III. Applications. — Exemple. — Exlrema de la fonction

IJ = x*y^ . . . 0{a — 27 — ^ — . . .— 0^ a\ a, Ji, ..., X, [JL sont donnés. Posons V = 4^ ; nous pouvons

3o CHAPITRE 11.

remplacer V par V. Ecrivons

àar " '^ X a — x — y

lit t «— a: — j'--...— /

T V t fl — T — Y — ... — f

J/exlreniuni correspond donc aux valeurs

Xo= aa: Ca-î- [i -+-. . .-h ;jL), ....

Soil Vo la valeur correspondante de ^ .

Posons

X = r„-t- \(x — xq)\ y =>'o-r \{y — yo)\

afin d'éludiei' la différence

l^a formule de Taylor donne

A — — i liij^lZljm! h^L^^ — >>'»)' (r -Xa-h,..^'t — (o)n

- 2L ^î "^ rî ""'"' '* (a-x»-. ..-/,)« J

en posant

./-, = .ro-H Xi(./' — JTo). ...,

o<Xi<i.

Le point (toî • • j ^0) donne donc un maximum.

Applicatioas. — Axes cfune section centrale d'une quadrique.

Soient la quadrique

Ax* -f- A'^* -H A" 5* -h X Byz 4- '?. \i'z.r -h >. B'.rj' -h 1 =

e( le plan

Ix -+- m>' - - /i5 = o.

La fonction dont on cherche l'extreinum est /•*= x^-h y^-^ 5*.

UAXIMA KT MIMMA. 3l

Formons la foncllon F =/« H- X/i -i- [jl/î et annulons les dérivées, d'où

jr-hX/ -^ ix(A. x-h \Vy -hW z) = o,

^-t-Xm + |jL(B'j- -4- A'j + B z) = o, 5 -4- X n -f- ;jl( B\r -+- B ^ -H B' 5 ) = o.

Multiplions la première équation par x, la seconde par j^, la troisième |)ar z et ajoutons; il vient

On a alors

^•(1-+- Arï)-4- vB'r* -i-^B'/» -hX/ = o,

a-B'/* -+-^B/* -H 5(i -H A"/»)-*- Xn = o,

équations linéaires et homogènes en x, j-, j et X; l'élimination de ces quantités donne

i-hAr» BV»

BVî I-+-AV»

-+-A'rî

équation du second degré en r^, qui donne les carrés des deux axes de la section.

Axes dune quadrique, — Écrivons l'équation de la quadrique, rapportée à son centre, sous la forme

o étant homogène. Formons la fonction

F = J*' -7- ^* 4- 5* — 5 [ o ( ar, ^, z) — I j .

Annulons les dérivées F^, FL V, ; nous avons une équation en 5, sous forme de déterminant, déjà étudiée (*), dont les racines sont réelles si les coefficients de o sont réels.

On a, par le théorème d'Euler,

(MT. I, p. lo'i.

32 CHAPITRE n.

Soît donc Si une racine de l'équalion en s, correspondant à un axe. Pour 5 = 5/, on a donc

F = Si.

Les racines s/ donnenl les carrés des axes.

Exemple, — La théorie des fonctions entières nous conduira à étudier les extrema de la fonction

(1) G(/-, O) = -^^^^ Kl I - W I -+- /• COS<p H- - COS2? -f-. . .-h •-- cos/?(p ,

u — r c'?, 1 1 — u\^= i-h r- — 2 /• cos ^, Rappelons qu^on a

et posons q = re'?, nous aurons

Le dénominateur est égal à |i — a l**^ et nous pouvons séparer les parties réelles el complexes, d'où les sommes

A = /-cos'f -h r- cusacp -{-...-+• rP cos/?<p, B = /' sino -{- r* sin*;icp h-, . .-f- rP s'inpo.

Or nous avons

-7- = r - --41(1+ /•*— Î/COSO)) — B L

-- =— i- G-r- -—-T - --4l(i-+- r« — 2/coso;h .

rJr /• rP-*-^ l^z Or ^ '^ /• J

D'après le calcul de A et de B, on obtient

(2) =___(sin/?-^iç-rsin/>ç),

(3) -7-= G H i r-lrcosiî© — coso -t- i<p;.

' dr r r\i— u\^ ' * ^ ^^

fiC

Annulons —et alors la formule (3) donnera Textremum de G, que nous écrirons g.

Premier cas : o = 0, l'expression (2) s'annule, et l'on a

Deuxième cas : -^ = t:, (2) s^annule encore et nous avons

( — I )/' I ** />-f-i r-hi

Troisième cas : © ^ Kt: (Rentier). Alors on a

et il en résulte

/• = siup H- I 9 : SI n/?cp,

M = r(cos'i -f-t sino) = i h — : — L-eK/i^-u? ^ sin/7cp

sin/ȍ

Montrons que l'on a constamment l'inégalité (4) sin/?9: sinç-1/9.

Cherchons les extrema dey = sinpx : sinx. Annulonsj^', ce qui donne

" Xo ^ o, nous avons

smpj'o— —

p siiiâ^o

l^our /? >- I , on a

y/i -H p- laiig*a:o ^/cos^x^-h /?* siii-w^'o

cos^j: h- p^ sin'^ > i.

Ceci démontre Finégalilé (4)-

:>." Xo= o. L'inégalité (/{) est encore vérifiée. Cela résulte de ce (|ue l'on a, pour x o^ o,

sina:r f>^ %x.

D'où enfin

gi^

Revenons à «^q, [>our montrer {|u'on a, pour la \aleur r^ correspondante,

(') O. Blumentiial, Fonctions entières, un vol. de la Coll. Borel (Gaulhier- Villars, 1910) el A. Denjoy, Sur ies produits canoniques {Journal de Matfiématiq ues pures et appliffuées^ 1910).

ôG

Traçons la courbe —^ = o, cVsl-à-dire

Pour » = o on a

En ce point, la tangente est \f¥licalc-*clv la courbe* esl située à gauche de la tangente. Les angles o et © -j- t: donnant la même valeur, nous ferons varier o de o à t:.

L'origine est un point multiple d'ordre p dont les tangentes sont

'^ = jrn ^^ = ''-^ />)•

Nous avons (/> — i ) directions asyniptotiques

^ = ^ (i:=,,.,3,...,^rr7).

Considérons seulement la boucle entourant le segment f o, )*

et les quatre régions séparées, autour du point > par la

Fig. X

boucle et par l'axe horizontal, régions désignées par les chiffres 1, II, lïl, IV de la figure ci-dessus.

Région I

do II

/• < — ^ î et ? > o ;

r sin/?9 < sin^-Hiç;

Région II : on a

d'où le résultat conlraire

Donc, dans la boucle enlourant Tel II, -ït* passe du négatif au

positif avec o, on peut avoir un minimum, mais non point un maximum.

Ce sera le contraire, dans les régions III, IV, -r- passera du

négatif au positif quand o passera du positif au négatif. Donc, on ne peut avoir un maximum que pour /•>

Nous avons donc, soit pour ^'o, soit pour ^«, soit |)Our g^^ ' g'^^-^" Ce résultat est capital dans la théorie des fonctions entières.

FONCTIONS SYNECTIQUES. — INTÉGRALE DE CADCHY. MAJORANTES.

I. Fonction synectique. Intégration et dérivation. — La théorie (les fonctions d'une variable complexe (très mal nommée théorie générale dr s fondions) n'a pas besoin d*étre justifiée auprès des analystes, grâce à sa beauté remarquai)ie et à sa simplicité.

Mais ceux qui n'ont en vue que les applications peuvent se demander ce que vient faire la variable imaginaire dans des intégrales, des équations différerilielles réelles, où la solution réelle importe seule?

On trouvera la réponse péremploire dans une conférence de M. Painle\é ('); disons seulement ceci :

Il peut arriver que, pour le calcul d'une intégrale réelle, le chemin d'intégration complexe donne plus de facilité. En outre, c'est grâce à l'intégrale complexe que l'on aperçoit bien la double périodicité des fonctions elliptiques, etc.

Inutile de citer d'autres exemples. Avançons d'abord, et puis la foi viendra, comme disait d'Alembert.

Si, un jour, des méthodes, aujourd'hui insoupçonnées, permettent d'éviter le chemin complexe, d'aller directement du réel au réel, les fonctions synectiques de Cauchy resteront cependant, dans l'histoire de la Science pure, le point de départ d'une évolution d*une importance capitale, et une découverte aussi importante (|ue celle de Leibniz et de Newton. Rien, d'ailleurs, pour rinstant, ne fait pré\oir que la théorie des fonctions synectiques soit sur le point de disparaître pour ressusciter dans une harmonie supérieure et plus riche.

( ' ) Congrès des iiiaihéniaiiciens de 1904 ( Heidelherg).

FONCTIONS SYNKCTIQUES. INTÉGRALE DE CAUCIIY. MAJOIlANTES. Sj

Définition de Cauchy, — Pour obtenir une \l<if('l)re gént'rale, on introduit le symbole / tel que Ton ait

Prenons la variable z=: x -\- iy. Soient deux fonctions continues, réelles, P (^,JK)? Q (-^j ..k), ajantdes dérivées premières continues (nous reviendrons sur ce point); formons la fonction P-f-tQ; prenons la différentielle totale rfP -j- iV/Q, comme pour obtenir la dérivée de/x- Cauchy nomme fonction synectique une fonction P 4- «Q telle que le quotient (rfP-f-«V/Q) : (dx -h idy) soit indépendant du chemin suivi pour arriver au point (jt, y)^ ne dépende que du point (x,y).

Alors (P 4- /Q) aura une dérivée comme les fonctions réelles

dérivables. Or, soit

(a -¥- bx) \{a' -^ b' x)\

pour que cette expression soit indépendante de x, il faut et il suffit que sa dérivée soit identiquement nulle, c'est-à-dire

Appliquons ce résultat à la fraction

d?-\-idi) dx ->r i dy

11 faut que ce quotient ne dé|)ende pas de -~^« Gela donne

ÙV .00 àP .dO ôx dx Oy ày

condition qui se dédouble :

Ox '^ Oy^ Oy ~ Ox

Si ces deux relations sont vérifiées pour tous les points :r, y situés dans une région D du plan, la fonction P-hQ/ aura, dans D, une dérivée par rapport à 3 = »r -hyi] la valeur de celle dérivée s'obtient en faisant dy = o, par exemple; d'où

d ,,, .^ OV .OQ ^.^ dz ^ Ox Ox Ox

38 ruAPiTBB m.

Celle dérivée esl aussi une foncliou de :;, sjneclique. La vérificalion est iinmédiale, d'après (J).

x\insi, d'après Caucliy, P -f- Q* est une fonction sj^neclique de z si les relations (I) sont vérifiées; il en résulte qu'on ne peut choisir arbitrairement ni P ni Q : car en dérivant les idenlités (I) par rapport h y et à x on a immédiatement

c'est-à-dire, A élanl le symbole du Laplacien.

\V = o, aQ = o.

Nous somuies ainsi ramenés au Principe de Dirichlet^ établi précédemment, au moins dans les conlours les plus simples (* ).

On peut se donner les valeurs de V{x^y) sur un contour fermé, la fonction harmonique P est alors définie dans le domaine intérieur. D'après les conditions de synectisme, P élant connu, rfQ esl connu, donc Q est déterminé, à une constante additive près.

Nous voyons donc bien comment on peut construire Aes fonctions synectiques^ définies dans une aire.

Intégrale complexe, — Il esl d'abord entendu que tous les contours plans dont il sera question sont simples (sans point multiple), à moins que le contraire ne soit précisé, et recti- (iables. Par exemple, le contour sera du type N. F. I. ou, plus simplement encore, formé d'un nombre fini de segments sur chacun desquels les dérivées x' (t), y (t) sont continues. Soit un arc de courbe AMB situé dans un domaine d'existence d'une fonction syneclique /(-), dans un domaine D où P et Q ont des dérivées premières continues et satisfaisant aux identités (I).

Procédons comme dans la définition de l'intégrale simple ou curviligne, en décomposant le chemin A.MB en tronçons infiniment petils. On aura

lim S/(2«) A5,i= \\n\y:[V{xn,y,i)-hiQ(:r„,y„}](lXn^i^yn) rrz Ç Pdx -Q(Jy~{-i f Pdy-^Cldx,

( ' ) Tome I et «lernicr Chapitre du Tome II.

FONCTIONS SYNECTIQUES. INTÉGRALE DE CAUCIIY. MAJORANTES. 89

I^es intégrales ont un sens, P et (J étant continus, et le contour étant du type N. F. I.

Théorème de Cauchy. — En vertu des conditions de synectismes cette intégrale, que nous représenterons par

Ç ^ f{z)dz,

ne dépend pas du chemin suivi pour aller de Zq à :;<, si le chemin reste dans un domaine où la /onction est toujours synectique et uniforme.

Vu lieu de dire synectique et uniforme^ nous disons holomorphe.

Parfois, on remplace le mot holomorphe par le mot analytique.

Cette terminologie aurait besoin d'être mieux précisée.

Nous donnerons plus loin la démonstration de M. Goursat.

Voici celle de Riemann (*) •'

Soit C un contour simple, entourant un domaine (C), dans le(|uel fz est holomorphe. Nous avons (t. 1, p. 191) :

Les dérivées étant continues et satisfaisant aux conditions de syneclisme, on a

c étant un contour fermé.

On peut dire, aussi bien, que l'intégrale prise entre deux points Zq et z a. une valeur indépendante du chemin suiin^ pourvu cependant que le chemin reste dans un domaine où le syneclisme a lieu sans aucune exception. Posons

¥{z)= f f(z)dz= f Vdx — qdy-hi f Pdy-^Qdx.

(>) M. C. Jordan donne une très belle démonstration dans fon Cours.

4o CHAPITRE III.

Or, on sait que Ton a

P(:r,7)=^ f Pdx-qdv

etc.

On reconnaît ainsi que F{z) est synectir/ue et a pour dériK'êef[z).

Donc, toutes les déri^^ées de f(z), qui est synectique, existent et sont synectiques et, de même, toutes les intégrales successives sont aussi synectiques.

Nous retrouverons l'équivalent de ceci, par l'emploi des séries, dans le Chapitre suivant.

Nous appliquerons souvent le théorème sur Tintégrale sous la forme suivante : soit un contour simple F qui entoure complètement les contours simples C|, Co, . . .

jNous supposons essentiellement /{z) uni/orme ou monodrome, c'est-à-dire n'ayant qu'une détermination.

Supposons fz holomorphe dans le domaine compris entre les courbes F, C,, Co, ... ( /t.ir. i)- Traçons une coupure x\B, V'IV,

i^'ii;. i.

entre F et C|. Traçons, de même, une coupure reliant F et C^, etc. Nous pouvons alors, sans aucune interruption, parcourir le bord du domaine ainsi limité, dans le sens positif (voir les flèches sur la fîtçure); on a, en vertu du théorème précédent,

Or on a d'où

/^^ f- r+ f ..Af,dz)^o.

• \H • It'A'

FONCTIONS SVNCCTIQL'ES. INTÉGRALE DE CAUCHV. MAJORANTES. U

Celle formule fondamenlale esl obtenue par la considération d'un domaine dont la frontière peut être parcourue d'un trait. Et quand on prend l'intégrale, les coupures artificielles telles que AB, -VB^ donnent un résullat nul, puisque /^ étant uni/orme, a la même valeur^ sur les deux bords, tandis que dz est remplact* par — ds, quand on passe d'un bord à l'aulre.

H. Transcendantes élémentaires. — Dès les cléments, on sait former le carré, le cube, ... de 3. Posons ^ = p (cos cp -H * sin o).

On a

s w = p'rt ( ces //i 9 -h t si n m cp ),

lorsque m est entier.

Nous passerons à des exposants quelconques.

D'abord, remarquons que si l'on calcule

h élant un accroissement complexe, quand | A| tend vers zéro, ce quotient a une limite—» pour | :? | ^ o. Donc la fonction /-=i estsynecti(|ue sauf au points = o.

Parlons de cette remarque et montrons que l'intégrale de/z, suivant un chemin fermé, n'est plus nécessairement nulle si le chemin entoure un point où fz n'est plus synectique. Intégrons la fonction sur un contour fermé entourant Torigine.

Soil il le contour (en pointillé).

Fig. 5.

Comme () est le seul poînt singulier^ c'est-à-dire où le syneclisme cesse d'avoir lieu, on peut remplacer le coniouv fermé C pai

lin autre conloiir/er/?ie, par exemple par un cercle y ayant O pour centre.

L'intégrale ne change en rien, puisque les chemins se transforment l'un dans l'autre par une déformation continue, sans qu'on passe par O.

Or on a, sur y,

z = R(cos9 -4- i sino),

dz = zi d^^

Ceci dit, on peut définir le logarithme Ae (x -H iy), en particulier le logarithme d'un nombre réel négatif.

Logarithme complexe, — L'étude de / -^ \a permettre de

définir le logarithme complexe^ puis les puissances de 5 à exposant complexe^ et les fonctions tri gonomé triques,

La fonction i : z étant synectique dans tout le plan, sauf à l'origine, l'intégrale sera nulle suivant un contour fermé n'entourant pas l'origine. Nous pourrons, de Sq à j, prendre pour chemin :

Fig. 6.

i"un rayon issu de O; 'à'^ un arc de cercle ayant pour rayon |. et O pour centre. Soil

c = p ( cos «p -f- i sin ç ), dz = dp ( cos © -+- / sin 9 ) -r 1 5 <icp ,

d'où

FONCTIONS SYNECTIQUES. INTEGRALE DE CAUCHY. MAJORANTES. 43

Ou appelle logarithme complexe la fonction

(I) £hK*>,

13 n'est défini qu'à iiitz près {n entier); il y a donc une infinilc'^ de logurilhmes de z. Chaque branche de celte transcendante nouvelle est bien séparée des autres si l'on trace, de l'origine à /'mfini^ une coupure que l'on s'interdira de traverser.

Par une coupure artificielle (ainsi nommée parce que le chemin de o à 00 est arbitraire), par une sorte de coup de ciseau, le plan des z est remplacé par un domaine tel que chaque branche du logarithme est définie sans ambiguïté.

Soient deux logarithmes ainsi définis, c'est-à-dire la coupure riant respectée

z = p(coso H- { sinç), Z\ = pi(cos©| -h t sinoi),

£w -+- X^i = £(ppi) -h t(? -i- ?i)- Or, tous les logarithmes de {zz^) sont compris dans la formule £(pp,)-4-/(o i- 9i) -h ■2/2?:* (/lenlior).

Donc la formule du domaine réel

:îL{zz,) = }Lz-^Zz, devient ici

(i) iLn{zzx)-r-inTÛ= £5 -h Jli;ï|,

en désignant |)ar J^o l'une des branches du logarithme de {zzx).

Iinersion, — Posons

£« = 5, M = p(coso -h i sino), z = X -r- ly.

Nous obtenons donc

£p H- t© = or -h «y;

d'où p = c'-^, d'aprrs les éléments, p et ,r étant réels ; cp = >' ; d'où

( J) * /é = e-r(cosçp -+- isino).

I^ar définition nous posons w = ^+0 . Ce symbole n'en l raine pas

.14 CHAPITRE m.

de contradiction puisque, dans les éléments, on obtient, par la série de Tayl.or, la formule

e'? = cosr -H ' sin y.

Mous retrouverons, pour e-, la série de Taylor obtenue dans le 'l'orne I.

Nous remarquons que e-^ est syncctique, quel que soit x réel; que (cosy -i-isuiy) esl synectique, quel que soit^^ réel. Il en résulte que e^ est synectique dans tout le plan. On a, de suite

Donc e^ admet la période 'àtJ^ cY'sl-à-dire f>z— pz^initi (n entier).

Puissances. — Soit m = a-f-JÏ/; on pose, par définition^ Donc

^'«= R(cos<1> -h /sin<1>),

* = P £| ^ -f- a(cp -+- 'xnr.) -f-9. Xt:,

'o étant l'argument de ^, n et N étant entiers. Supposons pj^o, K a une infinité de valeurs. Supposons a irrationnel, 4> a deux

Unités de valeurs, quand // et N varient.

Si ïouJijTC n el M on obtient une des branches de la fonction multiforme 5*" ayant tracé, dans le plan de 5, la coupure o, oc.

Les propriétés fondamentales du domaine réel se compliquent un peu, sansqu^ily ail aucune difficulté. On trouvera, E et E'étanl des entiers, m el m' étant quelconques, réels ou complexes,

( l'indice o indiquant une branche bien séparée);

^/;i ^m' — ( -m-H/M')^ gï7C/{'Mf:-f-m'r:i^

FONCTIONS SYNKCTIOLES. INTÉGRALE DE CACCHY. MAJORANTES. /| J

Dérivées. — Comiiie dans le domaine réel, la dérivée de la fonction inverse est Vim^erse de la dérivée, car on a

Tz lu '=*'

d'où

dz

dz

Si, dans les calculs, on prend une branche bien séparée l^p^? on

pourra écrire

fi dz

(avec la même branche dans les deux membres).

Fonctions trigonométriques, — Le sinus a été développé en série (t. l) par Newton, et en produit infini par Euler (uoir plus loin). La variable étant complexe, nous prenons pour définition les formules déjà rencontrées dans les éléments

('OS5 = , sin5 = : >

sin ^ cosv

tan»:« = » col>5 = -: •

ces -3 sin z

Toutes les formules trigonomélriques étudiées dans les éléments subsistent, bien entendu.

Il faut cependant noter que le module du sinus ne reste plus inférieur ou égal à un (l'oir plus loin).

Immersion, —

La

foi

iiction

arc tang^

est définie

par

= lang//;

d'où

iz :

CÎ'«— I

(.îin^l

46 CHAPITRE m.

Prenons les logarilhnies en séparant une branche de chacun

'xiu = £o(' — -«) — iiof« -»-^> -H a Et:/

La fonction u a une infiiiilé de branches. Lne branche de it est bien séparée par une coupure arlificielle allant de H- i à oc, el une coupure de — ik oo.

Ou bien encore, on peut tracer une seule coupure entourant à la fois -f- i et — /.

Sur la figure, nous dessinons un double lacet, étant entendu qu'un lacet est formé d'une coupure recliligne et d'une circonférence entourant complètement le point critique. Soil, en effel, un chemin fermé aw, respectant cette coupure, ce double lacet.

Ce chemin équivaut à une circulation efl'ectuée autour do -f- i\ qui augmente -Ç^oC^ — ^^ a-it/; en outre, à une circulation autour de — e, qui augmente 4^0 (^ -+- ^^ ^'^'•

A cause des signes, l'effet total est nul.

Dérivons, nous avons

.du

dz

De même, la fonction

du

dz

u = arc sin-s

FONCTIONS SYNECTIQUES. INTÉGRALE DE CAUCIIV. MAJORANTES. 4;

est définie par

pill /» -iu

z =z sinu =

c'" = iz ± y/i — 5*,

I*osons

iu = £{iz dbv/i — ;;*)• Nous avons d'abord les solutions

M = Mo -4- a E TT.

D'ailleurs on a

(£5-4-/» - z^){iz- -y/i — z^) = — i,

d'où les solutions

U = T. Mo H- 9.Et^.

On dérive suivant les règles ordinaires, d'où

La dérivée a les deux points criti(|ues ±: i.

Une branche de la dérivée est séparée des autres si l'on trace une coupure entourant + i et — i.

En elFel, un contour fermé aco, qui respecte la coupure, équivaut à deux circulations, l'une autour de •+- i, l'autre autour de — i. Posons

4^ CIUPITRE lit.

Après la circulalioa nous obtenons

(z — 1)1= Ge'^?+*'«= (z — i)o.

Prenons les racines carrées

Si l'on efi'ecUie un lour complet autour du point -h i, ces deux racines s'échangent.

En effet, la circulation BMB' augmente de itz Targument de {z — i) et de 7î l'argument de y/s — i.

Donc, la valeur de {z — i)* , en B', est égale à la valeur en B, multipliée par e'^= — i . D'où

{z-\)\ en B'=(^-i;f en B.

Dans le cas où l'on envisage la fonction

avec une coupure, formée par deux lacets, par exemple, autour de -r 1 et de — i, l'ensemble de la circulation autour des deux lacets introduit deux fois le facteur ( — i), d'où le résultat 4- i .

Par cette coupure la fonction y/i — ;;- est rendue uniforme.

Par des coupures artificielles^ on rend uniformes les fonctions cilgébriques, qui ont n branches. Telle est l'origine des feuillets de lUemann^ une des plus hautes découvertes du xiv*^ siècle.

III. Généralisations. — Faisons d'abord une remarque. Soit une intégrale complexe

PONCTIONS 8YNECTIQUES. INTBGRiLB DR CAUCHY. MAJOR ANTEvS. 49

Zi Z2>"Z„. .. représenlant une subdivision arbitraire en éléments

indéfiniment décroissants.

On a, en général

d'où

fzdz

Ilim2|/(Ç„)| X corder^,, «„+,).

La courbe est supposée rectifiable, on a donc

lim| Zn^i — Zn\ = h'm corde (^n-5„+i)'v/ ds.

Supposons ly^l^M, M étant un nombre positif borné; on a

donc

fzdz

£M X arc(zoZ).

On emploie souvent ce mode de majoration.

So\i¥ {z) wne primitive de la fonction sjneclique /(^), on aura donc

I F(Z) — F(zo)U W X arc(«oZ),

formule analogue à celle que donnerait, dans le domaine réel^ la formule des accroissements finis.

Faisons encore une remarque. Une fonction sjnectique F = P H- t Q résout un problème de Géométrie, la représentation conforme.

Fig. 10. Fig. II.

.xfc.

Au point >So correspond le point F© et Ton a

X étant le module de la dérivée de F, D'A. - II.

5o GHAPITBE III.

Soient deux triangles infiniment petits qui se correspondent,

abc^ ABC, ayant 5o = a?o4- «JKo et Fo= Po-4- t'Qo pour centres. On

a donc