I.BS THEOREMES D EXISTENCE

soient finies, mais qu'elles puissent admettre un nombre fini de discontinuités dans (A, B). Il nous faut ici préciser ce que nous entendons par solution de l'équation difterentielle. Il est évident que ce sera une fonction qui devra vérifier l'équation en tout point où^, ç, r sont continues. Nous exigerons de plus que cette fonction soit partout continue et à dérivée continue. Gomme l'hypothèse de la continuité de p et q n'est intervenue que quand nous avons voulu fixer le maximum M de |/> | -r | ^ ]' et qu'ici nous pouvons, puisque p el q sont finies, fixer aussi un nombre M supérieur à |/>| 4- I ^ |, toute la suite de nos raisonnements est valable. n va alors une solution, et une seule, pour un système difll'érentiel comme ceux que nous considérons.

2" Supposons que x soit une variable complexe, dont p. q, r soient des fonctions analytiques définies dans un conlinuum D au sens de Weierstrass. Ce domaine, dit de ll^eierstrass, sera supposé simplement connexe: sa propriété caractéristique est que de tout point du domaine comme centre on peut décrire un cercle suffisamment petit pour que tous les points intérieurs à ce cercle ou situés sur sa circonférence appartiennent au domaine. Dan> certains cas, ce domaine pourra s'étendre à l'infini, mais il sera toujours supposé simplement connexe. Il n'y aurait aucun inconvénient à supposer que ce domaine peut se recouvrir lui-même en certains points à la façon d'une surface de Riemann. Le lecteur se rendra facilement compte qu'on n'a besoin de faire que des modifications très légères à l'analyse précédente pour démontrer que le système (1) a, dans le cas actuel, une solution et une seule.

Le cas où p, q, r seraient des fonctions analytiques de la variable réelle x dans (A. B). se ramène de suite au précédent, car on peut mettre(A, B) dans un domaine à deux dimensions où p, q. r soient analytiques en x. La solution du système (i) sera nécessairement analytique.

3" Supposons X réel, p, q^ /'dépendant du paramètre A réel (V»n peut supposer que />, q, r dépendent de k paramètres réels X,. X2. .... /v*; pour simplifier nous en prenons un seul, nos résultats sont encore valables pour k pai'amètres ) . Nous supposerons p, q. r continues par i*apport aux deux variables réelles x et \ [x dan> l'intervalle fermé (A, B), X dans l'intervalle (A,. Ao) qui peut être ouvert].

8 ciiAi'rrni: i.

Ou peut c-;alt;Miciil supposer que y et y' sont des louclious eoiiriuiies (le /..

Pour eluique \aleur <l(^ A. noire sysièuie diUV-reutiel u une solution uiiiqu<'. Cette solution sera, dans nos ljj[)othèses, une fonction e(nitinue de x et A. 11 suffira pour s'en assurer de prendre poiii' C dans iu)s calculs d'inéj'alités, une valeur positive supéi-ieure à |r^l et |«'.', |, quel que soit a: dans (A, B) et )v dans un intervalle fermé quelconque int(';rieur à (A,, Ao); et ])our M une valeui' iî I /^ I ^^ I y I dans les nteiues conditions.

Le raisonneuHMiI se p)uisuil. La série

CLîM

qui uiajore les séries St'„ et l'»',, est indépendante tie A. J)onc "^Vn et Xr'„ sont uniforuuhnenl convergentes pour x dans (A, 13) et X dans un intei'\alle ferun- iul<'iifMii' à (A), A^). Donc leurs sonmies a et m' sont continues en x et a. cl cou)iue //":= — pn^ — r/a-J-/', u! est aussi continue en x et A.

4" Si a? est réel,y>, q.r étant continues en x et A, et analytiques

en ). (ou |)Ius généralenieiit analytiques en A,, Aoi ^a); ^' et y'

étant aussi analytiques en )., lorsque x est dans un intei- \alle (A,B), et À dans uu domaine IJ de W eiei'strass, on conclut encore que la solution ti ainsi (jue //.' sont continues en x et A et analytiques en /..

.)" Quel est I eliet produit sui' la solution par de |)elites variations arbitraires des coeflicients y;, ^, /■ et de v. '''? x est su[)posé réel.

Pour le voir, il iuq)orle de discerner coiuiuent la solution <lépend de />, (f. i\ ". •-'' .

Elle est détenninc'e par la connaissance de ces cinq fonctions de x (y et y' sont des constantes, nous les englobons dans le mot fonction de x), ce que nous écrirons u=^S ( p. q. y, y, y').

Mais .f n'est pas une fonction ordinaire des cinq arguments />, V- '■ V^ V • "^'ii" "^ 'l *'H ('\a\\. ainsi, la valeur de u ne varierait pas en un point Xq quand ou cbangerait arbitraireuient /;, q, r, v, y', pourvu qu'en Xo les valeurs de ces cinq fonctions deuieurassent les mêmes. Des exeuiples siiuj)les montrent au contraire que, dans ces condilH)ns, la valeur de u cliange, donc u n'est pas une fonc-