FRACTIONS IMPLICITES. INDÉPENDANCE DES PONCTIONS

Donc les a sont les racines de Téqualion que nous avons déjà étudiée (t. I, Chap. IV)

an—x ail ... ain

Avec celte équation, on retrouve le théorème fondamental (*).

Invariants. — Quand une substitution linéaire transforme yiaijXiXj en ^bmnymyn^ toute fonction des coefficients qui est multipliée par le déterminant D de la substitution, ou par D/', se nomme invariant {p étant entier).

Par exemple, le discriminant est un invariant. Prenons la

forme

^aijxixj— s{x\ -h. . .-+- ^î),

son discriminant est un invariant, quel que soit s. Si nous faisons une substitution orthogonale, de module D =: + i, nous voyons que tous les coefficients de ce polynôme en s sont des invariants absolus j c'est-à-dire des expressions absolument invariables numériquement.

Ceci est utilisé par les géomètres.

La théorie générale des formes est difficile, incomplète.

Signalons ce théorème : Si l'on excepte les formes binaires, les formes quadratiques et les formes ternaires biquadratiques, la forme définie la plus générale de son degré n'est pas décomposable en une somme de carrés d'autres formes en nombre fini (-).

Remarque. — Si nous avons rappelé ici les théorèmes classiques sur les formes quadratiques^ de même que, dans le Tome premier, nous avons repris la théorie élémentaire des équations linéaires el des déterminants^ c'est parce que toutes ces théories, en prenant une infinité de variables^ donnent des résultats sur les équations intégrales.

( ^ ) Voir Maxime Bôcher, Einfuhrung in die hôhere Algebra (Teubner, 1910).

(') Théorème de M. Hilbert. Voir H. Poincaré, Rapport sur le Prix Bolyai {Bendiconti del Circolo di Palermo^ l. XXI, 191 1).

Au sujet des applications aritlimétiques de la théorie des formes quadratiques, on pourra consulter P. Baciimann, Za/iientheorie^ vierter Thcil. Leipzig, 1898.