FRACTIONS IMPLICITES. INDEPENDANCE DES FONCTIONS. I

variables y, on a donc

Qi^o.

Donc

Loi d'inertie, — Le théorème que nous allons établir est presque évident de par sa signification géométrique : un ellipsoïde, par exemple, ne peut, par un changement de coordonnées, avoir pour équation celle d'un hyperboloïde.

Soit une forme ^ 7/ iijXi Xj-, de m variables.

Etant données deux décompositions dC une forme à coefficients réels en sommes algébriques de carrés de formes linéaires indépendantes^ ces décompositions contiennent te même nombre de carrés précédés du signe — ^etde carrés précédés du signe + .

Il résulte de ce qui précède que les deux décompositions contiennent le même nombre de variables indépendantes. Ecrivons

et montrons que p est nul. Écrivons le système suivant

- . ( yn+\ — yn-ht = yn-hi = '" = ym =0,

^ Zi — 32 — 53 — ... — Sfi-p — O

et remarquons que les valeurs des x tirées de ce système n annulent pas tous les autres termes Zn-p^t-, Zn-p^2t •••? ^w Il faudrait qu'on ail, pour cela

i ^n-p-i-l =■ «1^1-+-. . .-H 3[„-pZn~p-h P/i+i^/n-i -+-...-+- pm^/n.

c'est-à-dire (m -i- p — n) équations entre lesquelles il serait possible d'éliminer les (m — n) variables j^«^i, . . ., ym-

Ainsi, du système (If) on déduirait au moins une relation entre Zt^Zij ..., Zm- Or ceci contredit l'hypothèse de l'indépendance des z. Donc les z ne s'annulent pas tous, avec le choix fait des x. Au système (1) adjoignons l'équation (i) z,n = i, ce qui donne un système de (m — /?-|-i) équations pour m inconnues; pour les

l8 CHAPITRE I.

\aleiirs x correspondantes, nous avons, d'une pari,

F = A, ^î -+-... -i-A„j-J^o, d'autre part,

Il existe une contradiction, qui ne tombe que si p = o.

Transformations orthogonales, — Nous devons étudier une classe spéciale dé transformations linéaires

xt = a/1 yi -h a/î ^, -h . . . + «/« j« ,

la distance étant conservée, c'est-à-dire a\ant posé la condition

(0 a:î-h...-harj = ^î H-. . .H- J'î ;

nous avons donc

D'où la condition nécessaire et suffisante

I pour i = j\

auaij-haaaij-i-. . .-T-af,ia„j =

o pour i ^ j.

Théorème I. — Le module est égal à ±\,

En efl'et, d'après (2), si nous formons le carré M- du module, nous avons

D'où M = ±: I . On a la valeur -h 1 si les deux systèmes d'axes x ely ont la même disposition, c'est-à-dire si Xi coïncidant avec^v (/ r= I , 'Ay .. ., n — 1), x,i coïncide avec y„. Le signe — correspond au cas où, dans ces conditions, Xn coïncide avec — yn.

Théorkme II. — Soit M=r-f-i, chaque élément est égal à