FONCTIONS DE GREEN ET LELRS APPLICATIONS. IO
pour étendre la fonction de Green au cas où les conditions U|(m i seraient relatives à plus de deux points de (A. B).
2 1 . Les rapports entre la théorie des systèmes différentiels et celle des équations intégrales. — Considérons un système différentiel linéaire; nous supposerons ici qu'on ait pu le mettre sous la ii»rme
telle que le systèi
ue
L ( ti ) = 0 U/(a) = 0
soit incompatible (nous dirons plus loin quelques mots sur la possibilité d'une telle opération).
On peut alors trouver une équation intégrale équivalente au système (i), c'est-k-dire ayant les mêmes solutions que ce système. En effet, considéi-ons la fonction de Green du système (2), ainsi que les solutions Gj(jr), ..., (j„[x) de /z 'systèmes obtenus en remplaçant dans ('2) lune des conditions IL/(m) = o par L/(a) = i sans changer les autres. Soit m, une solution quelconque de ^i) et envisageons le système
Il a une solution unique, car (2; est incompatible, et c'est Ui- On a donc
* .1 comme il a été vu au paragraphe 50.
Si l'on regarde cette équation comme déterminant Mi (o:). c est une équation intégrale qui, en posant
/(ar) = -',G,(x)---;ïG,(a-)-...-7„G„.J-)-f- / /•(ï)G(.r. ï)
I08 CIIAPITRt: V.
et s'écrit
L'équation (4) admet donc toutes les solutions du système différentiel (i).
Soit ensuite u^ une solution quelconque de l'équation (4)- Envisageons le système (^3), où dans le deuxième membre m, est la solution précédente. Ce système a une solution unique u-i donnée par
u,{x) = Yi Gi(^) +. . .+ > G„(:r) -^ f {g{'z) ai(0 -^ /-(Ol G(^, ?) dl Or M, vérifie l'équation
comme on voit en remplaçant/ et K dans (4) par leurs valeurs. Donc «2 (^) = w, {pc). Il s'ensuit que Mo est solution non seulement de (3) mais aussi de (i). Le système (i) admet donc toute solution de" l'équation (4).
Tout système différentiel (i) équivaut à une équation intégrale (4).
Si ;■ ^ o, y/= o, le système (i) est homogène; il en est de même de l'équation (4),cary^o. Inversement, si y" £^ o, u = o vérifie (4) et aussi (i). Donc (i) est homogène.
Rappelons que les deux équations
(3) u{x)= I K(^, O^CO^-^?
•- Il
et
(6) v(x)= f K(lx)t^a)dl
que nous appellerons équations adjointes, ont entre elles d'étroites relations. jNous allons montrer le parallélisme qu'elles offrent avec les systèmes différentiels adjoints.
