FRACTIONS IMPLICITES. INDEPENDANCE DBS FONCTIONS. I

Donc le déterminant des A est le produit des déterminants M et A

Si maintenant nous écrivons F sous la forme SSi/,A i'aJ^'a nous avons

Comparons cette valeur de Y avec la valeur [nécédenle. Il en résulte

Soit donc posé

A:-!ift/,Aii.

on a

A'=:M||Ao|| = M*A;

d'où cette proposition :

Théorème 11. — Si Con fait^ dans une forme quadratique^ une substitution de module M non nul, le rapport des deux discriminants de la forme ^ correspondant aux deux systèmes de variables^ est M-; les deux discriminants s annulent en même temps.

Théorème 111. — Si une forme quadratique de n variables peut se réduire à une forme quadratique de h variables f^, /lï •", fkt Ic's fêtant des formes linéaires^ indépendantes, des x^ le discrimant est nul ainsi que tous les déterminants d'ordre {n — i), {n — a), ...,(/»• -h i ), tirés du même Tableau.

Supposons, en effet, qu'on puisse écrire

Evaluons X, en fonction de <ï>, nous avons

' '" 'J^\àf dr, ^'"'^ df.âxj'

c'est-à-dire

t6 CHAPITRE I.

DoHC les II fondions linéaires X peuvent s'exprimer en fonction des A* variables /; nous avons, par suite, un déterminant tel que

ai, ... «u

«Ai . ■ • «/.A

non nulj tous ceux d^ ordre supérieur à k étant nuls^ d'après la théorie des formes linéaires.

Théorème IV. — Réciproquement^ supposons le discriminant nul, ainsi r/ue tous les déterminants jusqu^à tordre k exclus, on aura^ les fêtant des formes linéaires indépendantes.

Nous avons, en eflet, la possibilité, en vertu des hypothèses, d'exprimer Xa j.i, X^t^-j? •••? X,, en fonction deXi, X.^, X3. ..., X*.

Posons, par définition : X, =/i, X2 =/2- •• •> ^^k^fk et prenons des formes linéaires g^^ gi-, ..., ^«-a, arbitraires, avec la seule restriction de former 9\ccf^f2^ -.^^fk nn système indépendant.

On peut donc exprimer x^^x^, . . .,x,/ en fonction des nouvelles xariables/,, ..^yfkjgt ..., gn-k^

Soient Q, Qi des symboles de formes quadratiques, B un symbole de forme bilinéaire (ne contenant aucun carré); nous avons, par ce changement de variables,

IVenons la dérivée partielle

/>F £Q (>B àfx ~ 0/1 "^ àf •

Mais B contient des variables g et d'autre part -jj- s'expriuie en fonction des/ seuls, donc

Prenons la dérivée partielle

<^/ri " agi ' Le premier membre peut s'exprimer en fonction des seules