AB BC GA

ab bc ca vi^w.

Donc les triangles sont semblables^ donc la transformation conserve les angles^ donc on a une carte de plan à plan.

Intégrale complexe généralisée. — On doit, comme dans le domaine réel, essayer de généraliser la définition de l'intégrale.

\^ La fonction a un point critique. — Soit b ce point. Supposons que Ton ait, M étant une constante,

avec, de plus, cette restriction :

Lorsque z tend vers 6, Vargument de z — b reste compris entre deux nombres fixes iùq et (o<. Dans ces conditions, l'intégrale / fzdz a une valeur déterminée indépendante du chemin

suivi.

Bien entendu, nous restons dans un domaine tel que b soit le seul point critique.

Prenons d'abord le chemin rectiligne ab' b et traçons un petit

Fig. 13.

cercle, de rayon r, ayant b pour centre. Soit b\ un point voisin

de 6^ Sur ce chemin, l'intégrale a un sens, car on a

fzdz\f^ o, pour b\ b' ~ o.

il suffit de se reporter à la théorie des intégrales réelles et de tenir compte des conditions (i).

FONCTIONS SYNECTIQtJRS. INTEGRALE DE CAL'CHY. MAJORANTES.

Prenons maintenant le chemin ab^ b. On a

*^/î6' *'al' ^b'b'

Soient tpo et ©i les arguments relatifs à l'arc b^ V , On a

iLH/;^-'

<Mr»-«(9i — <Po).

Ceci tendra vers zéro avec r.

ayant une limite, / aura une limite et la même.

On peut généraliser encore. Si Ton a

gt étant holomorphe et bornée, la restriction relative à V argument de 2 — b est inutile. C'est facile à voir et nous l'admettons (*).

2" La ligne d'intégration s'étend à V infini. — Nous n'insistons pas sur la démonstration :

On ramène au cas précédent en posant 5=1 : (// — 6) et l'on obtient ceci : Supposons

M étant une constante, ou bien supposons

(ï") /.= fi («>!),

gz étant holomorphe et bornée.

Avec la condition (II), si l'argument de z finit par rester compris entre (i>o et a)|, l'intégrale a un sens déterminé, quel que soit le chemin infini. A.vec la condition (III), même résultat sans restriction relative à V argument de 3 à l'infini.

(*) C. Jordan, Cours d'Analyse, t. II.

Extension du théorème de Cauchy, — Nous avons démontré, comme le faisait Riemann, parla formule de Green-Riemann, que V intégrale dune fonction synectique est indépendante du chemin^ pourvu que les chemins se réduisent les uns aux autres par des déformations continues sans jamais rencontrer aucun point où le s^^neclisme cesserait d'avoir lieu.

Le synectisme suppose, d'après notre définition, que les dérivées premières de P et Q satisfont aux identités classiques et sont continues.

Ceci peut être généralisé.

M. Goursat a démontré (*) que l'intégrale de / (z) suivant un contour fermé ne contenant aucun point critique est certainement nulle si la dérivée f (x) existe. Inutile de la supposer continue.

MM. Montel et Lichtenstein (''*) vont encore plus loin. Donnons la démonstration de M. Goursat.

LfiifME I. — Pour tout chemin fermé y on a

I dz = Oy j z dz ^ o.

C'est immédiat. Il suffit de poser

z = X -\- ijTj dz = dx -\- i dy^

et de regarder les intégrales curvilignes réelles.

Lemme II. — Si dans un domaine (C) limité par la courbe fermée C, la fonction f{z) est dérivable^ il existe un nombre p positifs tel que z et Zq étant deux points du domaine dont la distance est moindre que p, on ait

(^) A = A+(^--»o)(/;,-He),

|£| tendant vers zéro avec p.

On démontre ce lemme par l'absurde. Décomposons (C) en portions indéfiniment décroissantes au moyen d'un quadrillé indéfiniment subdivisé. Si la condition ((t) n'avait pas lieu dans un

(') \\. GouiisAT, Cours cV Analysent. Il ( Guiithier-Viilars). (^; Comptes rendus de V Académie des Sciences^ »9>o.

PONCTIONS STNECTIQUEB. INTI^GRALB DB UAUCHY. MAJORANTES. 53

domaine partiel quelconque du domaine (C), on arriverait à ceci : elle n^aurait pas lieu en un certain point Z du domaine, défini par une infinité de contours emboîtés les uns dans les autres. Mais alors, en ce point Z, la dérivée/^ n'existerait pas. On voit la contradiction, donc le lemme est démontré.

Théorème de M, Goursat. — Indiquons rapidement le mode de raisonnement.

Puisque la dérivée existe en tout point Zq du domaine, on a

Ceci a lieu uniformément^ c'est-à-dire que, pour | ^ — 5o|<!p, on a

p et Tj étant /?05//(/i et p ne tendant vers zéro que si yj tend vers zéro.

Alors, on décomposera le domaine en carrés de côtés moindres que p, 7j ayant été (ixé ; il restera des aires irrégulières sur le bord, mais cela ne gène aucunement.

On peut remplacer la circulation autour de C dans le sens positif par toutes les circulations autour des petits carrés et domaines irréguliers. Soit l'un de ces petits contours, Zq un point intérieur. Intégrons la partie linéaire

Cela donnera zéro, d'après le lemme.

11 restera

I tu du.

Or on a

I M I ^ p y/a et \du\ = ds,

ds éiani l'élément du contour; d'où d'où enfin

Nous n'avons qu'à faire tendre p vers zéro pour que r; tende

54 CHAPITBB III.

vers zéro : l'intégrale de contour est déterminée; d'aulre pari, elle peut être rendue infiniment petite : elle est donc nulle.

IV. Formule de Canchy. Séries. — Nous allons obtenir facilement des applications du théorème fondamental sur l'intégrale d'une fonction synectique et uniforme.

Formules de Cauchy. — Soit une fonction uniforme, c'est-àdire ayant une seule détermination et synecticjue, c'est-à-dire ayant une dérivée.

Nous savons qu'on dit alors /« holomorphe. Soit D un domaine à l'intérieur duquel /^ est holomorphe, et soit C un contour simple contenu tout entier dans le domaine.

Fig. i3.

La fonction -^^ n'est plus holomorphe dans le domaine (C),

mais elle est holomorphe si, de ce domaine, on retranche un cercle y ayant a pour centre. La présence de cette singularité a va précisément donner un rôle à /{a). Telle est l'idée de Cauchy. Le théorème fondamental donne

Jr s - a J^z — a

soit, sur la circonférence y,

on aura

z — a = re'? ;

PONCTIONS 8YNBCTIQUES. INTÉGRALK DE CAVCHT. MAJORANTES. 55

Ecrivons donc