FONCTIONS DE OREEX ET LEURS APPLICATIONS. I
Supposons que l'équiition (5 ) soit équivaleate au système
h(u) = gu
dont
est le système adjoint.
La fonction de Green de L(u) =: o, L/(m) =: o étant G(x, ç), on a vu que celle de M( t^) = o, Vj(t') = o était G(ç, jc).
Les équations intégrales équivalentes aux systèmes (-) et (8) seront alors
dont la relation avec la précédente n'est pas celle de deux équations adjointes. Toutefois, si l'on écrit
on a
w(x) = g(x)i>{x), '{x)= f ff(x)G(lx)wa)dl
qui est bien l'adjointe de l'équation intégrale équivalente à (7).
Il y a donc parallélisme entre deux équations intégrales adjointes et deux systèmes dilTérentiels adjoints.
Le lien que nous venons de signaler permet de démontrer simplement, en nous appuyant sur la théorie des équations intégrales, quelques-uns des résultats que nous avons donnés dans le deuxième Chapitre. Par exemple, le nombre des solutions linéairement indépend intes d'une équation intégrale étant, d'après Fredholm, égal à celui de son adjointe, et à des fonctions t^ linéairement indépendantes correspondant des fonctions w qui le sont aussi, et inversement, on voit que l'indice dun système différentiel est égal à celui de son adjoint.
ToutCiois, l'étude des systèmes diflérentiels conduit à des
noyaux K(a7, ^) très particuliers, pour les équations intégrales équivalentes, et les propriétés des systèmes différentiels tiennent souvent à ces formes particulières des noyaux, en sorte que peu de résviltals de la théorie des systèmes différentiels sont fournis par la théorie des équations intégrales de type général. Pour l'étude approfondie des systèmes différentiels, la méthode directe est généralement préférable.
La question de la possibilité d'écrire un système diff"érentiel sous la forme
avec incompatibilité de
exige une démonstration un peu longue que nous ne donnerons pas ('). Disnos que non seulement on peut toujours choisir^(a7) de façon à obtenir la forme précédente, mais on peut le choisir réel et positif dans a^x^b, et cela d'une infinité de manières.
Si alors on suppose g'{x) > o, on peut faire des remarques plus précises sur l'équation intégrale.
On peut, en divisant les deux membres de l'équation différentielle j ar g (^), qui est toujours > o dans (a, b), supposer qu'on a i^éduit g- à l'unité. La fonction de Green est évidemment altérée dans cette transformation, mais dans la suite on aura l'avantage de prendre le noyau K{x, ^) égal à G{x, i).
Sans supposer que ^ait été réduit à i , on peut remarquer que, si le système
L(u) = g-ii, U/(m) = o
est son propre adjoint, il en sera de même de
(') J"ai donné celle démontralion dans le Bulletin de la Société matliématique américaine pour oclobre iiji4, p. i.
FONCTIONS DE GREEN ET I.EIBS APPLICATIONS. lll
Dans ce cas. on a vu que
G(ar,f)=G(^^)-
L'équation intégrale k laquelle on est conduit
u(T)=f(x)~ I K..r, ?)«(;)<'; n'est pas à nojau symétrique car
et i;' n'est pas égal à l'unité. Mais si l'on envisage on voit que «o vérifie l'équation à noyau symétrique
Par une petite transformation, on fait donc rentrer la théorie des systèmes adjoints à eux-mêmes dans celle des équations à noyau symétrique.
Enfin, si au lieu d'avoir, comme dans ce qui précède, des U/(a) portant sur deux points a et b, on a des conditions à un point a seulement, on sait que le système
L(a) = o, li/(«) = o, les U| étant indépendants, se ramène au système
L(tt) = o, a(a) = o,
a»"— '7rt^ = o
qui est toujours incompatible.
La fonction de Green G(x, ^) de ce système sera évidemment nulle de a à ;; en i sa dérivée {n — if "^ aura une discontinuité; dans (i, 6), G(j:, H) ne sera plus nulle.
Eiï somme, ^
CHAPlTRIi V.
Dans toutes les intégrales dans lesquelles G (^, ç) est en facteur, la partie relative à l'intervalle (c/, ^) est nulle; en particulier, l'équation intégrale, équivalente à un système où les conditions sont à un seul point, est une équation de Volterra
22. La méthode des approximations successives pour les systèmes différentiels. — ISous terminerons en donnant une application des fonctions de Grreen à la résolution des systèmes différentiels par la méthode des approximations successives sous une forme bien plus générale que celle qui a été considérée dans le premier Chapitre. iNous supposerons le système différentiel donné sous la forme
L' ( ii ) = L" ( i( ) -f- r
Ici U et L" sont des expressions dilïcrentielles linéaires et homogènes dont la première est d'ordi^e /?, la seconde d'ordre inférieur à 71, et dont les coefficients sont des fonctions continues de x. iNous
supposons en outre que le coefficient de -r-;^ dans L' n'a pas de
zéros dans (a, b). Les U' et U" sont des formes linéaires en w(a), u'{a), ..., u"~'(a), u{b), u'(b), • .., u"-'{b).
A côté du système (i) considérons le système homogène
que nous supposons incompatible. Soient G(iC, ç) la fonction de Green du système (a), et G^{x), G2(a7), . ., G,i(x) les foactions supplémentaires formées comme au paragraphe 20.
Partons d'une fonction arbitraire Uç,{x), et formons les fonctions M,, Moi • • • satisfaisant aux équations
L' (u,„) = L" (um -i )
