CHAPITRE 1. — FRACTIONS IMPLICITES. INDÉPENDANCE DES FONCTIONS

Quand un noyau a des singularités infinies^ il peut arriver qu'un noyau itéré n^ en ait plus. Sinon, dans le cas contraire, on a un noyau singulier; la méthode de M. Fredholm n'est plus valable et il faut employer les méthodes de M. Hilbert ou de MM. F. Riesz et E. Fischer, de MM. Picard et Poincaré.

Ces méthodes reposent sur la théorie des équations et des formes il une infinité de variables (*).

(') Dans ses Mémoires sur les équations intégrales, M. Hilberl étudie les formes quadratiques d'une infinité de variables. Sur cette théorie, voir : K. Hellinoer, Dissertationj Gôttingeo, 1907; Journal fiir die reine und angewandte Mathemaiik^ Band 136 (1909) et encore divers Mémoires de Friedrich Riesz et Otto Tœplitz, parus, comme ceux de M. Hilbert, dans les Nachrichten der K. G, der Wissenschaften zu Gôttingen,

Pour la Bibliographie détaillée, voir T. Lalesco, Introduction à la théorie des équations intégrales^ Hermann, 191 •«.

Nous emploierons la terminologie du calcul des variations en distinguant ïextremum libre et Vextremum lié.

I. Extremum libre. — Nous rencontrons ici des problèmes supérieurement difficiles et dont les cas les plus simples ont pu être résolus parce que des considérations géométriques, mécaniques, étrangères à la pure Analyse, ont guidé.

Nous ne pourrons guère faire autre chose qu'énoncer les difficultés.

Vn maximum ou un minimum s'appelle un exlrenium»

La figure ci-dessous montre les trois sortes de maxima (|ui peuvent se présenter :

Kig. 1.

En A, nous avons la tangente horizontale; maximum relatif.

En B, nous avons la tangente horizontale; maximum absolu.

Le maximum absolu aurait pu être au point C quoique la tangente ne soit pas horizontale. Au point C la fonction est plus grande qu'en les points tout voisins. Au point D, elle est moindre qu'en les points voisins.

ici, B est le maximum, D est le minimum.

Nous supposerons les fonctions définies à droite et à gauche du

If\ CHAPITRE II.

point considéré. De plus, les fondions el les variables sont essentiellement réelles.

Une fonction /(j:, y, 5, ...) estmaxima en un point (a, 6, c, ...) si Ton peut fixer un nombre posilif e tel que, pour |/(?|, |/r|, ... moindres que t on ait

Dans les mêmes conditions, il y a minimum si l'on a f(a-^h, b-^ k, ...)— /(a, b, . . . ) > o.

Prenons une fonction d'une variable f {x)] elle est croissante dans un intervalle contenant :r et j^ lorsque

est positifs décroissanle dans le cas contraire.

Si la fonction est dérivable, on a les critères suivants

f'(x) <^o^ croissance; /'(x) -^o, décroissance.

Il ne peut donc exister un maximum ou un minimum que si f\x) est nul ou cesse d'exister.

Supposons les dérivées d'ordre i, 2, etc. nulles, écrivons la formule de Taylor

Nous avons immédiatement ce résultat :

Si la première dérivée non nulle, en «, est d'ordre impair : ni maximum ni minimum.

Si l'ordre est />air, dérivée négative : maximum] dérivée positive : minimum,

Si/'(^) est discontinue en a et passe du signe H- au signe — , maximum; du signe — au signe 4-, minimum.

Cette discussion est trop facile pour que nous insistions.

Passons aux fonctions de plusieurs variables.

Laissons toutes les variables fixes, sauf une; il est clair, d'après ce qui précède, qu'il ne peut exister un maximum ou un minimum que si la dérivée partielle par rapport à cette variable est nulle ou cesse d'exister.

MAXIMA ET MINIMA. l'i

Maintenanl, la formule de Taylor, si elle est applicable, ramène le problème à l'étude des formes.

Une /orme est un polynôme homogène de n variables.

Elle est dite définie si elle ne peut s'annuler que lorsque toutes les variables s'annulent.

La forme est générale si une transformation linéaire (changement d'axes) ne peut réduire le nombre des variables.

Si une forme esr définie, elle est générale. En effet, supposons :

Gomme on peut annuler y^ et y., sans annuler tous les x^ la forme / ne serait pas définie.

Une forme est dite semi-définie si elle est ^o ou bien ^o, pouvant s'annuler sans que toutes les variables s'annulent.

La forme est indéfinie si elle peut prendre des valeurs positives et négatives.

Soit une fonction /(j7,>', z), possédant des dérivées d'ordre n continues. On peut alors appliquer la formule de Taylor

/(:r„-4-A^ JoH-Ay, Zo-^le}'=^¥(n = j^ F«(e) o<6<i.

Nous supposions, pour simplifier les notations '-/{^o^yo, z-o) =o. On sait que F" est une puissance symbolique

Ceci est une forme en h, k, /, de degré n.

1° Si cette forme est indéfinie, ce qui a toujours lieu quand n est impair^ F" (o), peut changer de signe, quand /i. A', / varient.

11 en sera de même de F"(6), à cause de la continuité, donc le point (xoj jKoi ^o) né peut être un extremum pour la fonction.

2" Supposons définie la forme F"(o). Nous écrivons maintenant

/(^o -H A, J'o -^- A-, 45o + /) = -7^ F« (o) -+- R„H,. Nous supposons les dérivées d'ordre n-\- i continues, pour pou-

voir ocrire ceci; nous avons n -M Rn-M=F^^-^'(0')

Grâce à la coiUinuitc des dérivées, on a

««^. = /"- (£^ - ^.) -••-''- (gï - ^>) .

£,, . . ., t^ tendent vers zéro avec A, A*, /. Posons F'»(o) = C„.

R/i+i peut se mettre sous la forme

A(Ai)-+-/:(Aî)-f-A6,(BJ) + ....

Les termes entre parenthèses sont des formes de degré n. Soit A„ l'une quelconque de ces formes. Montrons que (A;,:C«) a un maximum et un minimum finis^ lorsque A, A, /, prennent des valeurs quelconques, non toutes nulles. A cause de riiomogénéité nous pouvons, dans A„ et dans C„, remplacer A, /*, / par

On a alors

ce qui exclut le point h' = A' = /' = o, comme il le fallait.

( A„ : C«) est alors une fonction continue de h', k\ /'. Elle reste donc bornée, puisque chaque variable se meut dans l'intervalle ( — 1, +t).

Donc nous avons

( Rn-i-i : Crt ) ~ o pour

Donc le signe de

est le même que celui de F"(o) lorsque A, /r, /, sont assez petits. J)onc il y a maximum si la forme C„ est négative^ minimum si la forme est positive,

3" F"(o) est semi-définie. Dans ce cas, nous ne pouvons rien

MAXISIA ET MINIMA. 'iT)

conclure parce que le rapport (R«+i : C») peut contenir un terme tel que

Les variables étant indépendantes^ le rapport n'est pas forcément infiniment petit avec A, /r, l (n = 2/i').

Donc, ici, F"<'o) ne donnée plus le signe de la diflerence f{xQ-\- h, . . .) — /{xq, . . .) et l'on ne peut plus conclure.

Exemple : Fonction de deux variables.

àa db

Oa'i ' da

Etudions

AG — B*< <), /i/ maximum ni minimum.

A > o minimum ,

AC — Bî>o ,

A < o maximum,

Pour V = o, on a

AG — B«<o.

on a alors

le signe peut changer : ni maximum ni minimum. Enfin si l'on a

AG - Bî = o

on peut faire la discussion en se servant des développements des racines infiniment petites d'une fonction implicite (*) (Polygone de Newton), pour le cas des fonctions de deux variables.

II. Eztremum lié. — Soit un point P sur une surface S et soit OP la dislance à l'origine.

(') Cours de M. C. Jordan, t. ï, p. 383. — Voir lea Notes de M. G. l»eano, dans le Caicolo diffère nziale de X. Genocchi (i884).

Si nous cherchons Vextremuni de OP, P parcourant la surface, nous avons un extremuni lié.

Le problème général est celui-ci : trouver les extrema de /o (^1 î ^2> • • • ^«)> dans un espace E„, avec les relations

Bien entendu, /i, /2, ..,,fp sont indépendants. En réalité, nous pouvons écrire

Nous sommes dans un espace à n — /? dimensions. Nous avons

Tê.-'-'

ij = i,a, •; — ,p).

De plus, en un rxtremnm, nous avons

Les deux formes linéaires de diflérenlielles ne sont donc pas distinctes, d'où résulte :

dXi ^ ^ dxi

Nous avons donc {n-^p) équations pour [n -\- p) inconnues, de sorte qu'on pourra généralement résoudre le problème.

Réciproque. — Soit un point (j?J, ..., x^^) où les équations précédentes sont satisfaites.

On pourra déterminer les constantes À donnant, en ce point,

^/= C?(Xo/o-+- X,/i4-. . .H- Xp/^) = o.

Nous écartons le cas où Ton aurait il j a indépendance, d'où

D(j7i, . . ., Xp)

(lliéorie du Jacobien),

Ceci ser\ira à déterminer À|, . . ., A;,, en prenant Ao= i. Alors, dans E„, df se réduira à

Nous avons donc, dans Tespace à (/? — p) dimensions : àf . àf ^

Mais ici, les variables sont indépendantes, d*où

iixl^, Ox%

En résumé, la condition nécessaire pour t extremuni s'obtient en posant