LA PART DE L'ORIENT ET DE L'EGYPTE DANS

LA PART DE l'oRIENT ET DE l'ÉGYPTE DANS

RÉSUMÉ HISTORIQUE DES OPINIONS FORMULÉES SUR LE PROBLÈME. — LES CONNAISSANCPS DE l'ORIENT ET DE L EGYPTE EN ARITHMÉTIQUE ET EN GÉOMÉTRIE,

Nous avons vu comment les Grecs d'Asie ont été amenés, par leur situation géographique, et par suite des' circonstances que j'ai indiquées, à entretenir des relations de très bonne heure avec la plupart des peuples orientaux, et surtout, vers le Vil""® siècle avant J.-C, avec les Égyptiens. Ces relations expliquent comment ce peuple, relativement jeune, a pu hériter d'un coup des connaissances accumulées depuis des milliers d'années par d'antiques civilisations. Quelle est la valeur dos connaissances scientifiques que l'Orient dut ainsi transmettre à la Grèce? Quelle est lafpart de l'Orient dans la science grecque ? Voilà la question que nous devons aborder aujourd'hui.

C'est là. Messieurs, un des problèmes les plus graves et les plus controversés de l'histoire des sciences. Au siècle dernier , la tendance, avec les

Encyclopédistes, est d'attribuer aux anciens peuples d'Orient, en même temps qu'une antiquité prodigieuse, des sciences fort avancées. Montucla est le premier, je crois, qui ait essayé, à peu près en même temps que Brucker faisait la même tentative pour la philosophie, de réduire à de justes proportions la science orientale. Mais il est probable que Montucla, dont le ton est celui du savant sincère, ennemi d'une thèse quelconque a priori , par crainte d'altérer la vérité scientifique, il est probable, dis-je, que Montucla n'aura pu déterminer à cet égard un nouveau courant d'opinion. Peu de temps après la publication de son Histoire des mathématiques, paraissaient les ouvrages de Bailly, (celui de la Révolution), dont le but principal était de présenter et de défendre énergiquement une hypothèse curieuse. Suivantlui, les connaissances des Égyptiens, Ghaldéens, Hindous, Chinois, ne sauraient constituer de véritables sciences ; mais d'autre part, on y trouverait, confondus au milieu d'une gangue grossière, des éléments tout-à-fait merveilleux, qui empêcheraient de considérer la science des Orientaux comme une science naissante : on serait donc obligé d'y reconnaître, non pas les premiers éléments, mais les débris, au contraire, d'une science antique, sans doute créée par un peuple disparu. Les Chinois, les Hindous, les Égyptiens n'auraient pas fait preuve • de l'originalité que l'on pense; en cela son opinion ne diffère pas de celle de Montucla. Mais ils auraient reçu du peuple disparu des débris épars d'une même science

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qui, dans leurs mains, sont à peine connaissables. Cette hypothèse de Bailly rajeunissait en partie la légende de l'Atlantide, cette fameuse île qui, dit Platon, était aussi grande que l'Asie et l'Afrique, dont les habitants atteignirent un haut degré de civilisation, et qui disparut un jour brusquement sous les flots (*).

(*) C'est dans le Timée et le Critias que Platon a soulevé cette fameuse question de l'Atlantide. Dans le limée, d'abord, Critias, rapportant, sur la foi de son aïeul, un récit fait jadis à Solon par les prêtres égyptiens, dit : « Les » livres nous apprennent quelle puissante armée Athènes

> a détruite, armée qui, venue à travers la mer Atlantique, » envahissait insolemment l'Europe et l'Asie ; car cette mer

> était alors navigable et il y avait au devant du détroit, que » vous appelez les colonnes d'Hercule, une île plus grande

> que la Lybie et l'Asie . . . Dans nette île Atlantide régnaient » des rois d'une greuide et merveilleuse puissance. . . Toute » cette masse se réunit contre votre pays. C'est alors

> qu^éclatèrent au grand jour la vertu et le courage » d'Athènes. Elle rendit à une entière indépendance tous » ceux qui, comme nous, demeurent en deçà des colonnes » d'Hercule. Dans la suite, de grands tremblements de » terre et des inondations engloutirent en un seul jour et en » une nuit fatale tout ce qu'il y avait chez vous de guerriers; » l'Atlantide disparut sous la mer; aussi depuis ce temps » la mer est-elle devenue inaccessible et a-t-elle cessé d'être » navigable par les quantités de limon que l'île abîmée a » laissées à sa place». — D'autre part, dans le Critias, on lit : € Nous avons déjà dit que, quand les dieux se partagèrent

Les idées de Bailly eurent une très grande vogue. Tous ceux qui ont écrit sur ces questions, à la fin du siècle dernier et au commencement de celui-ci , ne manquent pas d'y faire allusion. On comprend cependant qu'elles ne pouvaient plaire qu'à demi, soit aux partisans de l'originalité et du mérite personnel des Orientaux, soit à tous ceux qui se refusaient à rien voir

» le monde, chacun deux eut pour sa part une contrée. . . » L'Atlantide étant échue à Neptune, il plaça dans une île des ji> enfants qu'il avait eus d'une mortelle. . . Le premier roi de » cet empire fut appelé Atlas. . . La postérité d'Atlas se per- 1 pétua toujours vénérée... Les descendants avaient amassé

> plus de richesses qu'aucune royale dynastie n'en a possédé

> ou n'en possédera jamais ; enfin ils avaient en abondance » dans le pays tout ce qu'ils pouvaient désirer. .. L ile produi- » sait elle-même presque tout ce qui est nécessaire à la vie... » elle produisait et entretenait tous les parfumb que la terre » porte aujourd'hui dans diverses contrées. . . Tels sont les

> divers et admirables trésors que produisait en quantité » innombrable cette lie qui florissait alors quelque part sous le 1 soleil.» Suit l'indication des travaux grandioses qu'exécutèrent les habitants de l'île, achevant de la transformer ainsi en un pays tout-à-fait merveilleux. Enfin la constitution politique répondait, à l'idéal que Platon décrit dans la République.

Cette question de l'Atlantide, que Platon livrait ainsi aux méditations des commentateurs de tous les tejnps, comprend plusieurs problèmes distincts. D'abord naturellement le fait historique ou légendaire de la disparition d'une île, puis la position géogr^tphique de cette île, les phénomènes géolo*

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de merveilleux dans leurs connaissances. Delambre, vers 1820, publia son « Histoire de l'astronomie ancienne» , et chercha à détruire défini tivement les illusions qu'avait pu laisserBailly.il y réussit si bien, que, depuis la publication de son travail, on peut dire que l'hypothèse de Bailly n'a plus qu'un intérêt de curiosité. De son côté, pour ce qui touche à l'astronomie, c'est-à-dire

giques qui auraient amené le bouleversement, enfin le caractère spécial de la civilisation qui aurait ainsi disparu. Ces divers problèmes auxquels des allusions plus ou moins vagues étaient faites, sur la foi de «Platon, par quelques écrivains de l'antiquité et du moyen âge, reprirent tout-àcoup un intérêt puissant lors de la découverte de l'Amérique. A partir de ce moment, quantité de mémoires ne cessent de paraître, proposant chacun quelque explication nouvelle. Il faut voir dans la dissertation sur l'Atlantide de M. Th. Martin (Timée, tomel, page 257j le nombre prodigieux de systèmes que cette question a fait éclore dans le cerveau des savants. « Bailly a su prêter un vif intérêt aux discussions sur l'Atlan- » tide en combinant avec esprit les opinions de ses prédécesi> seurs. . Il a emprunté à de Paw la supposition d'un

> grand peuple primitif qui aurait autrefois occupé le plateau » central de l'Asie. Rudbeck lui a inspipé la supposition 3> d'après laquelle ce peuple lui-même serait venu d'une » contrée plus septentrionale, qui ne serait autre que l'Atlan- » tide de Platon. BuflFon lui a fourni l'hypothèse du feu

> central et du .refroidissement de la terre, nécessaire pour » justifier l'hypothèse précédente. L'abbé Bannier lui a

> prêté sa manière commode de transformer la fable çn D histoire. Enfin, il doit à Baêr beaucoup d'erreurs de détails

'74 TROI^MB LEÇON

dans Tordre d'idées où on était accoutumé à donner aux anciens peuples de TOrient le plus d'originalité, Delambre s'applique à montrer que leurs connaissances sont tout-à-fait rudimentaires, et peuvent aisément s'expliquer, sans qu'ils aient eu à se servir d'autre instrument d'observation que du gnomon (tige verticale, dont on observe l'ombre) et de la clepsydre ou horloge à eau.

Nous voici arrivés, avec Delambre, à un moment capital. Le déchifirement des écritures hiéroglyphique

et hiératifjue, en Egypte, et de l'écriture cunéifornie, en Asie occidentale, va nous permettre, semble-t-il,

» et de contre-sens utiles». Bailly a exposé les traits essentiels de son système dans son Histoire de l'astronomie ancienne. Ses Lettres sur l'Atlantide précisent la situation géographique de l'ile et les voyages à travers l'Asie de ses anciens habitants. C'est enfin dans ses Lettres sur Vorigine des sciences que, discutant par le détail tous les éléments de connaissances que les livres anciens attribuent aux peuples asiatiques, il conclut à la nécessité du peuple primitif de qui ils les auraient reçues. — [Voir particulièrement, à propos de TAtlantide: Suess, Das Antlitz der Erde ; (Prague, 1885) ; E. Berlioux, Les Atlantes^ histoire de VAtlantis et de r Atlas primitif, (Annuaire de la Faculté des Lettres de Lyon, 1883, fasc. I) ; Roisel, Études antéhistoriques, les Atlantes, (Paris, 1874} ; Paul Gaffarel, l'Atlantide, (Rev. de Géographie, t. VI, p. 241, 331 et 421, et t. VII, p. 21). Ignatius Donnelly, Atlantis, The Antediluvian World, Londres, 1882].

l'orient et ïJèqypte 75

de lire, soit sur les monuments, soit dans les tombeaux de rÉgypte, la réponse à toutes les questions touchant Thistoire ancienne de TOrient. Hélas aucune merveille n'a ainsi été révélée dans le domaine de la science. Je reviendrai tout-à-lheure sur les quelques découvertes qui nous intéressent. Pour le moment, sachez qu'elles n'ont nullement empêché les deux courants contraires d'opinion de se poursuivre jusqu'à nous. Du reste, si le déchiifrement .des inscriptions et la lecture des papyrus égyptiens étaient bien capables de refroidir l'enthousiasme le plus ardent pour la science orientale, d'un autre côté, l'idée de l'évolution, pénétrant depuis cinquante ans dans tous les domaines intellectuels, continuait à plaider en faveur de cette science. Les évolutionistes, (et nous le sommes tous instinctivement, non pas seulement depuis Darwin et Lamarck, mais de toute antiquité, ce n'est pas d'aujourd'hui qu'on a dit : Natura non facit saltus), les évolutionistes, dis-je, étaient peu disposés à voir la science se constituer brusquement sur le sol hellène. Bref, si d'un côté Letronne s'applique à réduire la science orientale et surtout la science égyptienne à des proportions fort modestes, Biot, d'un autre côté, exalte la science chinoise. Le savant allemand Rœth, soutient, il y a 25 ans environ, que la géométrie est véritablement née en Egypte, l'arithmétique dans rinde, et que le génie de Pythagore réalisa leur fusioit pour créer ce qui devait être la mathématique grecque. Hankel,dahs son Histoire des

mathématiques, montre de même les Asiatiques créant et développant les sciences abstraites. Ed. Zeller, l'historien de la philosophie des Grecs, s'efforce de prouver, dans son introduction, que cette philosophie est vraiment d'origine grecque ; mais en revanche, il ne montre aucun doute sur l'origine égyptienne de leur géométrie et de leur astronomie. Enfin, Messieurs, depuis une douzaine d'années, c'est décidément un nouveau courant qui l'emporte, sous diverses influences dont les principales sont d'une part la traduction, par Eisenlohr, du papyrus de Rhind, dont je vous parlerai tout-à-l'heure, et, d'autre part, les travaux de M.Paul Tannery. Les exagérations auxquelles inconsciemment on s'est laissé entraîner par le zèle évolutioniste ont eu le temps de s'atténuer. Une critique impartiale des seuls faits, dont l'appréciation importe à ce grave problème d'origines, nous ramène définitivement à l'opinion de Montucla. Les peuples d'Orient ont connu de toutes les sciences ce qu'on pourrait appeler les fondements matériels, mais ils ne semblent pas avoir fait preuve de méditation scientifique désintéressée, provoquée par le seul désir de connaître la vérité. La science pour elle-même, la science pure et désintéressée, semble bien vraiment d'origine grecque. Voilà ce que je me propose de vous montrer.

Ce que j'ai de mieux à faire pour cela, c'est d'abord de vous résumer ce que nous savons des connaissances scientifiques de l'Orient. Mais il me serait impossible de remplir cette tâche en une seule leçon : je me bor-

l'orient bt l'Egypte , 77

nerai donc aujourd'hui à Tarithmétique et à la géométrie.

Chez tous les peuples asiatiques et chez les Égyptiens, aussi loin que les témoignages historiques nous permettent de remonter, nous retrouvons les traces d'un système de numération parlé et écrit, — ce qui n'a pas lieu de surprendre beaucoup. Il semble impossible qu'un peuple parvienne à l'état de société organisée, si sa langue ne comprend pas les signes qui désignent les nombres. Les échanges commerciaux, la transmission et le partage de la propriété , toutes les relations de la vie économique exigent un langage spécial [pour les idées de quantité et de mesure. Et remarquez que ce ne sont pas seulement les nombres entiers, mais aussi les fractions dont l'usage s'impose. Car lorsqu'il s'agit d'étoffes ou d'étendue de terrain, ou de tout objet plus ou "moins large, plus ou moins long, il est impossible de ne pas faire intervenir, pour en donner la mesure, les nombres fractionnaires. Les inscriptions hiéroglyphiques et cunéiformes les plus anciennes nous offrent en effet une notation spéciale pour les nombres et les fractions. Les fractions utilisées sont ordinairement des inverses de nombres entiers, elles ont pour numérateur 1, si vous aimez mieux. Leur notation se ramène donc à celle des nombres entiers, sauf qu'un signe spécial indique qu'il s'agit des inverses.

Un premier point curieux pour l'histoire des sciences,

78 • TR08IÈMB LEÇON

c'est qu'il existe partout, pour la représentation des nombres entiers, un système décimal. A ce propos, Aristote fait remarquer que, parmi les anciens, seul, un peuple de Thrace a adopté le nombre 4 pour base de sa numération. C'est là une affirmation trop vague pour qu'on s'y arrête. Il est certain qu'en Asie ou en Amérique on trouve encore aujourd'hui des peuplades sauvages, qui n'ont pas l'idée de nombres tant soit peu élevés. Si quelque voyageur voulait, en les interrogeant, chercher la base de leur système de numération, vous devinez à quelles conclusions étranges il risquerait de se laisser entraîner. — Montucla cite une autre exception : les anciens Chinois. Évidemment, l'assertion de Montucla s'explique par une erreur du père Bouvet, qui avait cru trouver dans les livres chinois deux symboles pour représenter les nombres. Le père Bouvet connaissait Leibnitz, avec qui il était en correspondance, et Leibnitz s'est particulièrement occupé du système binaire, c'est-à-dire de ce système de numération où, avec l'unité et le zéro, on peut représenter n'importe quel nombre. Probablement cette influence ne fut pas étrangère à l'opinion du père Bouvet, que les livres chinois contenaient vraiment les caractères du système binaire, le 1 et le zéro (*). C'est une erreur dont on est revenu depuis. Les Chinois n'ont pas fait exception.

(♦) Voir Hœfer, Histoire des mathématiques, p. 47.

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Tous les peuples civilisés, dont le souvenir nous est conservé par des documents positifs, ont usé du système décimal ; c'est là un des arguments de Bailly en faveur de ce peuple perdu, qui aurait transmis à tous les autres des lambeaux de sa science. Vous sentez pourtant combien peu cette hypothèse était nécessaire pour expliquer un pareil fait. Ou bien, — comme on Ta dit si souvent depuis Aristote, - — les hommes ont pu compter d'abord avec leurs doigts, et être ainsi conduits partout à compter par dizaines. Ou bien, le système décimal, une fois formé dans un des centres de civilisation asiatique, se sera communiqué aux autres. Il est aisé de prévoir, par exemple, qu'un jour notre système métrique aura pénétré partout : pourquoi ne pas admettre que quelque chose d'analogue se soit passé, il y a trois ou quatre mille ans, pour la numération, et plus généralement pour toutes les analogies que nous rencontrerons dans la science des Orientaux? Gela suppose seulement des communications à des époques très reculées entre Ghaldéens, Assyriens, Hindous, Chinois, Égyptiens. J'ai déjà fait allusion, dans notre dernier entrçtien, à l'existence des communications dans des temps extrêmement éloignés. Nous avons vu le gouvernement égyptien, par exemple, au XV"'® siècle avant J.-G. , correspondre couramment avec ses fonctionnaires de l'autre côté de la mer Rouge. En dehors de la politique, les relations commerciales facilitaient ces communications. Nous imaginons sans peine, deux et peut^tre trois mille ans

av. J.-C, Babylone, par exemple, attirant parTimportance de son marché, les marchands nomades de rÉgypte, de la Syrie, de la Bactriane, de Tlnde, et même de la Chine, qui y apportaient les productions spéciales de leurs pays.

Vous pourriez avoir quelques doutes sur les rapports de la Chine et de la Chaldée. — Je tiens à vous citer quelques exemples que j'emprunte à M. Cantor, et qui me semblent démontrer l'existence de ces rapports dans des temps très lointains. Les Babyloniens partageaient le jour en 60 parties égales. Hérodote dit, il est vrai, qu'ils le partageaient en 12, mais cela n'est pas incompatible, et prouve simplement que les 12 heures civiles étaient divisées chacune en 5 parties égales par les astronomes. Du reste, ce nombre de 60 n'a rien qui nous surprenne en Chaldée ; — je vous donnerai dans un instant la preuve que les Chaldéens ont utilisé, à côté de leur système décimal, une numération sexagésimale. — Eh bien, les Chinois ont également divisé le jour en 60 parties. Les calendriers védiques de l'Inde antique le part^gigeaient en 30 muhurta dont chacune valait 2 nadika^ ce qui fait encore 60 parties égales. Il est difficile d'expliquer la coïncidence par des raisons naturelles. Mais il y a plus : on retrouve , dans les plus vieux livres indiens et chinois, l'indication du plus long jour. Le calendrier védique donne pour l'Inde -gg-, c'est-à-dire

en heures et minutes, 14^ 24°": les livres chinois donnent la même valeur 14** 24". Il est déjà

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curieux de trouver dans Tlnde et en Chine la même

valeur ; cela fait soupçonner que ces nombres n'ont

pas été calcul!^ séparément par les Hindous et les

Chinois ; l'explication nous apparaît avec clarté, si

nous remarquons que la durée du plus long jour à

Babylone, calculée, et cette fois très sérieusement,

par Ptolémée, est de iA^ 25". La différence est trop

légère pour qu'on n'admette pas sans hésiter que les

nombres hindous et chinois viennent de Babylone (*).

En tout cas, pour ce qui est du caractère décimal des

numérations anciennes, après vous avoir démontré qu'il

y a eu communication entre tous les peuples asiatiques,

je vous laisse le choix de la conclusion.

Je ne finirais pas si je vous indiquais les signes à l'aide desquels Égyptiens, Chaldéens, Hindous, Chinois, Hébreux, Phéniciens représentaient d'une part les 9 premiers nombres, d'autre part les dizaines, cent,

mille, etc Cela me paraît du reste toucher à la

linguistique ou à la philologie plus qu'à la science. En général, la numération est purement additive; c'est-à-dire que , pour lire le nombre , il faut ajouter les unités représentées par chaque signe. Dans l'écriture hiéroglyphique égyptienne, par exemple, 30 ne se représentera pas par le signe dix précédé du multiplicateur 3, mais par le signe dix répété 3 fois. C'est

(^) Vorlesungen uber Geschîchte der Mathematik, t. I,

là le type de la numération la plus primitive. Je dois dire qu'à côté de récriture hiéroglyphique , les Égyptiens avaient une écriture hiératique %j^ la numération est un peu plus rapide, mais guère plus. L'usage des multiplicateurs, à gauche des signes dix, cent, mille, etc. , se trouve plus nettement indiqué chez les Hindous, les Chinois et les Ghaldéens. — Les Ghaldèens se distinguent encore, pour leur numération décimale, en ce que les signes dix, cent, mille. ... ne sont pas représentés par des symboles spéciaux, comme partout ailleurs. — Cent se représente dix fois dix, mille, dix fois cent, etc. . . , ce qui est évidemment un progrès, mais je n'insiste pas.

On croit pouvoir faire remonter aux temps les plus reculés l'usage, dans toute l'Asie, de la table à calculs. Des inscriptions, retrouvées sur des vases grecs, montrent l'antique usage qu'en faisaient les Babyloniens. D'autre part , de très fortes raisons nous font supposer que la table à calculs a été connue en Chine de toute antiquité. Le Suan-pan chinois y est encore très répandu. C'est par les conquérants Mongols qu'il a été introduit en Russie au moyen âge, et c'est de Russie qu'il nous est venu, apporté par Poncelet, qui conseilla de l'utiliser dans les salles d'asile ; il y est connu sous le nom de boulier. Voici en deux mots ce qu'était, pense-t-on, l'ancienne table à calcul : imaginez un cadre renfermant 3 rangées de boules mobiles sur des fils tendus ; ces rangées comprennent chacune 9 boules. Celles de la 1'® rangée à

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droite seront des unités; celles delà 2™*, des dizaines ; celles de la 3""®, des centaines. — En séparant vers le bas autant de boules de chaque rangée qu'on veut représenter d'unités de cet ordre, vous comprenez qu'on peut facilement exprimer n'importe quel nombre inférieur à mille. Cet appareil permet de faire très simplement les additions , pour^fu que le total ne dépasse pas mille.

Cette façon de représenter les nombres impliquait déjà, remarquez-le, le principe de la valeur relative , de la valeur de position des chiffres. Il est étrange que ce principe n'ait pas été dégagé par l'antiquité. Les Grecs eux-mêmes ne remarquèrent pas que pour écrire un nombre, il n'est pas nécessaire de conserver une notation spéciale pour mille, pour cent et pour dix. — A la rigueur, pour les Grecs, cela s'explique ; nous les verrons créer , avec Pythagore , l'arithmétique , la science des nombres, par opposition à la logistiqtce, qui est l'ensemble des calculs pratiques, et certainement, pour leur esprit spéculatif, ce problème matériel delà numération ne dut pas présenter un grand intérêt. Mais chez ces peuples , dont l'antiquité nous apparaît tous les jours de plus en plus reculée, et où l'instruction était certainement très répandue, comment n'a-t-on pas eu l'idée de supprimer un ensemble de mots ou de signes inutiles? Gomment n'a-t-on pas vu, par exemple, ( pour exprimer par des notations symboliques notre idée générale) que le nombre :

3 2 5 1 MGDU

peut se passer des quatre lettres écrites sous les signes numériques ? Gela est inconcevable. — D'autant plus inconcevable, que nous allons voir chezles Ghaldéens, à côté du système décimal, un système sexagésimal fort avancé , qui implique nettement le principe de la valeur de position des chiffres.

L'assyriologue anglais Hincks a traduit une curieuse inscription cunéiforme, où il est question des portions du disque lunaire qui se trouvent éclairées chacun des quinze premiers jours de la lunaison; de la nouvelle lune à la pleine lune. Et voici comment ces portions éclairées se trouvaient désignées :

L'interprétation de ces résultats n'était pas commode. Hincks finit par deviner que les Ghaldéens divisaient le disque lunaire en 240 parties égales ; que les nombres écrits représentent chacun un certain nombre de ces parties, et enfin que, pour les lire, il faut faire représenter aux nombres 1, 2, 3, 4, placés à gauche d'autres nombres, des soixantaines. Ainsi il faut lire :

Une première vérification de cette traduction c'est

que, suivant le texte cunéiforme, les nombres inscrits

doivent être en progression géométrique jusqu'au cin-

l'orient et l'Egypte 85

quième, — puis, à partir du cinquième, en progression arithmétique. Et^en efiet, vous le voyez; les cinq premiers nombres sont 5, 2 fois 5, 2 fois 10, 2 fois 20, 2 fois 40; à partir de là chaque nombre de ce tableau est égal au précèdent augmenté de 16. — Il y a de fortes présomptions pour que Hincks ne se soit pas trompé, et pour que les Ghaldèens aient eu un système sexagésimal, pour lequel ils jugeaient inutile d'indiquer que les nombres, placés àgauche d'un autre, représentent des unités 60 fois plus grandes. — Mais voici qui apporte une démonstration complète, si c'était nécessaire :

En 1854, le géologue Loftus trouva à Senkereh, sur l'Euphrate, deux petites tablettes d'argile, provenant de la bibliothèque de SardanapalelV, à Babylone, recouvertes des deux côtés d'écriture cunéiforme. Sur l'une d'elles on a pu lire ce qui suit :

1 est le carré de 1 4 — • 2

et puis, non pas

64 est le carré de

mais 1.4 est le carré de

et enfin 1 — 1

Il est évident que 1.4 doit se lire 64, 1.21 doit se lire 81, et ainsi de suite, et que, la dernière ligne signifie : 1 unité du 3°"® ordre, ou 60*, est le carré de 1 unité du 2"^« ordre, 60, (ou 3600 est le carré de 60).

— Sur l'autre tablette on lit :

1 est le cube de 1

Jusque-là il n'y a rien de nouveau à apprendre. Mais, arrivé au cube de 16, on lit le nombre 1 , 8, 16. Or, 1 x602+8x604-16=4.096,c'est-à-dire justes ment le cube de 16, et ainsi de suite. — Nous trouvons donc ici non seulement un système sexagésimal bien construit, mais même une représentation assez simple fondée sur le principe de la valeur de position. — Gomment l'idée qu'elle impliquait ne parvint-elle pas à se propager ? Gela tient sans doute à ce que ce système utilisait deux numérations, la numération décimale de 1 à 60, et la numération sexagésimale au-delà.

En dehors de ces tablettes, quantité d'inscriptions et de témoignages historiques nous montrent, comme jouant un grand rôle dans la numération chaldéenne, le soss, 60, — le ner, 600, c'est-à-dire 10 fois 60,

— et le sar^ 60' = 3.600. Nous retrouvons dans le

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ner^ comme le fait remarquer M. Gantor, la trace du mélange des deux numérations (*).

Jusqu'où se sont élevées les connaissances arithmétiques des anciens peuples? Les documents positifs qui nous permettent d'en juger sont assez rares. —

Puisque j'ai cité tantôt l'inscription de Hincks et les tablettes de Senkereh, commençons par ces deux documents. Les Ghaldéens savent parler, vous l'avez vu, de progressions arithmétiques et de progressions géométriques. Ont-ils étudié ces progressions en elles-

(*) Le sens de ces unités a quelque importance quand on rapproche, au point de vue des nombres, le récit biblique de la tradition chakléenne. 11 est assez curieux que la Genèse emprunte à celle-ci beaucoup de nombres, mais en altérant le sens des unités qu'ils représentent. Ainsi, par exemple, le temps écoulé, d'après la Bible, entre le déluge et la naissance d'Abraham est de 292 ans. Le temps écoulé de la naissance d'Abraham à la mort de Joseph, qui dot la Genèse, est de 361 ans. Or 292 Soss et 36 1 Soss (ou soixantaines d'années) sont des périodes qui, dans la tradition babylonienne, ont une signification astronomique. . — Autre exemple : la tradition chaldéenne donne aux rois antédiluviens une durée de 86,400 Soss de mois. La Bible donne pour la période antédiluvienne 86,400 semaines, ce qui fait 1656 années. — Du reste, on peut suivre dans la Bible, en maints endroits, les traces d'influence babylonienne justement au choix de nombres qui se rattachent visiblement au système sexagésimal de la Chaldée. (Voir l'article Babylone de M. Oppert, de la Grande Encyclopédie, et Canton, Vorlesungen, — le chapitre consacré aux Babyloniens).

mêmes, rien ne l'indique; rien ne nous autorise à croire qu'il y ait eu là pour eux autre chose qu'une désignation de suite de nombres, qui se présentent dans divers problèmes pratiques ou astronomiques. — Ils s'étaient préoccupés de connaître les carrés et les cubes des nombres entiers. Pourquoi cette préoccupation? Était-ce curiosité des propriétés des nombres? C'est peu probable. Nous allons voir dans un instant que le problème pratique de l'extraction de la racine carrée s'est posé de bonne heure dans l'Inde, et, les Hindous n'ayant jamais fait preuve d'une grande originalité scientifique, il est probable qu'il s'imposa partout, et surtout en Ghaldèe. Or, une première solution de ce problème consiste à placer le nombre donné entre les carrés de deux nombres consécutifs; 47, par exemple, est compris entre 36 et 49, c'est-à-dire entre les carrés de 6 et de 7. Une première approximation, pour le calcul de sa racine, consiste alors à prendre 6. — Il est difficile de savoir jusqu'où on poussait l'approximation, mais il y a tout lieu de penser que les tables toutes faites de carrés et de cubes servaient à donner rapidement cette première solution du problème de l'extraction de la racine carrée ou cubique. Du reste, aujourd'hui encore, les aide-mémoire destinés aux calculs pratiques des ingénieurs contiennent des tables toutes prêtes de carrés et de cubes.

Quelques savants ont cru trouver en Asie des traces incontestables de divagations plus ou moins mystiques sur les nombres. Une tablette de la bibliothèque de

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Ninive, par exemple, ,nous a conservé la liste des principaux dieux assyriens, représentés chacun par Tun des soixante premiers nombres entiers, puis la liste des esprits désignés , eux , par des fractions. En outre, quelques écrits composés probablement sous l'influence chaldéenne, tels que le livre de Daniel et les Apocalypses, auxquelles il peut avoir servi de type, semblent bien donner à tels ou tels nombres un sens symbolique et prophétique; les exemples sont nombreux. De là à conclure que Pythagore a voyagé en Ghaldée, s'est initié au mysticisme numérique des Asiatiques, et a. pris à Babylone le goût de l'étude des nombres, il n'y a qu'un pas, et ce pas a été vite franchi.

D'abord il ne faut pas s'exagérer l'importance de ces documents. La tablette de Ninive peut n'indiquer qu'une sorte de classification des divinités assyriennes. Quant à Daniel , le premier en date des écrivains symbolistes dont il est question, on peut dire aujourd'hui, avec beaucoup dç vraisemblance, qu'il vivait, non pas au VI°^® siècle, pendant la captivité de Babylone, mais au II"*® siècle avant J.-C, après la conquête macédonienne , et il serait plus naturel de parler de l'influence sur Daniel des derniers Pythagoriciens, que de l'influence de Babylone sur Pythagore. Enfin et surtout si les Pythagoriciens ont été amenés à écrire des folies, comme Théon de Smyrne, par exemple, il faut se garder de les mettre sur le compte de Pythagore. Pythagore , tout nous le fait présumer , a été un ma-

thèmaticien èminent, qui a étudié les propriétés des nombres pour elles-mêmes, comme il a fait de la géométrie pour elle-même, ce qui n'a aucun rapport avec les Asiatiques , contemplant les propriétés des nombres, pour s'aider dansl'art de deviner l'avenir, supposé qu'il les aient contemplées, absolument comme nousles verrons observer le ciel pour faire de l'astrologie.

J'ai fait allusion au problème de la racine carrée dans l'Inde. Voici de quoi il s'agit :

Le plus ancien livre pouvant nous donner quelques renseignements sur les mathématiques des Indiens est celui qui a pour titre les Çulvasutrds, ou Préceptes du cordeau. Son auteur, Baudhayana, indique aux Brahmanes les règles à suivre pour la construction des autels. M. Léon Rodet y a trouvé et étudié une expression curieuse de i/T". — Elle est ainsi écrite :