J-'-LJ-J

M. Rodet a pu reconstituer le procédé qui conduit à cette valeur. En un mot,. le voici: Après chaque élément trouvé pour la racine, on divise le reste par le double de la partie déjà obtenue ou par le double plus 1 . Dans le premier cas on a une nouvelle valeur approchée par défaut, dans le second, par excès, •comme cela est facile à voir. — Notez, en passant, ce qu'il y a de curieux à voir entrer un terme négatif dans l'expression.

Mais si je vous signale ces quelques points curieux, il ne m'est pas permis d'insister, ni d'en tirer des con-

l'orient et l'Egypte. 91

séquences bien importantes sur le problème qui nous intéresse, les origines de la science grecque, parce que la date de ce traité, comme d'ailleurs de tous les livres hindous, est impossible à fixer exactement. On ne doute pas que le traité de Baudhayana ne soit antérieur à l'ère chrétienne, mais est-il antérieur à la conquête d'Alexandre? Voilà le seul point important pour nous. S'il lui est postérieur, il ne nous intéresse que comme document pour la science grecque.

On a prétendu longtemps, il est vrai, qu'il est impossible de trouver chez les Grecs aucune règle définie pour l'extraction des racines carrées incommensurables. Mais M. P. Tannery a montré (Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux , tome IV, l^ Arithmétique des Grecs dans Héron d'Alexanctrie) que les racines fournies par les écrits héroniens ont été certainement calculées par un procédé presque identique à celui que signale M. Rodet dans l'Inde (*).

J'arrive, Messieurs, au document de beaucoup le plus important qui puisse nous renseigner sur l'arith-

(*) Voir le Bulletin de la Société mathématique de France tome V, Sur une méthode d'approximation des racines carrées connue dans l'Inde, antérieurement à la conquête d'Alexandre, par Léon Rodet. — M. Rodet explique, parce

procédé, la valeur curieuse de w, \/W^ que ThindouBrahmagupta (VII"® siècle) substituera au nombre d'Archimède, -y-^

métique ancienne : c'est le papyrus égyptien de Rhind, qu'a traduit, il y a une quinzaine d'années, M. Eisenlohr, professeur à Heidelberg, et qui contient un Manuel du calculateur. Il a été impossible de fixer exactement la date de sa composition. Se fondant sur la forme des caractères, M. Eisenlohr affirme qu'il a été écrit sous la XVIII ™® dynastie, probablement entre 1700 et 175() av. J.-G. Ce manuel est un traité pratique, à l'usage peut-être des architectes ou ingénieurs, ou encore des fermiers chargés de gérer les biens de quelque riche propriétaire . Il indique la solution des problèmes que de pareils fermiers auraient à résoudre. Ce sont , d'une part , des questions de calcul relatives, en grand nombre, à des mesures de capacité pour les grains ou les fruits; d'autre part, des questions de géométrie où il s'agit surtout d'évaluer des surfaces et des volumes.

Laissons la géométrie pour tout-à-l'heure, et voyons ce que ce papyrus renferme d'intéressant en arithmétique. Je vous indique d'abord les types des principaux problèmes, tels que nous les donne M. Rodet, qui a corrigé sur certains points la traduction d'Eisenlohr :

Réduction des fractions ayant 2 pour numérateur, et pour dénominateur un nombre impair, en une somme de fractions ay Sint pour numérateur 1 (*). —

(*) Cett 6 opération, dit M. Rodet , est énoDcée en ces termes € (d'après l'Egyptien, non d'après l'Allemand ) ; c Exprime » 2 entre 13 » par exemple, ce qui rappelle l'expression ana-

l'orient et l'Egypte 93

Ces sortes de questions devaient avoir une grande importance chez tous les peuples anciens; car partout, dans toutes les numérations, les seules fractions utilisées ont 1 pour numérateur. La fraction -y seule fait

exception et est représentée par un signe spécial. Notons encore à ce propos que les Grecs ne songeront pas à se débarrasser de cet usage exclusif. Dans Héron d'Alexandrie et dans l'Arithmétique de Nicomaque, ce sont encore des fractions à numérateur 1 qui seront maniées dans les calculs, et il en sera de même dans le papyrus grec d'Akhmîm, récemment traduit, dont la date semble devoir se fixer entre le VP® et le IX""® siècle après J. -G.

Partage de 1 , ou 3, ou 6 rations entre 10 personnes.

Calcul d'une quantité qui, augmentée de fractions d'elle-même, donne un nombre connu.

Nombreux problèmes de partage.

Évaluations de salaires.

» logue des Arabes et des Juifs : 2 parties de 13 parties dans

» l'unité, chose que les Arabes appellent une expression

y> inarticulable, et l'auteur juif Aben-Ezra une fraction que

» Phomme ne saurait prononcer. Voilà pourquoi l'auteur

» égyptien la rend prononçable en la convertissant en une

y> somme de fractions très simples. — Héron fait souvent

> des conversions de ce genre. Il dit, par exemple: 1 5876 dont

9 la 200™« partie est 79 4" 4" "M"- "" L'auteur arabe Al-

> Kharizmi nous en offre aussi des exemples fréquents. :> (Bulletin de la Société Mathématique, tomeVI, page 142).

Calculs du rendement en pains on en brocs de bière de certains volumes de farine ou de grains.

Une question incomplètement déchiffrée, où se trouvent calculées quelques puissances de 7 et leur somme.

Tableau de concordance des mesures de capacité pour les graines et les liquides.

Enfin, trois problèmes où, suivant M. Eisenlohr, Fauteur enseignerait la manière de calculer la nourriture des oies et des bœufs.

A s'en tenir au type général des problèmes qui ont été clairement interprétés, vous voyez en somme qu'il s'agit de questions du premier degré, dans le genre de celles que l'on pose aux examens du brevet élémentaire.

Voici, tels que les donne M. Rodet, l'énoncé et la solution égyptienne d'un problème (^).

Je verse 3 fois mon vase dans un boisseau; j'ajoute -~- et -ç de mon vase ; je le remplis. Quelle est la quantité en question ?

Si l'on te dit cela, fais comme ceci :

Exprime 30 entre l . i ^a t, T T (*0) I 106, cest-à-djrel

cherche quelle { 7 iûe ^

T T (^) l fraction de 106 j / J« o

vaut 30.

Total34-l- -^1 \ Total. 1»|

La quantité est donc t '^ mm,

(*) Bulletin de la Société mathématique, t. VI, p. 140.

l'orient et l'Egypte 95

Puis vient une série de calculs destinés à faire la preuve.

Sans entrer dans plus de détails, voici les remarques générales que suggère le papyrus sur la façon de calculer de son auteur :

Il sait effectuer sur les nombres entiers les calculs conduisant aux résultats des quatre opérations simples, mais il ne connaît pas de procédés spéciaux pour la multiplication et la division. Pour la multiplication, il n'effectue directement que la duplication, la multiplication par 2. En répétant cette opération un nombre de fois suffisant, et ayant recours à une suite d'additions, il parvient naturellement à effectuer n'importe quelle multiplication. Ainsi, pour multiplier un nombre par 5, il forme son double, puis le double du double auquel il ajoute le nombre. Vous avez vu dans l'exemple de tantôt, où le contenu du vase était représenté par 30, que le calculateur, pour former la somme indiquée par l'énoncé, n'écrit pas 3 fois 30 (90), mais 1 fois 30, puis 2 fois 30 (60).

Quant à la division, M. Rodet déclare, en dépit de certaines expressions de la traduction allemande, que Fauteur égyptien l'ignore absolument. L'opération qu'il y substitue consiste, selon le texte même, à faire croître l'un des deux nombres^ pour trouver Vautre y c'est-à-dire à former successivement les multiples du premier jusqu'à atteindre le second.

Les fractions sont couramment employées dans les calculs. Ainsi que nous l'avons déjà dit, l'auteur n'y

laisse jamais subsister que des fractions ayant pour

numérateur I, à l'exception de la fraction t •

Sans exposer à part aucune théorie de ses opérations sur les fractions, l'auteur du papyrus procède comme s'il connaissait nos principes fondamentaux de la théorie des fractions. Pour lui, sans doute, il est instinctivement évident qu'une fraction devient n fois plus grande, quand on multiplie son numérateur par n, — n fois plus petite quand on multiplie son dénominateur par n ; — qu'elle ne change pas de valeur quand on multiplie les deux termes par un même nombre.

Quand il s'agit de prendre une fraction d'un nombre entier ou d'une fraction, il y parvient à l'aide d'une série de calculs. Mais ici encore il n'a pas dégagé une règle générale directe pour obtenir ces résultats ; il est évidemment très loin de l'idée que cette opération peut rentrer dans une définition générale de la multiplication dont les nombres entiers ne fourniraient qu'un cas particulier.

Enfin l'auteur emploie fréquemment un procédé qui, au premier abord, a pu passer pour la réduction des fractions au même 'dénominateur, telle que nous la pratiquons nous-mêmes. M. Rodet a clairement démontré (Journal Asiatique, tome 18) qu'il ne s'agit nullement de cette opération. Le savant orientaliste a établi l'identité du procédé égyptien et d'une règle suivie couramment par les auteurs arabes ou hébreux du moyen âge, qui consiste à remplacer dans un

L*ORIENT ET l'ÉGYPTE 97

problème certaines fractions par des nombres entiers proportionnels, puis, une fois la solution trouvée, à la réduire dans le rapport inverse de celui où Ton avait multiplié Tunitè. Ces nombres entiers que Ton substitue aux fractions sont bien les numérateurs que nous obtiendrions en réduisant au même dénominateur, et le nombre par lequel on a multiplié Tunité, et par lequel il convient de diviser le résultat, n'est autre que le dénominateur commun ; mais cependant Tauteur du papyrus ne s'est certainement pas élevé à cette conception beaucoup plus récente à coup sûr (^).

Ce document, Messieurs, détruit Tantique légende suivant laquelle la géométrie grecque seule venait d'Egypte. Non seulement nous voyons chez les Grecs quelques usages dont ce manuscrit donne l'exemple, comme celui qui concerne les numérateurs 1 et la

fraction -g-, mais même nous retrouvons, jusque dans

(*) Cette interprétation'de M. Rodet vient d'être pleinement confirmée par la traduction du papyrus d'Akhmîm (Baillet, Mémoires de la mission française du Caire, 92). Dans ce traité mathématique .'grec, — mentionné pins haut, — les règles égyptienne^ se trouvent, pour les questions analogues, éclaircies et portées à leur complet développement, mais la ressemblance avec le papyrus de Rhind reste encore telle, que nous nous demandons si l'original dont le paryrus d'Akhmîm n est qu'une copie, paraît-il, ne serait pas un traité égyptien

beaucoup plus ancien.

Héron et Diophante, des types de problèmes identiques à ceux du papyrus de Rhind. Seulement ce n'est pas Tarithmètiqùe des Grecs, c'est leur logistique qu'il faudra rapprocher du manuel égyptien, c'est-à-dire la science pratique , l'ensemble des règles utiles aux applications journalières. Nous ne trouvons pas dans le papyrus la moindre trace de ce qui sera la théorie des nombres des Pythagoriciens. En Egypte, moins encore qu'en Asie, nous n'avons aucune raison de croire qu'on aiteu l'idée d'une arithmétique théorique.

Passons à la géométrie.

Et d'abord, puisque nous parlions du papyrus de Rhind, que nous apprend-il sur la géométrie égyptienne ? Je l'ai déjà dit, il est surtout question de surfaces et de volumes à évaluer. Pour les volumes, il est à peu près impossible jusqu'ici de reconstituer les rôgles suivies, ou, quand on retrouve la règle, il est difficile de savoir de quel solide il s'agit. Pour les surfaces, voici ce qui nous intéresse :

L'aire du carré s'obtient régulièrement en faisant le produit du côté par lui-même.

L'aire d'un quadrilatère quelconque se calcule en faisant le produit des demi-sommes des côtés opposés. Pour un rectangle, cette règle donne bien le produit des deux dimensions, mais dans le cas général la règle est inexacte.

L'évaluation de l'aire d'un cercle est particulièrement curieuse : l'auteur du papyrus prend les -5- dn

l'orient et l*égypte 99

diamètre, qu'il élève au carré. Gela revient à prendre pour Faire :

au lieu de

de sorte que finalement la règle consiste, peut-on dire, à prendre pour ir la valeur

/ 16 \2 256 o <CA/

au lieu de 3, 1415... Cette approximation, évidemment due à un procédé pratique qui nous échappe, est peutêtre ce que le traité égyptien contient de plus intéressant pour la géométrie.

En dehors des questions sur la mesure des surfaces et dos volumes, je dois vous signaler un certain nombre de problèmes curieux, où on demande le rapport d'une longueur à une autre, et qui reviennent ordinairement à déterminer l'inclinaison d'une arête ou d'une face sur le plan horizontal. Voici un exemple ( ^ ) :

Préceptes pour énoncer une pyramide de 360 au « travers de la plante » du pied, 250 à la « saillie en tranchant (*) ». Donne-moi son rapport. — Fais la

(*) Rodet. Article cit., page 145.

(*) a C'est-à-dire 360 de diagonale de base, 250 d'arête ; le » mot qui désigne l'arète et qui signifie littéralement saillie » en tranchant, estécritpir-em-us : c'est vraisemblablement » de là qu'est emprunté le grec 7njpa(Atç. » (Rodet ^ idem,)

moitié de 360, ce qui donne 180. Fais croître le nombre 250 pour trouver 180. Cela fait -g- -^-^

de coudée.

Le fait que les Égyptiens portaient ainsi leur attention sur le rapport des lignes d'une figure est intéressant, mais il ne faudrait pas en exagérer Fimportance, et y voir seulement l'ébauche d'une théorie scientifique de la similitude. Ce n'est qu'un indice de ce sentiment instinctif, que nous avons tous, de la variation des corps dans des conditions telles que les grandeurs des éléments soient modifiées sans que la forme le soit, toutes proportions gardées, comme on peut dire , sans prétention scientifique. Les premiers hommes, qui ont dessiné sur les rochers des figures humaines plus ou moins grossières, témoignaient déjà de ce sentiment par leur seul désir de faire ressemblant, semblable par conséquent, sans conserver les dimensions (^). Vous sentez bien la distance qui sépare un pareil sentiment

(*) Il est évident d'ailleurs que ce sentiment de similitude ou de proportionnalité ne se montre pas seulement, dans le papyrus de Rhind, à l'occasion des problèmes de géométrie, dont nous venons de parler. Ainsi que M. Rodet l'a fait remarquer, — et suivant une interprétation que confirme le papyrus d'Akhmîm, — ce sentiment se retrouve à la base même de la méthode de calcul par laquelle l'auteur égyptien substitue des entiers aux fractions, sauf à corriger à la fin, — méthode qui fournira d'ailleurs pendant de longs siècles la règle dite de faicsse position.

l'orient et l'Egypte 101

d'une théorie quelconque de la similitude, et vous conviendrez avec moi que les questions géométriques du papyr us de Rhindne témoignent pas de préoccupation? d'ordre moins terre à terre que le reste du manuel.

N'avons-nous pas d'autres indices certains des connaissances géométriques de l'Egypte ?

Clément d'Alexandrie nous a conservé un mot de Démocrite, qui semble très instructif, et d'autant plus significatif que Démocrite a voyagé en Egypte vers le milieu du Y^^ siècle. « Pour la combinaison des lignes avec démonstration, dit Démocrite, personne ne m'a surpassé, pas même ceux qu'on nomme en Egypte *Ap7re&ovaTCTai ». Zeller, dans son Histoire de la philosophie des Grecs, dit que le sens de ce mot 'ApircSovairTai est très controversé. J'ai trouvé le mot traduit ainsi : <c ceux qui attachent le cordeau » par M. Tannery et M. Cantor, et, ayant cherché moi-même à comprendre à l'aide d'un dictionnaire grec-français, j'ai trouvé pour àpice&ovT) : cordeau^ cordon tiré ; et pour àTcreîv : attacher ; de sorte que j'ai peine à croire que le sens du mot puisse être discuté. Ce qu'on se demande avec quelque curiosité, c'est évidemment quelles pouvaient bien être les fonctions des Arpédonaptes. La première pensée qui vient à l'esprit, c'est que ce devaient être des arpenteurs chargés soit de mesurer, soit de niveler des terrains. Cela pouvait entrer dans leurs attributions, mais sûrement il y avait autre chose. Si Démocrite les nomme comme possédant une science démonstrative, c'est qu'au moins ils en ont la réputation et l'apparence ;

• • ai •

1Q2 TROSIÈME LEÇON

c'est que, parmi les opérations auxquelles ils se livrent, il doit y en avoir une particulièrement importante. Les papyrus et les inscriptions confirment d'ailleurs cette opinion. D'une part, un des plus anciens papyrus, qui fait partie de la collection de Berlin, mentionne, en lui donnant une certaine importance, l'opération des Speilspannen (comme l'ont traduit les Allemands), c'est-à-dire l'opération qui consiste à tendre la corde, et ce papyrus remonte à Amemenhat I, de la douzième dynastie, dont la chronologie est impossible à fixer, mais qu'il faut placer sûrement bien au-delà de l'an 2000 avant J.-G. D'autre part, les peintures trouvées sur les murs des temples nous montrent assez souvent un personnage, qui n'est rien moins que le roi luimême, tenant dans ses mains une corde et des piquets, et il ressort clairement des inscriptions que le roi, ainsi représenté, collabore avec une déesse à la très grave opération de Vorientation du temple. Nous savons, en effet, que tous les temples, ainsi que tous les monuments funéraires, en Egypte, sont à peu près exactement orientés : je reviendrai dans ma prochaine leçon sur cette question qui touche à l'astronomie. Pour le moment, je vous ferai remarquer, avec M. Gantor, à qui j'emprunte cette idée, qu'il ne suffit pas pour l'orientation du monument de déterminer la méridienne, la ligne nord-sud: il faut encore fixer la direction perpendiculaire à celle-là ; et c'est ici que nous arrivons à un problème de géométrie. M. Gantor n'hésite pas à déclarer que c'est la résolution de ce

l'orient et l'Egypte i03

problème qui constituait la fonction essentielle des. Arpedonaptes, et, c'est là surtout ce qui nous intéresse, il croit que les Arpedonaptes utilisaient, pour cette opération, la propriété des nombres 3, 4, 5, d'être les côtés d'un triangle rectangle.

Vous connaissez tous le fameux théorème du carré de l'hypoténuse. La figure classique qui sert à le démontrer est populaire et connue aujourd'hui sous le nom de pont-auœ-ânes. Les Grecs lui avaient également donné un nom vulgaire, c'était chez eux le ÔswpiofAaT^ç vui^çYi;. Les témoignages de l'antiquité attribuent la découverte du théorème à Pythagore. La tradition même nous le montre, sur la foi de deux vers grecs dont on ne connaît pas exactement l'auteur, offrant un sacrifice aux dieux, dans la joie de sa découverte. Vous comprenez de quel intérêt il est pour l'histoire des sciences, de démontrer que Pythagore trouva en Asie ou en Egypte l'énoncé de son théorème. Je m'arrête donc un instant sur les vues de M. Gantor.

Supposons d'abord, dit-il en substance, que les Arpedonaptes aient connu la propriété du triangle 3, 4 y 5, aient su par conséquent que si dans un triangle ABG,AB = 3,BG = 4,AG=5,ABGest un angle droit ; alors tout s'éclaire. Une fois que, pour l'orientation du temple, on aura disposé deux piquets sur la méridienne à une distance de 4 unités de longueur, qu'on prenne une corde de 12 unités de longueur, dont les deux bouts soient réunis, et qu'on aura partagée, une fois pour toutes, en 3 parties, respectivement égales

à 3, 4, 5, par deux autres noeuds; qu'on fixe ces deux noeuds sur les deux piquets, en B et G, et enfin que, prenant en main le nœud A, on tende la corde : la direction B A sera celle de la ligne E (*). Du même coup nous comprenons pourquoi les Égyptiens chargeaient de ces fonctions sacrées, dans leurs peintures, le roi lui-même ; pourquoi aussi les Arpedonaptes étaient considérés comme très savants géomètres : il sufiît d'admettre qu'ils ne disaient pas leurs secrets au vulgaire, de sorte que toutes les suppositions fussent permises sur les procédés mystérieux qui leur permettaient si facilement de résoudre le problème géométrique de l'orientation. Démocrite pouvait , sur la foi de leur renommée, croire lui-même qu'ils résolvaient de véritables problèmes avec démonstration, comme il dit.

Bien qu'il n'y ait là, en somme, qu'une hypothèse, elle nous semble déjà très vraisemblable. Elle devient plus probable encore , si on tient compte de quelques passages de livres chinois et hindous , où se trouve également mentionnée la propriété du triangle 3, 4, 5. Malheureusement , quand il s'agit des Chinois et des Hindous, on ne sait jamais à quoi s'en tenir exactement sur l'ancienneté des témoignages que l'on cite. Pour les Hindous , il est curieux de voir comme peu à peu

(*) Ce procédé est suivi couramment par nos soldats du génie pour la construction des angles droits.

l'orient et l'Egypte 105

leurs livres les plus anciens sont rapprochés de nous

par la critique moderne. De tous leurs Sydanta réputés

jusqu'ici d'une si colossale ancienneté, on se demande

aujourd'hui s'il en reste un seul antérieur , non pas

seulement à la conquête d'Alexandre, mais à l'ère

chrétienne. En Chine , c'est encore plus obscur : ce

peuple a vécu si concentré en lui-même, que pour les

témoignages anciens qui nous viennent de lui seul ,

il est difficile de contrôler quoi que ce soit. En tout

cas, si nous laissons de côté les Gulvasutras hindous,

qui mentionnent le triangle 3, 4, 5, mais qui peuvent

bien n'être pas antérieurs à la conquête d'Alexandre,

voici un fragment d'un livre chinois, auquel on donne

comme date probable 1100 ans avant J-C; et qui

certainement est antérieur à Pythagore. — Le livre

d'où il est extrait a été écrit par l'Empereur Tchaou-

Kong, et a été traduit par Biernartzki. « Tchaou-

» Kong dit un jour à Schang-Kaou : j'ai appris que

» tu es très expert dans les nombres. Je voudrais

» donc te demander comment l'ancien Fo-Hi a fixé

» les degrés sur la sphère céleste. 11 n'y a point

» d'échelons avec lesquels on puisse gravir le ciel ; le

» fil-à-plomb et la mesure de la grandeur de la terre

» sont des moyens qui ne peuvent s'appliquer au ciel.

» Je voudrais donc savoir comment on a fixé ces

» nombres. — Schang-Kaou répondit : L'art de

» compter se ramène au cercle et au carré. Si on ana-

» lyse un angle droit , la ligne qui joint les deux

» extrémités de la base et de la hauteur est égale à

» 5 , quand Tune est égale à 3 et l'autre à 4. — » Tchaou-Kong s'écria : En vérité , c'est merveil- » leux ! »

Ces derniers mots sont assez clairs, et il nous semble difficile de douter que la propriété du triangle 3,4,5, ne fût connue en Orient , et sans doute en Egypte , depuis des temps très reculés. Remarquez bien ce que comprend cette connaissance. La propriété arithmétique des nombres entiers consécutifs 3, 4, 5, à savoir queles carrés des deuxpremiers ont pour somme le carré du troisième, avait certainement frappé les penseurs à une époque fort éloignée dans le passé. Puisque l'on a construit des tables de carrés,cette singularité ne pouvait pas ne pas sauter aux yeux. La correspondance d'un nombre carré à la surface d'un carré géométrique, dont le côté est égal à la racine, n'offrait aucune difficulté, et par conséquent la propriété arithmétique pouvait se traduire sans peine ainsi : l'aire du carré construit sur une longueur égale à 5 est équivalente à la somme de deux carrés, de côtés 3 et 4. Mais tout cela n'est pas encore cette propriété géométrique curieuse que le triangle formé par les côtés 3, 4, 5 a un angle droit. Gomment avait-on bien pu la découvrir ?...-. C'est une question à laquelle il est impossible de répondre. Mais rien absolument ne nous permet de soupçonner une démonstration théorique. Il est probable que c'était chez les Égyptiens comme chez les Chinois, une règle de routine qu'avait suggérée l'expérience, et, en tous cas, n'oubliez pas que ce qui nous a incités à chercher en

l'orient et l'Egypte 107

Egypte les traces du fameux théorème, c'est le besoin de définir une opération toute pratique, la vérification expérimentale d'un angle droit.

Il me reste à vous dire deux mots des connaissances géométriques de la Ghaldée. — On a trouvé parmi les peintures des monuments quelques figures de géométrie, dont la plus intéressante et la plus fréquente est un cercle partagé en six parties égales par trois diamètres. La division de la circonférence en six parties égales s'obtient, comme vous savez, en portant six fois le rayon sur la circonférence ; la corde qui sous-tend la sixième partie de la circonférence est le rayon. La construction rigoureusement exacte du cercle trouvé sur les monuments babyloniens exigerait la connaissance de cette propriété. Faut-il conclure que vraiment les Ghaldéens l'ont connue? — Je n'en vois pas la nécessité. Autre chose est de connaître les propriétés géométriques des figures ; autre chose de les construire avec adresse.

Cependant quelques-uns ont pensé autrement, et je vais vous donner tout de suite le principal argument en faveur de cette thèse. Si on sait que le rayon du cercle, porté 6 fois sur la circonférence, ramène au point de départ, il peut paraître naturel, dans une première approximation grossière, de prendre pour la longueur de la circonférence 6 fois le rayon ou 3 fois le diamètre. Or, si aucun document ne nous [prouve que oe fût là en Ghaldée la mesure de la circonférence, la Bible, très instructive à cet égard, nous inontre bien, en etfet.

le nombre 3, pris comme rapport de la circonférence au diamètre. Il y est dit que le temple de Salomon a la forme d'une sphère, et que le diamètre a dix coudées et le tour 30 coudées. Je vous laisse juges de la valeur de l'argument. Mais en tous cas, personne n'a songé à soutenir que les Chaldéens aient démontré le théorème relatif à l'hexagone régulier, ce qui pour nous est le plus important.

A propos de cette division de la circonférence en six parties égales, laissez-moi vous fair remarquer après M. Gantor, qu'elle jette un certain jour sur l'origine de la numération sexagésimale des Chaldéens. Des observations astronomiques très primitives avaient suffi pour leur montrer que le soleil accomplit sa révolution à peu près en 360 jours, de sorte qu'en prenant pour unité le chemin parcouru chaque jour par l'astre, ils avaient dû être naturellement conduits à diviser le grand cercle que décrit annuellement le soleil en 360 parties égales. C'est sans doute là l'origine de leur division des arcs en degrés, aujourd'hui encore en usage. Leur division du cercle en six parties égales, qu'ils jugeaient commode , mettait ensuite en évidence la soixantaine de degrés, d'où probablement le rôle immense qu'ils ont fait jouer à ce nombre 60 (*).

Eh bien^ Messieurs, j'ai fait successivement passer sous vos yeux tous les documents sérieux pouvant

Ç) Voir Ganter (Vorlesungen), tome I, page 92 et suiv.