2= -r ^) Iv et G soient des fonctions continues de X et A. Alors la solution u de ce système et sa dérivée u seront des fonctions continues de ic et X.

i" Les zéros de a seront aussi des fonctions continues de A sauf peut-être ceux qui se trouvent à Tune ou l'autre extrémité de l'intervalle ab. Il n'y a là au fond autre chose que le théorème classique sur la continuité des fonctions implicites, puisque ti et u' ne sont jamais nuls à la fois. Il est vrai que nous ne sommes

pas assuré de l'existence de la dérivée -^j mais on peut facilement

donner la démonstration sans faire usage de cette dérivée (').

2° Supposons que, ). croissant de Ai à Ao, K et G décroissent ou restent constants pour chaque valeur de x. Pour éviter le cas d'exception signalé plus haut, supposons que, même dans une partie de l'intervalle ab., K et G ne sont pas tous les deux indépendants de A pour aucune valeur de X, et que si G est indépendant de A dans un tel intervalle, il n'y doit pas être identiquement

(') Voir, par exemple Osgood, Funktionentheoric, Chapitre II, paragraphe i.

6?. CHAPITUK III.

zéro. Supposons en(ia que a est ou bien i<ienliqueaient zéro, ou

l)ien qu'il ne s'évanouit nulle part dans A,x\2,ct, dans ce dernier

Ka' 1 , ^ 1 11^

cas, que décroît ou reste constant pour chaque valeur de A.

On déduit alors des théorèmes de coaq)araison que les zéros

de u (x) vont en décroissant et, d antre part, que — ^^ — —r^ — - va en ^ ^ ^ ^ u{b)

décroissant tant que le noinijre de zéros entre a et b l'estera

constant.

Il est bon, pour fixer les idées, de définir, dans cette étude, des zéros en fonctions de a, K et G hors de l'intervalle a6, ce qui ne change rien à la nature des solutions dans l'intervalle ab. On prendra pour cela un nombre b' ^ b.

Pour a? > 6' on choisira K ;= i ; entre b et b', K variera linéairement depuis K (Z^) jusqu'à la valeur i; K est alors une fonction toujours positive dans (a, +00); a croissant, elle ne sera jamais croissante.

De même, G sera pris égal à — i , de b' à -f- 00, et variera linéairement entre b et b' de G (b) jusqu'à — i .

Dans ces conditions, pour x ^ // l'équation se réduira à

d'^ u ax-

dont les solutions fondamentales sont sin x et cos x.

La solution u du système proposé sera donc oscillatoire et aura une infinité de zéros pour x'> b' . À variant, ces zéros seront des fonctions continues de A.

On a vu que si (' )

— maxG k^-T.-

maxK ~ {0 — a)^

pour une certaine valeur de A, la solution du système, étant solution de l'équation différentielle de ce système, a au moins A zéros dans ab. Si donc on ajoute aux hypothèses la suivante : lorsque A variant de A, à A2

,. — maxG

hm -—=-r--js,

), = .., maxK

(') N'oublions pas qu'ici max G et max K désignent, a étant fixé, le maximum de G et de K quand x varie de a ix b : maximums qui dépendent évidemment de 1.

SOLUTIONS RÉELLES ET LEt'R5 ZÉROS. 63

OU voit que si X est pris assez voisin de A2 la solution aura autaat de zéros qu'on voudra dans (ab).

jNous supposons dans ce qui suit que cette condition est satisfaite.

15. Les théorèmes d'oscillation de Sturm. — Faisons alors varier X de A, à Ao.

Si A part de A, (ou si A, Ao est un intervalle ouvert, d'une

valeur arbitrairement voisine de A,), la solution u aura un nombre m

de zéros entre a et]6, les extrémités «, h étant exclues. Si À croît

jusqu'à A2, ce nombre doit auj;menter indéfmiment; donc, pour

une certaine valeur <j.„i de a, la solution u acquiert un nouveau

zéro en ^, zéro qui entrera dans ab pourX > u.», ; un nouveau zéro

se présentera en b pour une valeur 'J-m+i > 'i-m de A etainsi de suite,

nous aurons une suite de valeurs u„i, ;-«.,„+ 1 ayant Ao pour point

limite; À étant entre <j.m et ;-a,„+,, la solution aura m— i zéros

entre a ei b] elle en aura m H- 2 si a est entre ]i-m+\ et [J-wj..., .... ^ , , . . , . . K{b)u'{b)

De plus, lorsque A varie entre tAj et {Ai+i, la quantité — ^^^ — -.

qui est toujours décroissante, doit nécessairement décroître de +x à — 30 puisque, en tx/ et a,^.,, a 1 6) = 0 sans que u'{b) = o.

Ceci étant posé, on peut rechercher pour quelles valeurs de a ('nombres caractéristiques) le système

est compatible; 3 et 3' sont des fonctions de a telles que : ou

bien ^^o, ou bien ^ ne sévanouit nulle part et — ^-^ est une

fonction décroissante de A.

La réponse est fournie par le théorème suivant :

Théorème. — Le système précédent a une infmitéde nombres caractéristiques dans Vintervalle A, xVo. Le premier de ces nombres peut être entre A, et u^, mais on peut certainement affirmer qu'il y en a un exactement dans chaque intervalle {\l.,ulX.m+i), ii»-m+f 'ii-m+2)i ••••

dx

- au

f)) CHAPITRE III.

En etret, si "k croit dans un tel intervalle ul^ u./^,, a étant la solution (' ) du système privé de la deuxième condition, — ^^ — :— 7-^ — - ^ ^ -^ ^ u{b)

décroît de +00 a — oo, et par hypothèse — r~- décroît, donc

-K(è)[i' H. -1 ► 1 1 • \ • 1 j jT — i- croit; il est donc clair que pour une certaine valeur de A,

<l'ailleurs unique entre [jlj et jU/+i, on a l'égalité, c'est-à-dire pw'(è)4- ^'u{b) = 0; ceci suffità prouver que dans chaque intervalle pi/[X/+i il y a une valeur unique de X pour laquelle le système proposé est compatible.

On a supposé ^^ o. Si l'on avait |i ^o, la deuxième condition se réduirait à u{b) = o, et ce seraient les <^mj [i-m+i . ••• qui seraient précisément les valeurs caractéristiques.

D'une façon générale, nous appellerons à,„^, la valeur caractéristique entre [a„j et p-zw+i , 'k,n+2 la valeur caractéristique entre }jl„,^, et \^m+2' • • ••< et s'il y a une valeur caractéristique entre At et ui^,, nous l'appellerons "km. Il est clair, par un raisonnement tout analogue à celui que nous venons de donner, que dans l'intervalle A, p.„j il ne peut y avoir plus d'une valeur caractéristique.

Nous appellerons «,„, m,„+,, u„i+'2, ... la solution du système pour les valeurs caractéristiques ).,„, Xm-^t , . . . (nous disons la solution, en négligeant le facteur constant arbitraire qui la multiplie).

Ces fonctions diffèrent par le nombre de leurs zéros entre a et b.

Umi s'il existe, aura exactement m zéros entre a et b, u„i+, en aura m -}- i , ....

Ce résultat constitue un des théorèmes d'oscillation de Sturm. On peut l'énoncer ainsi :

TnÉORiiME. — Etant donné un nombre entier quelconque k > m, il existe une valeur de 1 et une seule pour laquelle le système proposé admet une solution ayant exactement k zéros entre a et b.

Le théorème ci-dessus est incomplet en ce sens qu'il ne dit pas si "km existe, et qu'il ne nous apprend pas à déterminer m.

On peut aller plus loin avec des hypothèses plus précises sur G etK.

(') D'après la nature du système on voit évidemment que, si une solution existe, on en déduit une infinité en la multipliant par une constante arbitraire.

««LUTIONS ItÉELLKS ET LEURS ZÉROS. 65

Ajouloiis aux hypothèses déjà laites la suivante

,. / — min G /.=A, \ raink /

iiiinK est par hyputlièse nécessairement > o. Donc uiinG ser.i >» o aux environs de A,. Donc G sera, pour les valeurs a voisines de A,, positif pour toute valeurde jc dans a6.0n sait qu'alors l'équation est non oscillatoire. Donc pour \ voisin de A, toute solution de l'équation, et a fortiori du système (t i n'aui-a pas plus d'un zéro dans ab. Donc on aura /ii := o ou i .

Précisons davantaj^e : pour cela nous comparons l'équation dilTérentielle du système à la suivante

(v.) T7~[' '"'" '^)"'J — < ininG )// = o

ou

—t — — ait =: «I

II) m G

minK Celte équation admet les solutions tondamenUtles

e»'^-" et f-»'

Choisissons ensuite un nombre Âo entre a,„ el .Vo. et cherch(»ns la solution Mj de (2; qui vérifie

(3) t min ko)z'(Xo i(/i( a ) — ( min Kin \,^)u,\{a \ = ii

où nous avons désigné par Kola valeur de Iv pour a^a^. Ou trouve

(min K) 3t(>.o) v'^* -r- < min h^ «a' (Au '

U j = — ^^ s 'J- — <Ii

(min K ) a ( >>,i ) y/J — 1 min Kp ■ a ( Àp ) 7,,.„ •2 ^ s

Faisons la comparaison entre a* qui vérifie k-a\ et (3t et une fonction u vérifiant dans le système ( i ) l'équation et la première condition.

En ftassant de (1) à (2) on a diminué les coefficients de Téqua- B. 5

6G CHAPITRK III.

tion et remplacé la première condluon de ( i) par ('3) de façon que

— — '— soit diminuée. En elfet, le système (i) est étudié ici pour A

compris entre A, et ul„j, et Aq étant p»[JLmi ia valeur de — ^^ — - — ? qui

est fonction décroissante de X, est plus grande entre A( et ul,;, que

pour Xo- On peut donc conclure, d'après les théorèmes de compa-

, ^ K(b)u'lb] , j {uùnK) u'(b)

raison de bturm, que — , — - est plus grand que

valeur de l'expression jjrécédente prise pour le système (2) (3). Or, en nous servant de la valeur de u^, nous trouvons facilemenl

que

(min K) «'2(6)

lim

u-iib)

Donc a fortiori

lini -j- = -+- oc.

Nous avons cette conclusion que A variant de A| à [j.,„,

K(b)u'ib) u{b)

décroit, sous nos hypothèses, de -l-oo à — 00. On en conclut, que le système (1) a un nombre caractéristique X„j et un seul dans lintervalle A, (j.,,,.

De plus, si l'on observe que pour s très grand l'expression a.y précédemment écrite a pour toute valeur de x dans (ab) le signe dea(Xo),ou, si a().o) = Oi le signe de a'(Xo), on conclut que m est égal à zéro, et non à i .

En résumé : 5/ ron envisage le système

-j— (Km') — Ou = o

a' u{a) — au' {a) — o ^'a(6)-+- i^u'(b) = o

K, G, a, a', P, [5' étant des fonctions de A (et les deux premières^

de X aussi) satisfaisant aux conditions déjà énoncées ; si en

outre les conditions

maxG

lim

max K

= -+- oc,

,. / — min G\

lim . ■■ = —

X=A, \ miiiK /

sont remplies, le système (i) a une infinité de nombres caractéristiques entre Xi et Aj, Xo, À,, .... rangés par ordre de grandeur croissante. Les fonctions caractéristiques u^, u,,. . solutions du système (i) pour ). = ).<,, ) ont entre a et b un

nombre de zéros exactement égal à leur indice.

Indiquons un autre genre de conditions qui conduit à des conclusions analogues.

Supposons l'intervalle A, A, fermé à gauche (c'est-à-dire que A, appartient à cet intervalle) et en ce point A, supposons

(ininG)).=A.èo, (aï')>.=A.^o, (^^3')x=A.|o.

Alors on a m = o et la valeur caractéristique À© existe k coup sûr. En effet, envisageons le système auxiliaire

U. ,. /minK\ ... . ... . .

notation K ^ ^ ) s explique aisément, bi x varie dans a6, K(x, a)

a un minimum (minK) qui est fonction de X. C'est la valeur eu A,

de cette fonction que nous désignons par (^™^^ )•

Soit v-îix) une solution de ce système. Et soit r, (x) une solution du système

(5) I ^(Ka)-G« = o.

où Ton a fait a = A, dans K et G.

Le théorème de comparaison dit que : si Vo n'a pas de zéro dans ab, v, n'en aura pas a fortiori. Si de plus on montre que

(minK)v'.,(b) M*)

le théorème de comparaison donnera

Mb) Or on peut intégrer (4).

68 CHAPITRK m.

T-< I • 1 - / inin<^ \

hxcluons un instant le cas on . , ;::;<> et posons

( ininG)A^A,

(minK)x = A, (s est >> o et ^ o), la solution 4\. est donnée par

ç.j,i.i-) = a( Ai ; cli \/s ( cr — a } ~] 7=^^^*'' ^'^ (^ """ ^)

comme le montre un ceuIcuI <léjà fait plus haut.

On peut évidemment, ■•>i | ^ ) ^o, supposer a^o, a'^o sans

restreindre la généralité puisque a et a' n'interviennent que dans la condition de (4) et (5), alors, u^ (x) esl^o; comme de plus a et a' ne peuvent s'annuler en même temps, on conclut que v-2 (iF)>>(> dans a6. Donc ^'^(x) solution de l'équation différentielle et de la première condition du système (i) pour A = A, n"a pas de zéro dans ah. Donc m = o.

Kl un calcul Tort simple montre de suite que

Ou en conclu!

Si alors A croit de A, à la première \aleur u.,,, qui lait acquérir aux

solutions V [x) de ! ('quatioii diderentielle et de la première con-

I • • 1 - / ■ / K ( 6 ) t'' ( 6 ) , , > , (Mtioiidn système ( I ) un /(;ro en o. —rr^ — - décroîtra depuis une

, .... ., K(6)3' valeur positive ^ o jusqu a -oc. et comme ^-^ croît en com-

mençaut par une \aleur néi^ative dans les mêmes conditions, il y a

un nombre caracicrisi ique À„ du système (1) entre A, et a,„.

, , , , . I , / min G \ 1 1 •

IJaiis le «'as spe(;ial ou . . - o, s est =: o, la solution Ço

esl une loncliou limiaire de x — a. On \olt encore que i'2{x) ]> o

I / ( min K ) c', ( b) .... , , ,

dans ao, el que , , ~ ' — est nositil ou nul. Le même raison-

nement que pr(;c<'demmenl luontre que /n = o et que Aq existe; mais dans un cas particulier, Ao peut coïncider avec A, . Ceci ne peut arriver que si a'fA, j == o. [îi'fA,)-- o, G(x, A< ) ^ o, comme on

SOLL'TiOXS RÉELLES ET LEFRS ZÉROS. 69

le voit pitr de> calculs très simples. Si ealin 'i était uni. ;x„, serait précisément la valeur \m que nous étudions.

En résumé, moyennant les conditions

[rainG]).=A, = o. (la' t).v,âo, ( 33')>.=A,^o.

il y a une infinité de nombres caractéristiques du système « i ) A,. /x,, ... dans (A,Af)^ auxquels correspondent des fonctions caractéristiques a^, m,, ... ayant entre a et b un nombre de zéros égal à leur indice, X» ne peut être égal à A, que si F on a

G(jr, .V,) = o. 3t'(.V,i = o, à'i.V,) = o.

Nous avons dit qu« Slurm avait donné des cas particuliers du tiiéorème d'oscillation. Il l'avait énoncé en particulier pour le svstènie

ku > -r- (>.^'— / U/

;-= ti

xuya\ — %u'(a )

3'tt(6.)-r-Sa'(Al

où les conditions imposées à z, a , ^. ^ sont les mêmes que précédemment, k. g, l étant, en outre, des fondions de r indépendantes de À satisfaisant aux inégalités / >> o. ^ > o dans (ab).

Ici k reste invariable, G = / — \g diminue si X croît de A, = — oc à Aj = ^- 3C.

Les conditions aux bornes sont remplies: par exemple, — maxG = min('À^ — /j croît indéfiniment si X croît jusqu'à -i- oc. Il y a donc pour ce système une infinité de valeurs caractéristiques croissanles Xo- X|. ... tendant vers -^ x. et les fonctions

cai'actéristiques correspondantes ont o, i , 2, 3. zéros dans {ab).

Sturm ajoute les restrictions />o ( M,'aa'^o, ^pl'^o tout au moins pour X = o, qui lui sont imposées par le problème physique dont il s'occupe; ces conditions, superflues pour le théorème d'oscillation, permettent toutefois de préciser davantage la position des nombres caractéristiques, en affirmant par exemple qu'ils -«ont

(') Pour être plus exact, les coiiditioii< de Sturm soQt / - o. a, a". ^. ^' étant des constantes = o indëpendantes de a.

tous positifs. En ellel, si l'on considère l'intervalle A, = o, Aa = +00 fermé en A,, le deuxième genre de conditions données pour le théorème d'oscillation est valable pour cet intervalle, car pour X = o, G :=; / est ^ o et son minimum est^o. Alors Xo, X), . . . sont positifs.

Revenons sur un problème dont nous avons précédemment parlé^ relatif à l'équation

(6) —{ku;)^{\g-l)u^o,

où l'on suppose toujours A- >■ o, /^o, mais où g cliange de signe. [Le cas où g est constamment -< o n'est pas essentiellement distinct de celui où ^ >> o, il suffit de changer A en — A pour les ramener l'un à l'autre. Enfin nous laissons de coté le cas où g conserve le même signe, mais pourrait s'annuler.]

Pour obtenir, dans les nouvelles hypothèses, des résultats y)récis Il faut supposer

Nous allons montrer comment on peut faire rentrer ce cas particulier dans les résultats précédents.

Divisons les deux membres de l'équation proposée par | a| = t», il vient

c'est une équation du type habituel à

si V augmente, K et (t diminuent.

Voyons si — ^ — — et — ' diminuent quand v augmente.

[1 taut pour cela que ^—L^ et -w-^ diminuent.

bi donc nous imposons la condition que — — — et — 0 — diini-

nuent quand c augmente (et il suffit pour cela que -> ^ dimi-

\ • ^ 1 /-> aQi-> K(a)a' ^ K(6)p' nuent), on voit, a cause de ax^o, pp'^o, que — et — - —

diminueront aussi.

SOLCTIONS RÉELLES ET LKCRS ZÉROS. 71

Nous avons supposé plus haut que

maxG \

lim (-

niax k

Or ici posons l'inter%'alle A, = o. Aj = -7- ac. Si w' grandit, le terme prépondérant dans G étant — i'(sgnA), on voit que G changera de signe, si ^' est assez grand ; donc maxG sera > o et 1 on

aura par suite

,. / — max G

hm — -j=— »,

.• = 4-« \ maxK /

puisque max K. = inax - est > o et tend vers zéro si v tend vers

l'infini. Le résultat trouvé semble en contradiction avec la condition ci-dessus rappelée. Il est pourtant facile de voir que l'essentiel de la condition précédente pour le théorème d'oscillation se trouve ici encore vérifié. Considérons, en ell'et, la fonction — ^ (sgnX). On peut trouver certainement dans ab un intervalle a' b' où elle reste constamment négative [car — «^ (sgnÀj change de signe dans a6]. Son maximum dans a' b' est donc -< o.

Restreignons-nous à l'intervalle a' b' pour la variable x. La condition précédente se trouvera remplie : on aura bien

,. / — maxG\

Iim ( -^ = — X.

Si alors on se rappelle que cette condition nous a permis d'affirmer que la solution r, du système

-j— (K«') — Gm = o. a'u(a) — a «'(a '1 = 0

pouvait avoir (si A était suffisamment voisin de Aj) un nombre de zéros arbitrairement grand dans l'intervalle ab, on voit qu'ici les mêmes conclusions s'appliquent à l'intervalle a' b' et ainsi a fortiori à l'intervalle ab.

La même observation peut se faire pour le deuxième genre de Ctmditions indiquées

(ininG)x=A,âo, m'Io, ?P'.^o.

A vrai dire v? = o n'appartient pas à l'intervalle de variation que

7>. CllAlMTHi; TH.

nous admettons pour r puisque pour r tctidaul \(irs zéro la loiiction K de (7) tend vers l'infini.

Mais reprenons la forme initiale (()) pour laquelle r =: o ne eause aucune sini;ularit<''.

Ou peut en opérant eoirimc précédemment, comparer [équation ((ij où ç = i) et la condition a' (o)//(a) - a(o)M'(a) = o à un système analogue au svstème que nous avons appelé (4), dont v.2 sera

I I • i-i • 1-/-C I ■ / --, (min K ) p'., (6) -,

la solutu)n: on (Jeduil sans duiicultc v.,(x)<o, fi-^ — do, on

passe de là à la solution c, (,r) de (6). Alors :

1" Si A > (). on a enire o et f- x la série infime de valeurs caractéristiques positives a,,, a,. ...;

2" Si A <C o, en posaiil i' = — a dans l'équation (()), on trouve de nouvelles valeurs caractéristiques ditVérentes des précédentes, puisque d — = / — Ai,' chanije de \aleiir si l'on ehaniçe A en A.

^ous |)ou\ons (lésii;uer par)^^. X[, . . . les valeurs caractéristiques positives (elles vont eu (froissant et tendent vers +- x»), et par A^, Aj, ... les valeurs car.ictéristiques négatives (elles vont en décroissant et tendent vers — 00).

- À^ et A~, sont en g(''néral l'une >> o l'autre << o. el ni l'une ni l'autre ne peut être =0 saut dans le cas d'exception signalé plus haut oii Cl se réduit à z(''ro poxir A-^ A,, a'(A() = o, ^'(A,)::^ o,

c est-a-dire ici poui' /eeeso. avec ^, , : ( ' ).

^ ii ( o) = o ^ '

En définitive, nous avons encore dans le cas où ^' change de signe un théorème d'oscillation; il ne diffère du théorème relatif à g- de signe invariable qu'en ce que, pour chaque entier, k il y a deux valeurs caractéristiques. )^J 6t).}^ positive et négative donnant au système (S) une solution pourvue de A zéros dans l'intervalle ah.

10. Étude des valeurs caractéristiques au point de vue de la réalité et de leur ordre de multiplicité. Dans tes paragraphes

précédents nous n'avons ('*tudié que les valeurs caractéristiques

(') La discussion complète de ce cas. un peu exceptionnel, ne présente aucune difficulté sérieuse pour la méthode dont nous nous servons, comme je l'indique dans le Bulletin de la Société mathématique américaine, octolire un 4-

SOLITIOXS KKKI.I.KS ET LtURï^ ZtROS. 7?

réelles. Deinandons-aous luaiateuaut s'il en existe d'imaginaires, II est indispensable pour cela de supposer que les cuefficients

du système différentiel étudi»'- sont définis pour les valeurs iuia-

ginaires de )..

Nous n'étudierons à ce point de \ ne que des syslèuiesde Stiirm :

hl-

P'u(b)-i-Su'{b, = o

OÙ nous supposerons /«, ^. / fonctions de x seulement, a, y. . j, ^' indépendants de \.

Soit i-,(jr.A> la solution de (i) qui satisfait aux conditions u(a) = 7L, a'(a ) = a'. Les deux fonctions »-, ij;,A)et f,(j:, A) sont continues en ( x. X ) et non seulement analytiques, mais entières en a.

l*ourque le s vstèuie soit compatible, il faut et il suffit que i-, (x, a) vérifie la condition (3). Ceci donne comuie équation pour déterminer les munbres caractéristiques

dont le premier membre est une fonction entière de a. G est bien \a même équation caractéristique que nous d(mne la formule (i) du paragraphe 1 1 quand on se sert du système fondamental a, = tj , «2 = la solution de (i) telle que u^ia^^^^^. u'Ja^^^', où y et v' sont des constantes et a-'' — a'v = i.

Tout «l'abord, existe-t-il des nombres caractéristiques iuiaginaires?

Etablissons, avant de répondre, une fonuule indispensable.

Soient a', a' deux noiubres caractéristiques distincts, a, et a-j les fonctions caractéristiques [solution du système ( i; (2) (S)\ c«)rrespondantes. D'après une formule de Sturui [formule (i), § 13].

[X ( «, «î — «1 «2)lf; — / 'À'— t" )i^ui Ui djr = o. •^ tt

Mais M, et u, xérifiaut les conditions {».) et (■»» il reste

74 CIIAPITHE m.

,el, puisque V ^ À',

/ ffUi «2 dx = O.

Cette formule est valable pour A', o-, / fonctions complexes de la variable réelle x, et a, a', ;3, p' constantes complexes quelconques.

Mais supposons les coefficients a, a', j^, [i' réels ainsi que les fonctions k, g., l.

Le premier membre de (4) est évidemment vine fonction réelle, si ). est réel. Donc ses racines sont 2 par 2 conjuguées. A la racine imaginaire V = [j. -h vi^ ^ ^ o correspondrait la racine V = tj. — ci et X' serait ^ V .

Si à À' correspond la fonction caractéristique ai=.ç + t7; à V correspondra la fonction imaginaire conjuguée W2 = ? — • it.

Appliquant la relation précédente à ces deux fonctions a^ et u^-, on a

(5) f g{s'^+t^)doc = o,

S et t étant des fonctions réelles de x, non tous deux identiquement nulles puisque M, ne l'est pas, si l'on suppose ^'- >- o ou exceptionnellement nul, on a une contradiction. Il n'y a donc pas dans ce cas de valeurs caractéristiques imaginaires. C'est un résultat de Poisson, et nous n'avons fait que reproduire sa démonstration.

Examinons maintenant le deuxième cas déjà mentionné dans les précédents paragraphes /.\> o^ ^^o, aa'^o, ^^'^o, g changeant de signe. Alors le théorème précédent est encore vrai : toutes les valeurs caractéristiques sont réelles.

Soient en effet V = ix + ç'i une valeur caractéristique imaginaire, supposée exister; w, =s-i-it la fonction correspondante. Ecrivant que u, vérifie l'équation (i) on a, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire du premier membre,

~(/cs')^(lxg- — l)s — ws't = o, On conclut de là en multipliant la première par 5, la deuxième

par t, ajoutant et intégrant (6) [k(ss'-t-u')]^

Il est clair que le deuxième et le quatrième terme ne sont pas positifs, et le troisième est nul. d'après (5).

Moyennant les hypothèses aa'^o, ,3,3' ^o, on voit que s et s' ont même signe en a d'après la condition (2) ainsi que f, £'; 5 et s', t et ^ ont des signes contraires en b.

Donc

[A:(5*'-t-«')]i est une quantité £o. ' D "au Ire part

est bien ■< o et n'est pas nul, sans quoi il faudrait que s' et t', et par suite m',, fussent constamment nuls dans ab; donc que «i fût une constante différente de zéix) (pour n'être pas identiquement nulle) ; ceci exigerait

((X + Vt)^ — / = o,

c'est-à-dire t^o^ ^ o et comme v ^ o, g^ o.

Ceci est incompatible avec l'hypothèse que g change de signe. Le premier membre de (G; serait donc bien négatif, d'où la contradiction qui démontre le résultat annoncé.

Dans l'étude des valeurs caractéristiques deux que tions se posent :

1" Quel est pour une telle valeur l'indice du système? — On voit immédiatement que, dans le cas actuel, l'indice a toujours la valeur i, puisque autrement toute solution de (i) devrait vérifier (2).

2° Quel est V ordre de multiplicité d'une racine de V équation caractéristique? — Etablissons une formule préliminaire. Si u est une fonction caractéristique on a

gu'^ dx ^ o

CHAPITItE III.

(saul dans le cas exceptionnel où ^> change <le signe, /^o, a' = jiJ' = (). C est un cas que nous exclurons ; vojez la note vers la fin du |)araj;raphe lo). Si ^' > o, la démonstration est immédiate. Si g change de signe, soit A le nombre caractéristique auquel correspond la fonction caractéristique ti . En multipliant par u l'équation dillerentielie à laquelle satisfait u et intégrant, on trouve la formule

À / ^rii- (Ix ^r^ — \l<uuy,',-+- I /ifl'- (/x -+- I lu- <lx.

Le premier terme à droite est positif ou zéro en vertu des relations

Puisque le sec(»nd terme ne peut être zéro que dans le cas d'excep-

li(ui que nous axons exclu, on \oit que). / gu^ dx est positif

(pas nul). i\(tlrc lnégalit('^ est ainsi démontrée puisque le nombre caractéristi(pu- }. \\v. ))eut être == o que dans le cas d'exception.

Ce résultai «laiil établi il est facile de voir que, liors le cas d'excepti(ni signal*', toute racine de If-quation caracléristique est simple.

Envisageons la lonclion eiilicre de la lormule ( \).

F(À)= [i'fi(6,X)-+-pj'i(^». X).

Soit A, un quelconque de ses zéros, la fonction caractéristique correspondante sera v^ (xSa, ). Calculons F' (À,).

Combinant l'équation (i) que vériiie r,(^r. A) avec celle que vérifie r, (a?, /,,) ou tire, en éliminanl /.

]/,\i>i(:r,A)v\(j::li)— i'\(.r. l)Vi{j\ À, )] 1^'

-^ (a, — X) / ,;ti ( .r, X] ) t'i (.r, X ) d.v = o.

ii {X,K) et c, [X^'/.^ ) vérifiaul la condition (y) relali\e au point a, et c, {x^\i) vérifiant la (■oiidition (.)) relative à h, cette égalité se j'cdiiii à

.'„ [î X ^ Xi

SOLUTIONS RÉKLLKS ET LEIUS ZEROS. 77

Ceci en siipposiint 3' 7^ o. [Si ,0' = »• un calcul semblable donne le même résuluil final.]

Or

PV,(6, X) -T- ^f ,(6, À) = F( À . = FCÀ, — F(À,).

puisque F(a, ) = «•. Si donc X tend vers a,, le deuxième membre

va tendre vers

Çfix.Ki va tendre uniformément vers f, (a:,A| 1 quel que soit x dans ab. Donc le premier membre tendra vers

qui est 3= o.

On eu conclut que F'(A,)^o. Toute racine de l'équation caractéristique est donc racine simple, sauf le cas d'exception déjà signalé.

LES FONCTIONS CAR VCTÉKISTIQUES ET LEURS ZÉROS DANS QUELQUES CAS PLUS GÉNÉRAUX (•).

17. La réalité des nombres caractéristiques. — Nous ne traiterons en détail dans ce Gliapilre que deux problèmes typiques qui dépassent les problèmes de Slurm étudiés dans le précédent Chapitre. Nous comaiefiçons, pourtant, par quelques considérations plus générales.

Envàsaffeons un système liomogène

L{u) = la

dx"^

du

dx

K étant un paramètre dont les fonctions g^ /, /,, L,, ..., In sont indépendantes, ainsi que les coefficients constants qui entrent dans les U/(m).

Le système adjoint s'écrira

^\{v) = nin

dx" '

dv dx (i — I , •?.,

(') Mason, Trans. Amer. Math. Soc, t. Vil, 1906, p. 33-. — Birkiioff, Trans. Amer. Math. Soc, t. X, 1909, p. 259. — Klein, Math. Annalen, t. XVIII, 1881, p. 419- — BÛCHER, Bull. Amer. Math. Soc, t. IV, 1898, p. 807 et 365: t. V, p. 22. — RicuARDsox, Trans. Amer. Math. Soc, t. XIII, 1912, p. 22. — Math. Annalen, t. LXXIII, 1912, p. 289. Le résultat principal du paragraphe 1 de cet article est incorrect.

Pour les équations d'ordre supérieur, on consultera :

LiouviLLE, Journal de Mathématiques, t. III, i838, p. 56i. — Davidoglou, Annales de l'École Normale supérieure, l. XVII, ujoo, p. SSg; t. XXII, igoS, p. 539. — Birkiioff, Trans. Amer. Math. Soc, t. IX, 1908, p. 378; Annals of Mathematics, t. XII, 1911, p. io3. — Haupt, Dissertation, Wiirzburg, 1911.

et l'on voit facilement que m, m , nin et les coefficients des V,-

sont indépendants de k.

Ces deux systèmes ont, quel que soit \, même indice: donc ils ont les mêmes nombres caractéristiques

Soient Ml, Mj, ... les fonctions caractéristiques du premier système; v^^ v^^ ... les fonctions caractéristiques correspondantes du deuxième.

Pourdeuxuombres caractéristiques différents, par exemple A| ,A2? je dis que l'on a

Nous utilisons la formule de Green

f [t'L(«)-aM(p)]^=U,V,„-^...+ U,„V,.

Soient Lo (m) etM,(t') ce que deviennent L( m) etM(t') pourX = o. On a

f [vL(u) — uM(v)]dx=f [vLo(u) — uMo(i')]dx.

Pour M = M,. i==t2. le deuxième membre de la formule de Green est nul [d'après les conditions aux limites de (i) et (2)], et le premier membre se réduit à

I [viLo(ui) — UifAo{vt)]dx=l (li — \i)g'UiVtdx.

On a donc

/ gu^ Vi dx = o.

Si. en particulier, le système est son propre adjoint, t^,, t^o* • - • sont identiques à a,, w-jr • • • et la formule se réduit à

I gui «j dx = o.

C'est le cas pour les systèmes de Sturm étudiés au précédent Chapitre, et pour lesquels la formule précédente a été établie directement.

8o ClIAlMTRi; IV.

De lii ou (Ic'dnil. pour un systôme diUV-rentiel réel qui csl son propre adjoinl, que :

i" Si^'>>o, iDus les nombres caractéristiques soûl réels. Car ù toute valeur caractéristique À, = P"- -+ *'f (»' ^ o) correspondrait X2=jji. — vi ég^alement caractéristique, et si M| = ,y^^i on aurait //^ = *" — /'• <l <»ii

/ ^(s'^ -h f- ) (Ix = o,

qui est impossible si i,'\> o.

;>." Si /^o, ^^' ("bani^eant de sij;ne, moyennant certaines conditions imposées aux coefficients des \Ji( u), les nombres caractéristiques sont encore réels.

Ces restrictions ncUonneront pas ici, si Ton songe que. pour le système de Sluriu du deuxième ordre, aux conditions

( a.' u(a) — oLu' (a j := u.

Ci)

il il tallu imposer aa'^o, ^Sj^'-^o pour démontrer le même résultat. Pour ne pas compliquer les notations, bornons-nous à un sjstcjtie du deuxième ordre qui est son propre adjoint. Nous le prendrons sous la lorme

\ aiu(a) -|~- a', m' ( a ) -h 3] « ( 6 ) -f- p\ ii'{ b ) — o.

\ a..,u( a )-+- oc'.j, H (a) -h j3, m(6) -i- '^'.^ "'(^) = o.

iNous avons vu au Cbapitre II (jue ce svstèuie est son propre adjoint à condition que

Dans ( i). on peut en général réduire les deux conditions à la lorme

i " {a) = -{iu{b)-+-^l\u'(b), l u'(a) = ^f.iu(b') -+- -l'.yU^b).

Il n'y aurait ex(-eption que si y., a!, — a^ a', . et parsuite ^i B'., Colletaient /tuts.

FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES ET LEURS ZÉROS. 8l

Mais alors, il est clair que les conditions de (4) peuvent se réduire à la forme de Sturm (3) en éliminant d'abord les 3,, ^â'j, ^2, ^2, puis a,, a',, ao, a^.

On n'exclut donc pas de cas nouveau en prenant les conditions (4) sous la forme (5). Alors, la condition pour que le système soit son propre adjoint est

(6) Hb) = Hn)('ir;'.2--(r{\).

Pour démontrer que les nombres caractéristiques sont réels, nous déduisons comme pour les systèmes de Sturm, au paragraphe 16,

égalité qui entraînerait une contradiction si l'on avait

Mais 5 et i satisfaisant en a cl b aux conditions (5) que vérifie toute fonction caractéristique, il suffira pour avoir la contradiction précédente que toute fonction réelle u vérifie

A:(a)[Yi«(6) ---/', «'(6)] [Y,«(6)-t-Y2«'(6)]-'^(6)u(6)a'(*)^o,

ce qui se réduit par la formule (6) à

Ti Yï"'(*) ^- ^y'i Yî «(6) «'(*) -^ y', Y2 "''(*) ^ o-

En vertu de l'inégalité yjyj — y2*'''i>o, qui est une conséquence de (6), on trouve facilement que la condition que cette forme quadratique en m (6), u' [b) soit définie et positive est que y,, y2, y',, y', soient de même signe (quelques-uns d'entre eux pouvant s'annuler) : c'est un cas dont l'importance a d'abord été signalée par M. Mason.

Donc, si ces conditions de M. Mason sont vérifiées, on aboutit à une contradiction en supposant l'existence de nombres caractéristiques imaginaires, ce que nous voulions démontrer.

Un cas très important est celui d'un système du deuxième ordre où les conditions soient

La condition pour qu'il soit son propre adjoint est

[Si nous définissions k comme fonction périodique et de période b — a, k{x) serait continue et positive pour toute valeur de x\ si, de la même façon, nous prenions g et l périodiques, ce qui pourrait introduire, dans un intervalle fini de variation de a?, un nombre fini de discontinuités pour ces deux fonctions (mais nous savons que ceci ne gêne pas), les conditions que nous venons d'écrire détermineraient des solutions périodiques et de période b — a pour l'équation différentielle. Cette parenthèse montre comment on peut rattacher ce que nous allons dire à la théorie des solutions périodiques.]

Les conditions de M.Mason sont remplies. Donc non seulement si^'^>>o, mais aussi si l^o, g- changeant de signe, les nombres caractéristiques seront tous réels. INous verrons dans la prochaine section qu'ils sont toujours en nombre infini.

Si, en particulier, on prend

u (o) = u ('2TZ), «'(o) = m' (2 71),

tous les nombres caractéristiques sont réels. Pour les avoir, on prendra deux solutions fondamentales de l'équation, analytiques

en ).,

y^ := cosa: y/X.

ri

— — siiia; i/X,

Les nombres caractéristiques se trouvent très aisément par une méthode directe ; ce sont

Si l'on forme l'équation caractéristique, on voit qu'à l'exception de zéro, toutes les valeurs caractéristiques en sont des racines doubles.

On voit aussi qu'elles ont l'indice 2.

Cet exemple montre que, dans les cas que nous considéron maintenant, ni les multiplicités ni les indices des nombres caractéristiques ne sont nécessairement égaux à i .

dx

(Ku-)

'fa^ —

FONCTIONS CAIt^CTÊRlSTIQDES ET LEDRS ZÉROS. 83

18. Les systèmes à conditions périodiques. — Revenons à Tétude plus détaillée du svstème

à conditions périodiques, et dans lequel nous supposerons

pour qu'il soit son propre adjoint.

K et G sont des foncrlons de x et a, décroissantes en \. Nous supposons en outre que ces deux fonctions satisfont aux conditions que, au Chapitre III, nous leur avons imposées, quand nous avons appliqué les méthodes de Sturm au système

—r- (Kui — Ga = o dx

a' u(a) — aa'(a) — o

Ta(fe)-f-3a'(6) = o

Prenons deux solutions principales y, , y., de l'équation :

La formule d'Abel donne

^ly-i-y^yi

Kix)

et en particulier, pour x = 6,

Mà)y.,{b)-y^(b)y,(b) =

quel que soit A.

L'équation caractéristique est ici

-v.(6,X) i-y.(6,X) Elle se réduit à

F(À) = ri(6, X) -+- ^2(6, ^) - 2 = o en vertu de l'identité (2).

A-t-elle une infinité de racines réelles ? Les méthodes de Sturm permettent de répondre affirmativement.

Considérons, en effet, le système auxiliaire

-7— (Km') — Gm = o, u(a) — o, u(b) = o ax

C'est un système de Sturm. Il a donc une infinité de nombres caractéristiques y-oi l^n j^a? ••• auxquels correspondent des fonctions caractéristiques ayant o, i, 2, ... zéros dans (a, b).

Pour ces valeurs [jl,, F ().) n'est pas nul en général, mais prend une forme particulière. En effet, pour ces valeurs, toute solution

de -r- (K?/') — Qu = o, nulle en a, est aussi nulle en b, donc

ax ^ '

yi{b, \ii) = 0,

par suite, (2) donne et l'on a

Donc F((jt./) sera^o ou <o, selon que y{{b^ ^-i) ^^ f^i^i H') seront >> o ou << o.

Bornons-nous à y'^ (b, [Xj).

y^{b., p./) n'est pas =0, car y.^ib-, \t-i) = o.

F([x,)^o. Ces inégalités donnent le signe de F (X) aux points [Xq, jx,, ....

Fig. I.

fl*-»

Fa) <o

En effet, à ^q correspond j^2( ^5 i^o) nulle en a,b et >» o entre a et è, puisque y'^(^a) ^= \ .

Donc

FONXTIONS CAR.4^CTÉRISTIQUE3 ET LEURS ZÉROS. 85

Pourix, (voyez /o-. i),

yo(6, u,)>o, F(îx,)^o.

On peut continuer ainsi et l'on voit que l'équation F(X) = o a une infinité de racines séparées par les nombres

H-o, ni,

On peut préciser davantage. Toute solution du système (i), non identiquement nulle, doit avoir un nombre pair de zéros dans l'intervalle a ^j? < b fermé en a, ouvert en 6 à cause de u{a) = u{b), u\a) = u'{b).

Il en résulte que ;a.o, 'J-2i Y-xi ... ne peuvent être des racines de F(X) = o. En effet, jK2(iC, Uo) a dans {a'^x <cb) un seul zéro qui est a] d'après le premier théorème de Sturm démontré au paragraphe 12, toutes les autres solutions de l'équation différentielle auront aussi exactement un zéro dans l'intervalle; elles ne peuvent donc vérifier les conditions de périodicité en a et b. Et le même raisonnement vaut pour !jl2, 1^-4, • • •• Donc

F(fJLo)<0, F(tx,)<o,

Nous irons plus loin en considérant le deuxième système auxiliaire de Sturm

-r— (Ktt'i — Ga = o dx

Il a une infinité de nombres caractéristiques Vq, v,. Va. ... auxquels correspondent des fonctions caractéristiques ayant o, 1^2, ... zéros dans (a, b).

On raisonne sur les v/ comme sur les u./ et l'on trouve que F(X ) a en ces points un signe qu'on peut fixer et qui est donné par le premier schéma ci-après {fig- 2).

On peut relier les u,- et les v< entre eux.

D'abord Vq«< 'jlo, car pour A = Vq l'équation différentielle a une solution partout ^ o dans {a, b) ; tandis que, pour a = ;j.o, elle en a une qui est nulle en a et 6, et, par conséquent, pour toute valeur ).^;j.o toute solution aura un zéro au moins dans (a, b).

On voit de même que v, <C \f^i car pour X^ [j.,, toute solution a au moins deux zéros dans (a, b) alors que pour  = V( il y a une solution n'ayant qu'un zéro dans l'intervalle.

Fig.'a.

Vi'k) >,o • <o >o <o

On peut continuer ainsi et montrer que v, << }Jl/.

Mais v,peut être > |ji,, ou < ;jl/, . JNous figurerons alors sur Taxe

des X des petits segments réunissant les points v,, p.(,; v^, [x,;

Ces segments n'empiéteront jamais les uns sur les autres. Ils peuvent se réduire à des points. C'est le cas pour le système (7) de la section précédente.

On' voit donc que le système (1) admet des nombres caracléristiques en nombre infini répartis :

1° Entre v^, et le premier segment;

2° Entre les segments consécutifs.

A ces nombres caractéristiques correspondent des fonctions caractéristiques ayant des nombres faciles à déterminer de zéros dans (a^x <i b).

Il s'agit maintenant de préciser ces résultats.

Les conclusions auxquelles nous allons arriver par la suite sont vraies dans tous les cas; mais, pour simplifier l'exposition, nous nous bornerons à supposer K(a:) indépendant de X et G(a, A) analytique en X. Alors le premier membre F(X) de l'équation caractéristique sera une fonction analytique entre A, et A2, on pourra parler de l'ordre de multiplicité de ses lacines. Nous avons

ailleurs déjà supposé G fonction décroissante de X, ici nous sup-

dG , , . ÔG • 1 ■ 1

poserons -r- <; o en excluant le cas ou —r- pourrait devenir nul.

Ces conditions laissent encore assez de liberté pour que les résultats que nous établirons s'appliquent aux importants systèmes où G = / — X^, ^>o.

L'équation caractéristique est, comme on sait,

FONCTIONS CARACTÉRISTIQCES ET LEOBS ZÉROS. 87

Considérons le signe de F' (a) pour les diverses racines de F(a) = g :

Pour calculer les dérivées ci-dessus, remarquons que si l'on considère plus généralement la solution u de l'équation diflérentielle pour laquelle u(a) = a, u'(a) = a', a et a' étant deux constantes quelconques, r^ vérifie l'équation

C'est une équation linéaire non homogène en -p-» et léqualion sans deuxième membre est l'équation proposée qui admet la

solution^! (Xj X), y*{x., X). La méthode de la variation des cons-

, du /'du\' ,

tantes donne -r- et f -j:^- 1 > en tenant compte de ce que

puisque, quel que soit A, les valeurs en a de a et u' sont toujours X et a',

du r' àG{\,\) ,^ yi(g. \)y->ix, \)—y'.(\. \^yi(r. a) ^

\dX) - X ~ïiX— ■^' ^~ Ma) '•

Alors pour x = b e\. u ^= }'% ou y^-, on a

c(A '"^ J dK K(a)

doù

Pour déterminer le signe de la forme quadrdtique en y^ (^, X), j'2(ç, X) qui est entre crochets, envisageons son discriminant; par la formule d'Abel, on le réduit à

'7'2(bA) + y,(b,l)

Nous n'étudions le signe de F'(a) que pour les valeurs de X annulant F(X). Or, pour ces valeurs

donc le déterminant précédent est nul; la forme est le carré de

elle sera positive ou négative, selon que y^i^^) et — ^'i(^) sont positifs ou négatifs. [Il est sous-entendu que dans yaib)-, y\(b) figurent les valeurs de A racines de F (X) = o.]

Ecartons d'abord le cas où cette expression serait identiquement nulle, et, puisque c'est une solution de l'équation difierentielle, ceci revient à dire qu'on n'a pas y^ib) = o cl y\ (b) = o à la fois. Nous reviendrons ultérieurement sur ce cas.

La forme quadratique n'étant pas identiquement nulle, en l'intégrant puisque K(<2)>o, — -^ — <o. F'(X) trouvé sera du signe contraire de la forme.

Donc dans tout intervalle de variation de X où yi{b) ^ o, F(X) ne peut avoir plus d'un zéro, cardans cet intervalle la forme, et par suite F'(X) conservent le même signe en tout point où F(X) = o. Même remarque pour un intervalle où j'', (b) reste ^ o.

Souvenons-nous alors que les [jl,- sont les racines de l'équation

et les V, les racines de

Entre deux segments consécutifs (vttJL,,) {Jlg- 2), ni y\ ni y2 ne sont nuls, donc F(X) ne peut avoir qu'un zéro entre deux tels segments. La distribution des signes de F(X) aux extrémités prouve d'ailleurs que F(X) s'annule au moins une fois entre deux segments consécutifs, F'(X) admet donc exactement un zéro entre deux segments (v/jji./,) consécutifs. De plus, il n'y a pas

de zéros sur les segments eux-mêmes puisque, dans (uq, u.,) j>ar exemple {^soir fig. 2), il n'y en a qu'un et qu'il est entre Uq et 73. (La même conclusion est facile à tirer pour tous les cas de figure.)

Il j a pour la même raison un zéro de F (À) et un seul entre v, et le segment (V|, ji©)- H n'y en a pas entre A| et Vo-

Fi§. 3.

Ces résultats fixent les nombres caractéristiques ).q, A,,...en position {Jig- 3).

Venons aux fonctions caractéristiques m©, M|, ....

On sait que. pour A = ixo, la solution du système auxiliaire (3) s'annule en a et 6 seulement. Donc, pour X^uo- toute solution de l'équation ne peut avoir qu'un zéro dans (a, b)', or, toute solution de ( I ^ a un nombre pair de zéros. Donc Mq ne s'annule pas dans (a. b).

Des raisonnements tout paireils prouvent que m, et u-i auront deux zéros, «3 et Ui, en auront 4« etc., ce que nous résumerons dans ce Tableau :

Fonctions caractéristiques. . . «o «i m* "j "v ••• Nombre de zéros dans a6.. . . o 2 2 4 4 •••

Ces résultats constituent un théorème d'oscillation pour le cas actuel.

Les seuls cas d'exception que nous ayons encore à considérer sont ceux où quelques-unes des valeurs UiVa, U.3V4. ... coïncident [puisque l'on connaît d'une façon précise le signe de YÇk)^o pour (uoV,), ('JL2V3), . . .] et où les K coïncidei'aient avec ces valeurs. C'est justement le cas que nous avons écarté dans la discussion précédente où y»i^b)=y\{b)=-o pour une racine de l'équation F (a) = 0.

Ce cas d'exception se présente efl'ectivement dans l'exemple particulier traité précédemment [roir (7), § 16]. Il faut alors étudier F''(X) pour ces valeurs de a, pour lesquelles F()v) =F'()v)=:o.

Or. un calcul analogue à celui fait pour F' (a) prouve que, pour

go CHAPITRE IV.

ces valeurs,

"'^)=->./: -Târ[-'^^>^--'-'^

àV- 1 ''^'

d'où, en rempla(;ant -^ et -^ par leurs valeurs trouvées anlé- ' ^ ' oA yA ^

rieurement,

et, puisque le crochet qui figure dans l'intégrale double n'est pas identiquement nul (j-, et y^ étant linéairement indépendantes),

on a

Ces racines multiples de F(X) sont donc exactement des racines doubles et F a un maximum à tous ces points. II s'ensuit que cette racine double remplace les deux racines simples, qui autrement se trouveraient des deux côtés du segment qui s'est réduit à un point (' ).

On trouve enfin très facilement que l'indice du système (i) pour ces valeurs-là est 2, puisque le problème périodique a deux solutions linéairement indépendantes, j', et y 2] ''^ la racine double correspondent ainsi deux fonctions caractéristiques, ayant le nombre de zéros indiqués par le théorème d'oscillation.

INos résultats se généralisent dans différentes voies. On peut se borner à supposer G décroissant, sans supposer que G possède une dérivée par rapport à A. Les méthodes à employer sont plus délicates, mais les résultats sont les mêmes. On peut aussi considérer des conditions non périodiques pour des systèmes toujours adjoints à eux-mêmes. Mais alors les théorèmes d'oscillation sont

(') Si l'on avait par exemple |x, et v.^ confondus, et a une valeur caractéristique confondue avec [jl, et v,, on pourrait se demander si entre ([^jV^) et le segment (fio^'i) précédent, ainsi qu'entre ([x^v^) et (jjljVj), il n'j- a pas d'autres nombres caractéristiques \ et \ différents du X qui est en (fJ-iV,). Or ceci est impossible, car F(X) étant maximum pour la racine double, aux valeurs X; et \ supposées exister, F'(X) devrait avoir les signes — et -+-.

MaisF(X) étant < o pour ([AdVj) et nul pour ([iiVj), on voit que, en X,, sa dérivée F'(X) ne pourrait être que positive. Même raisonnement pour X^. La contradiction montre que X, et X„ n'existent pas, ils sont venus se confondre avec ^l^ et v^.

PONXTIONS CARACTERISTIOl'ES ET LEIRS ZEROS.

moins précis : on ne peut donnei' qu'à une unité près le nombre des zéros des fonctions caractéristiques dans (a, b). Il y a enfin les extensions, jusqu'à présent très incomplètes, aux équations d'ordre supérieur au deuxième.

19. DevLxième extension des problèmes de Sturm. Le théorème d'oscillation de M. Klein. — Nous avons, au Chapitre III, étudié des systèmes de la forme

-r- (Ku'> — G« = o ax

9/u(b)-^Su'{by—o

K ne contenant que la variable x, G dépendant de x et d'un paramètre, a, ^, a', ,3' étant des constantes indépendantes de A.

Dans ce qui va suivre, nous envisagerons, au lieu d'un intervalle (a, b) de variation de x, un nombre quelconque de tels intervalles

(aoba); (a,6i); ...; (a„b„)

se suivant sur Taxe des x dans l'ordre des indices croissants et n'ayant aucun point commun 2 à 3 (pas même les extrémités). Nous considérons en outre n -r i paramètres Ao, X,, ..., /.„ dont dépendra la fonction G. chaque paramètre variant dans un intervalle qui lui est propre. Pour chaque segment a/, 6/ nous considérerons des conditions telles que

a', «(oo) — «0 «'(«0) = o, ^;tt(6,)-i-?o«'(*o) = o,

«i "(«i) — «1 «'(«1) = o, ^\u{bi) H- 3,a'(6i) = o,

Le problème que nous nous proposons est le suivant : Peut-on déterminer Ào, A|, ..., An de façon que l'équation différentielle

— (Ku')-G« = o

admette n + i solutions «o, M|. • • -, ««,

Uq vérifiant les conditions relatives à (ao^o), «1 » » » {a^bx),

Un » » » (a,ibn).

Pour fi = o, il est clair qu'on a le problème de Sturm étudié au Chapitre HT.

M. Klein a été conduit à ce problème en étudiant les travaux de Lamé sur la distribution de la chaleur dans un ellipsoïde. Le seul cas que nous considérons avec M. Klein est celui où G a la forme particulière

(i) G = l(x) — ff(x)[lo-i- lix -+- l^X'-i-,. .-1- X„a?»]

(âoî ^>)? • • ■l'^n variant de — oo à + oo).

Nous supposerons, pour simplifier, 0(^7) > o dans les intervalles (a/, bi). En réalité, il suffit de supposer que g ne s'annule dans aucun de ces intervalles, son signe pouvant être différent dans deux intervalles différents. K, /et ^ seront supposés continus dans chacun des intervalles fermés (a,, bi). Nous ne supposons rien sur eux, hors de ces intervalles (*).

On pourrait, à vrai dire, par des changements de la variable indépendante, ne considérer qu'un seul intervalle pour x, et n-f-i systèmes différentiels, mais le résultat s'énonce moins simplement que sous la forme donnée plus haut au problème. Dans ces conditions, on a le théorème d'oscillation suivant dû à M. Klein :

// existe une infinité de systèmes (Xq, )m» ^>2i •••? ^w) réels pour lesquels les fonctions cherchées Mqî ^n ••" Un existent sans être identiquement nulles.

Ces systèmes de nombres caractéristiques se différencient les uns des autres par le nombre de zéros que les fonctions caractéristiques Mo? M,, .... u,, possèdent respectivement dans (a^bo), ..., (anbn). Si Von se donne à l'avance n-\- i nombres

positifs ou nuls

nio, m,, ..., /n„,

(') Et effectivement, dans l'équation de Lamé, les coefficients ont des singularités entre les intervalles (aib-).

FOMCTIOXS CiRACTÉRISTlQCES ET LEERS ZEROS. 93

on peut trouver un système Ao, X|. À», et un seul, pour

lequel les fonctions u^^ M|, ..., «« ont respectivement m^f^m,, — nin zéros dans chacun des intervalles (a«6g), (atbt),

{anb„).

Pour n =: o, on a simplement le théorème de Sturm établi au Chapitre III. Nous allons donc procéder par récurrence.

Supposons le théorème vrai jusqu'à l'indice n — i. Démontrons-le pour l'indice n.

On peut écrire

(2) G{x) = [l(x) - X;,*»^(ar)] — ff(x) [h>^ l^x-r-...-^ X„,:f'»-'].

Donnons à \„ une valeur arbitraire, mais fixe; il existe alors un système, et un seul, de valeurs de À», Xj, ...,X„, pour lequel le> fonctions caractéristiques Uq, «i, .-., a«i ont respectivement, dans

mt» w»i, , m„-i zéros.

Il reste à voir si \, peut être choisi de façon que u„ existe vérifiant les (« -r i) conditions.

Les Xo, \^, . . ., )v„, précédents sont des fonctions de X„. puisqu'ils sont déterminés quand /« est connu. En les exprimant en fonction de \„ dans G. G devient fonction de x et de X„ :

Nous allons montrer que G(jC, X») satisfait aux conditions requises par le théorème d'oscillation de Sturm.

Pour cela, considérons la différence G (x. À,,) — G (x, X^). Elle s'annule nécessairement pour une valeur de x dans chaque intervalle (aobo), {a,b,), ..., {a„,b„t); car si, dans (ao^o) par exemple, cette différence ne s'annulait pas, elle aurait un signe constant; par exemple, on aurait G{^x, X„)^ G(jC, X'„). Mais, pour la valeur X'„ du paramètre, la solution Mq de l'équation qui vérifie les conditions aux limites relatives à a^b^. oscillerait plus vite que pour la valeur X^ (théorème de comparaison de Sturm), et ceci contriedit le fait que Mo a toujours, quel que soit X«, un nombre de zéros égal à m».

11 y a donc au moins

un point a^o dans (aoèo), un point ari dans(aiZ>i),

un point Xn^i dans (a,j-i ô,j j ),

tel que la difïerence précédente soit nulle.

Désignons par À^, à'j, . . ., /^^i les valeurs des n premiers paramètres correspondant à V^^. On aura

= .^(-r) [(X'o->^o) + (>'i - Ai)a^ + . . .-+-()/„- Xn)^"].

Puisque g{x) a été supposé =2^ o dans tous les {aibi), le polynôme entre crochets admet ccoi a?), . . ., x,i pour racines. Donc

( 4 ) . K - Xo + ( À'i - À I ) ar -^ . . . + ( K — >>« )^"

= (a'„ — X„)(a- — a^o) (a^ — a?i). . .(x — Xn-i).

De là on déduit deux conséquences :

i" La continuité de G(a7, a,,) par rapport à a„ ; car Xo^x,, ..., x,i-i restant dans les intervalles («0^0)5 (^t^<)' •••' {^n--\bn-\ )i sont finis; donc la différence G(Xi^'k;i) — G(as',,}4) tend vers zéro avec X'„ — "k/i. De plus il est évident, d'après la formule qui donne cette différence, que G(j7, )/„) tend vers G{x^Xn) uniformément^ cjuel que soit a^^dans a^, b,), quand X^ tend vers X^. H y a continuité de G{x, \,i) par rapport aux deux variables indépendantes a?, )>„•

2° Si À« croit, G(,^, À,/) décroîtra pour tout a? dans ««6^. Car on voit par (3) et (4) que G(a?, Xn) — G{x, à'„) est du signe de X'„ — An-, donc G(ii7, A„) est fonction décroissante. Et puisque pour X dans {anbn) le produit [x — Xq) (x — iC| ) ... (x — Xn-{) ne peut jamais être nul, les intervalles [af^bo), ..., (a«»è«)) n'ayant aucun point commun avec {a,ibi,) (*), on voit aussi par (3)

(') Ce théorème reste vrai même quand les intervalles a-, b- se touchent ou quand g{x) s'évanouit sans changer de signe en des points isolés. Mais il faut alors se servir d'une forme du théorème d'oscillation de Sturm un peu pins raffinée que celle que nous avons obtenue.

et ( 4 ) que

lim G{x,Xn) = — =^,

lim G(ar, À„) = — x.

Ces conséquences i" et 2" suffisent à montrer que les conditions de validité du théorème d'oscillation de Sturm sont ici remplies. Il existe donc, pour chaque nombre /n„, une valeur réelle et une seule de X,, pour laquelle l'équation proposée admet une (/i + i)'""* solution, u„ satisfaisant aux conditions aux limites relatives à (anèn) et ayant dans cet intervalle exactement ni„ zéros.

Le théorème de M. Klein est ainsi démontré pour toute valeur de n.

Signalons en passant une application physique du théorème :

On peut dire, pour interpréter le théorème d'oscillation de Sturm dans un cas particulier, qu'une corde hétérogène étant donnée on peut lui faire exécuter des vibrations simples pour lesquelles la corde présente un nombre de nœuds fixé k l'avance.

On peut interpréter le théorème de M. Klein en disant qu'une membrane homogène limitée par deux arcs d'ellipses et deux axes d'hyperboles homofocales étant donnée, on peut la faire vibrer de telle sorte qu'elle présente un nombre m© d'ellipses homofocales nodales, et un nombre m, d'hyperboles homofocales nodales, oIq et /Wi étant arbitrairement donnés à l'avance.

Nous avons trouvé dans ce qui précède une infinité de systèmes réels de valeurs caractéristiques. Existe-t-il des valeurs imaginaires caractéristiques pour les A, c'est-à-dire des systèmes de valeurs de A imaginaires, pour lesquels l'équation admette n -\- i solutions satisfaisant respectivement aux conditions aux limites relatives aux 71 -\- i intervalles a,, 6,- ? Nous allons voir qu'il n'en est rien.

Limitons-nous, pour simplifier l'écriture, au cas typique de trois paramètres.

Soient (X'o, À,, \'.,), (X^, ).', AÔ) deux systèmes de valeurs caractéristiques auxquels correspondent respectivement les fonctions caractéristiques

On a

^ (K u\ ) -r- [^O/o -t- X', ^ + XU^) -l]Ui = o, ^ ( Ki^'a ) + [^( X'i -i- X'; a- -H X'^ ^2) /] j^^ = o.

Multipliant respectivement les deux équations par U2 et Ut, retranchant membre à membre et intégrant entre «o 6t b^, on a, à cause des conditions en a^ et bo que vérifient m, et 112-,

^[X'o — X'c -i- (J'j — X'J )x -+- (X'a — X'ô )^^] Ml "2 <^^ = o.

De même

/ ^[X'o— X; + (X', — X", )a7 + (X'2 — X';)a72] vi i>^ dx=o,

Si les deux systèmes (X'^,, a'j, X'^), (à^, X'|, X,) sont distincts, les trois différences AJ — àJ n'étant pas toutes nulles, le déterminant des équations linéaires précédentes en X', — X! est nul. Ce déterminant se réduit à la formvile simple

. bi ^ A,

') \ X\, x\ I x^ x\ X U\{X(i)Ui{xt)')v\{x\)v^{X'^w^(^x<i)w^{Xii)dx<i dx^ dx-i = o.

Cette formule généralise la formule

/ffUi Uo dx = o

due à Poisson et rencontrée au paragraphe 16. Elle démontre, pour ^ >> o, que les valeurs caractéristiques sont toutes réelles, car à Xp, X'j^ Xj imaginaires et caractéristiques, correspondraient X'i^, X",, X'j caractéristiques et imaginaires conjuguées des valeurs précédentes. Les fonctions a< p, w, seraient conjuguées de M2P2<^2- L'élément différentiel de l'intégrale triple ci-dessus

serait toujours > o et non ^ o, puisque les intervalles (atb^), (a, 6|), (a^bi) pour Xq^ x,, x-i n'ont aucun point commun. On a donc contradiction à supposer l'existence de valeurs caractéristiques imaginaires.

Le théorème de M. Klein donne donc toutes les valeurs caractéristiques.

La remarque précédente suggère une extension du théorème de M. Klein. ]Nous la présenterons brièvement pour trois intervalles (aobo), (aifei), (^262), mais elle est générale.

Prenons une fonction G de la forme

G = / — (Ào^o-l-Xl5'l^->^^^§'^)• Peut-on déterminer les À de façon à satisfaire à trois systèmes de conditions de Stunn relatives aux trois intervalles ?

Tout d'abord, on peut se demander s'il existe des valeurs caractéristiques imaginaires en A. Parun raisonnement très analogue au précédent, on est amené à considérer l'expression

rrr

i^oCar,) ^i(aro) ffiia:^)

giti^l) gd^i) gi{Xi) So(^i) gli^i) gti^Ti)

X Ut(Xo)ut(Xo)Vi(3ri)vt(3:i)wi(Xi)wt(Xi)e/xodxiclart

et l'on peut achever comme précédemment, si le déterminant qui entre dans l'intégrale triple ne change pas de signe. On est sûr alors que toutes les valeurs caractéristiques sont réelles.

L'étude de celte question pour les valeurs réelles dés \ a été faite récemment : M. Richardson a étendu à ce cas le théorème d'oscillation de Klein par des méthodes différentes des nôtres qui supposent essentiellement que la différence étudiée G{x,'k„) — G(jr,X),) est, au facteur o-^j:) près, un poljnome en x.

g8 CHAPITRE V.

LES [''ONCTIONS DE GRlîEN ET LEURS APPLICATIONS (';

20. Existence et propriétés fondamentales des fonctions de Green. — La fonction de Green, pour la résolution du problème de Dirichlet, se définit comme on sait : c'est une fonction harmonique dans le domaine considéré, s'anaulant à la frontière et devenant

infinie en un point A du domaine comme si /i^3 (n étant le

nombre de dimensions de l'espace et r la distance d'un point

variable M de ce domaine au point A); comme log - si /i =: a.

On pourrait chercher à donner une définition analogue pour un espace ù une dimension, on serait coaduit à envisager l'équation

et la solution de cette équation, qui saanulant en a et 6 deviendrait infinie en un point ç de (a, b). Ceci est impossible, une telle solution n'existe pas. On cherche alors, parmi les propriétés de la fonction de Green, celles qui sont susceptibles de s'étendre aux équations différentielles linéaires ordinaires.

Cj BiiiKHOFF. Trans. Amer. Math. Soc, t. IX, iç,ob. p. 377.

BoTJMTZKY, Journal de Mathématiques. 6'- série, t. V, igotj. p. 65

BôciiKR, Aimais of Math., t. XIII, 1911, p. 71.

Pour les relations entre les systèmes dilféi'entiels et les équations intégrâtes (mais seulement pour des cas où le système est son propre adjoint), voir :

HiLBKiiT, Gott. Nachr., 1904, Zweite Mitleilung.

Pour la méthode des approximations successives dans quelques cas particuliers, voir :

Picard, Traité d'^ Analyse, t. III, GUapitre 6.

Steklofi', Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. III, igoijp.aBi.

Kneser, Math, .mnalen, t. LVIII, 1908, p. 109-116.

FOXCTIOXS DE GBEE.N ET LEURS APPLICATIONS. 99

A ce point de vue, nous allons nous servir de l'analogie entre les systèmes d'équations linéaires algébriques et les systèmes différentiels.

Envisageons le système

dont le déterminant | a^l yé. o, on peut demander une formule de résolution qui explicite le rôle des 6/. Pour la présenter simplement, on peut considérer les n systèmes obtenus en remplaçant dans(i) successivement 6,, b^, ..., bn par i, alors que tous les autres coefficients 6,- sont remplacés par zéro, on aura des systèmes tels que

(2) ; «îl«|— — «în«/i=0,

! «ci«i — -i-a„„u,r—o

dont nous appellerons a',, m^, . . ., «„ la solution.

]\ous aurons ainsi n systèmes qui ne dépendent pas de

et l'on voit de suite que la solution du système (i) est

M Ui=zbiU\^ ^bnu:^\

Une expression analogue paur la solution de l'équation de Poisson

qui s'évAUDuit à la froatière, peut être fournie à l'aide de la fonction de Green G(j*, y; ;, r^ ) à deux dimensions, qui donne la solution en fonction explicite de r(x, y); c'est

lOO ' CIIAPITRK V.

Pour les équations diU'érentielles, avec des conditions aux limites, on cherchera à définir la fonction de Green, en sorte qu'elle permette d'exprimer les solutions des systèmes différentiels non homogènes, de manière à mettre en évidence les seconds membres de ces systèmes.

Prenons le système

L{u) est une expression linéaire d'ordre n. Nous supposons que le système

soit incompatible. Alors (4) a exactement une solution. Nous allons l'expliciter en fonction de r{x).

Le système (5) n'ayant pas de solution non ees o, prenons dans a, b un point i et essayons de déterminer une fonction u vérifiant les conditions du système (5) ayant dans a^b des dérivées a', a", ..., u^""-^ continues, une dérivée a^""" continue, sauf en ^, où sa discontinuité serait

hl{i ) ln{x) étant le coefficient de y-^ dans L(a), enfin satisfaisant à

L(m) = o en tout point de (a, 6), sauf au point E. .le dis que cette solution est unique, nous la dénommerons G (a?, ç).

Soit en effet ji, ..., j„un système fondamental d'intégrales deL(a)=o; cherchons à déterminer c,, c., ..., c„ de sorte que

représente G{x, i)dans («, l) eid^.d., ..., du de sorte que

représente G (a;, ç) dans (ç, ^).

FONCTIONS DE GREEN ET LECRS APPLICATIONS. lOI

1° Pour que G( ar, ç) ait la discontinuité voulue en ç. il faut Cl Kl (;)^...H-c„^„ (0 — «'«ri {V)—-—d„yn ($) = o,

cij^,»-*'(i)-^-.-^c„j^i»-'>(£)-rf.yr'>(0— --^«.>i"-''(0=o,

Prenant provisoirement Zi=dt — c,, on a. pour déterminer

les Zi,

^iy\ (I)— ••■-«- -3/1 K„ (0 = 0.

-21 yi (;)^---+^«yn (0 = 0,

«iy,"-''(0+-..+^nyr»'(;) =

Le déterminant de ces équations est le wronskien de ^, ( ç ) ,

XiiiX)- ïl ^**- différent de zéro par hypothèse, les z-i sont donc déterminés d'une façon unique.

2" Ecrivons que les conditions aux limites de (5) sont vérifiées par G. Soit

U,-(tt;= [ a,- a(a )-+-...+ ai-"-» «'"-lUa)] -h[3,u(6)-+-...— 3,"-'î a<»-t'(6)]

= A,(«)-i-Bf(a).

Or

B,(G) = B,(«,). Donc, les équations sont

A,-(ai)-r-B/(«î) = o \i = I, ?.. .... n).

En explicitant

A,(m,)= C, A/(^, )-H Cj A/(/s)-^...-T- CnKiiya)^

B,(«,) = rf, B,(ri) -H ^^ B*(.?'j )--... -i- rf, r.i(r«).

et en remarquant que

Ci = di — Z,;

on a

di L/ij'i )—...— d„ Uayn )

= -1 A,(ri) — Si A/(rî') -^. . .— c.^ A,(j'„^ (/ = r. 2. . . ., n)

Ces équations déterminent les di connaissant les zi puisque le système (5) étant incompatible, le déterminant

U,(7,) ... \],{y„) U.fri) ... U2(jr„)

Vniy,) ... \in{ya)

les a sont alors aussi déterminées.

jNous avons donc déterminé une fonction (j(:r, ^) satisfaisant à nos desiderata. Elle est'unique.

D'après les formules qui donnent les ;>/, puis les diel les c/, il est visible que ces quantités sont continues en H, et par suite G{x, i), continu en (a?, ^).

Il en sei'a de même des dérivées

ôx dx""--

Montrons maintenant que la résolution du système semi-homogène (4) est très simple à l'aide de G(^, ç) et que la solution u(x) unique de ce système est, comme pour le problème de Poisson, donnée par la formule

u{x)= f r(t) G(x, ^)dl

En effet, on a pour les (71 — 2) premières dérivées de la fonction u définie par (8), à cause de la continuité déjà signalée des dérivées de G,

ax''

G^""" (x-, ^) étant discontinue pour ç = x, écrivons

FONCTIONS DE GREEN ET LEURS APPLICATIONS. to3

cluiciine de ces intégrales peut être diflV'rentiée, et l'on a i '■'■'",' — ;;Zî^(-^i^) ( pour Ç = a- — o;

La dérivée —;^ G(^x. \) étant continue pour \=r,x. on a encore

Le même calcul se fait pour u^"^{x); mais le terme correctif, qui était nul pour u^"~'[\ a ici la valeur

me

Il résulte de ce calcul que l'expression

,• '' ui^x) = I r(l)G{x, l)d- •^ (/ vérifie l'équation

Formant U/(a), on voit que

L'/(«)=/ ra)\]i(G)dl

et comme Li/(G) = o, on a

L'expression / r(l)G(x, z) dz, représente donc la solution

unique du système { \ ).

Dans ce qui précède, nous venons de regarder G non plus comme fonction de .r,mais comme fonction de c. Demandons-nous maintenant d'une façon générale quelle est la nature de G regardé

lo4 CHAPITRE V.

comme fonction de ^. On trouve ici le résultat remarquable suivant :

G(x, ç) regardé comme fonction de ^ est la fonction de Green du système adjoint de (5), ^ étant, bien entendu, la variable indépendante de ce système et x le point singulier de la fonction de Green.

Pour démontrer ce théorème, on indiquera parH(a7, ç) la fonction de Green du système adjoint, x étant, comme dans (5), la variable indépendante. Considérons deux points quelconques, ç,,Ço, de a, b. Pour fixer les idées, nous supposerons Çi<;i2- Appliquons alors la formule de Green en posant

et en prenant comme limite d'intégration d'abord «, ç, — ■ t, ensuite ^( + £, c^ — £, et finalement ^0+ '■■> b. Les intégrales dans ces trois formules se réduisent à zéro, puisque L(G) = o, M(H) = o. Si donc on ajoute les trois formules, on obtient le résultat

[P(G, H)]^-^+ [P(G, n)];;;:+ [P(G, ii)]Le = o.

A cause des conditions aux limites satisfaites par G et H, on voit facilement que les deux parties du premier membre qui se rapportent aux points « et ^ se détruisent. Enfin, en se rapportant à l'expression explicite pour P(m, t), cité au Chapitre II, on voit que, pour la limite e = o, la pliq^art des autres termes se détruisent, et il reste

La démonstration se ferait de même si Ç( >> ^o ou si Çi = Ço. On a donc établi l'identité H(.r, ^) = G(ç, x), ce qui démontre notre théorème.

On voit qu'un système différentiel qui est son propre adjoint admettra une fonction de Green G(x, ^) symétrique par rapport aux deux variables

Et réciproquement, si la fonction de Green d'un système est

FONCTIONS DE GREEN ET LEURS APPLICATIONS. lOD

symétrique, ce système coïncidera avec son adjoint ('). La symétrie de la fonction de Green caractérise les systèmes identiques à leurs adjoints.

Signalons en terminant ce paragraphe que la fonction de Green du système (5) fournit également la résolution immédiate du système

qui a une solution unique, (5) étant incompatible. Pour expliciter cette solution en fonction de /• et des v,-. nous sommes guidés par ce que nous avons dit 2es équations algébriques : prenons les n systèmes

]Ju)^o, L( M } = o, L(a) = o,

U|(m)=i, Ui(m) = o, U,(m) = o,

Uî(a) = o, Uj(«) = i, ,

, U„-i(tf) = o,

U„(a) = o, U„(«) = o. Urt(«)=i,

qui sont indépendants de r et des v,. Chacun d'eux a une solution unique. Désignons respectivement par G,(x), — . Gn{x) ces solutions; un calcul extrêmement simple montre alors que la solution du système (9) est

u(T)= f G(a:, |)r(ï)rfï-Y, G,(:r)-...^Y„G„(a7), *■ ti

dont l'analogie avec la solution d'un système d'équations algébriques est évidente.

Nous avons supposé dans les considérations précédentes que «, b étaient les limites de l'intervalle où x varie. On peut s'atfranchir de c-ette restriction.

Prenons en eflet deux points a, b quelconques dans l'intervalle (A, B) de variation de x et supposons que les conditions L /(w) des systèmes (4), (5) ou (g) soient relatives à ces points a. b;

(') Ceci est un corollaire du théorème plus général que deux systèmes ditVérentiels. homogènes et incompatibles, sont identiques si leurs fonctions de Green sont identiques.

loG CIIAI'ITIIE V.

cherchons alors à définir la l'onction de Green hors de («, h) ('). Il est bon pour cela de revenir au cas où «, b sont les extrémités pour voir comment on pourrait modifier la définition de la fonction de Green.

Appelons G„ (^7, ç), — G^ (iP, i) les deux fonctions U2{x) et u,{x) qui ont servi à former G(x, i); on a comme solution du système (4) dans (a, b)

Quand on a mis la solution sous cette forme, il est facile de passer au cas où a, b ne sont plus les extrémités en abandonnant l'idée d'une fonction de Green. pour adopter celle d'un couple de fonctions de Green.

Ou prendra pour G^(x,ç) et G6(.r, S) deux fonctions qui, quand on les régarde comme fonctions de a?, vérifient dans (A, B) (2) l'équation

\Au) = o

et satisfont en outre avix conditions

(II

— [Ga(x, ^) -^ Gbix, ?)]^,,J= O,

dx ù" -'

j\Ga(x,\)^C.,{x,l)\,-^-^r

et

On voit immédiatement que deux telles fonctions existent et sont bien déterminées. Les calculs faits pour le cas où (0,6) coïncidaient avec (A, B) sont encore valables, la formule (10) subsiste entièrement. Enfin, on voit quelle serait la méthode à suivre

( ') C'est surtout quand a, b sont deux points intérieurs au domaine de la variable complexe x, que cette extension est intéressante; bien entendu, les coefficients de L(a) = /• sont alors supposés analytiques.

(^) Ou dans le domaine de la variable complexe x.