XA

l'iolégrale du second membre a pour valeur On a

* 'Ny O pour r 'Ny o,

puisque /« est continue uniformément.

Le premier membre est indépendant de r, donc le second aussi;

d'où

6 = pour r f^ o,

El l'on a la formule de Cauchy^

Si 6 est un point extérieur aw domaine (C), on a, au contraire,

^^ r Az)dz

La fonction /(2) est connue en tous les points intérieurs à un contour quand on connaît sa valeur le long du contour : c'est là une importante propriété des fonctions holomorphes.

Calcul des dérivées. — Partons de la formule de Gauchy et

formons le quotient "^^ j- — — — -y faisons tendre h vers zéro,

on obtient aisément la dérivée

•' ^ ^ 27Ci ./ (^ — a)» '

et par des dérivations successives

fi(a) = r / —^ zdz,

•^ ^ 2Tt« J^ (z — a)^ '

56 GIIAPITRB III.

Il est extrêmement facile de prouver la légitimité de ces dérivations (*).

Remarquons, en outre, ceci :

Nous venons d^oblenir une expression analytique qui représente la fonction fz dans le domaine (C) et qui représente la fonction zéro en dehors de ce domaine.

Distinguons donc toujours bien entre une fonction et les diverses expressions analytiques qu'elle peut adopter, dans les diverses régions du plan de la variable complexe.

Développement en série de Taylor. — Soit un domaine D limité par un contour C, dans lequel la fonction /^ est partout

Fig. 14.

holomorphe (synectique et uniforme). Soit un point a, dans le domaine, et soit F un cercle de centre a et de rayon R^, ce cercle étant tout entier intérieur au domaine. Soit x un point intérieur au cercle F ; on a, si z est sur la circonférence^

Ecrivons donc

(0 = — ^- — } I 4-V l ^~^ \ -hp„

^ z — x z — a] Aà\z —al '(

en posant

{z — ay*-^ {z — X)

C) Notons bien ceci. Cauchy pose l'existence de la coiilinuilé de /^ pour définir le synectisme de /^. M. (iuursat montre que Vexistence de/^ entraine sa continuité dans une aire, lin eiïet, f. est continue puisqu'elle est dérivable.

FONCTIONS 8YNBCTIQUES. INTéCRALE DE CAUCHY. MAJORANTES.

Parlons de l'intégrale de Caucliy,

dz.

Reportons-nous à Texpression des dérivées de la fonction au point a, et nous avons immédiatement

C'est la série de Taylor et elle converge lorsque x est intérieur au cercle F; ce cercle F est intérieur au cercle F^ de centre a, lequel atteint le bord du domaine D.

De ce domaine, nous verrons plus lard /a définition théorique par le prolongement analytique de Weierstrass.

La formule (2) s'obtient immédiatement par les considérations suivantes. Posons

on a

cette intégrale ayant un module moindre que

Série de Laurent» — Vingt ans après les premiers travaux de Cauchy, Laurent a appliqué cette méthode à Fétude d'une fonction synectique dans un domaine!^ sauf en un point isolé b,

Fig. i5.

Traçons, autour du point 6, un cercle F, de rayon R, intérieur au cercle F^ qui atteint le bord du domaine D.

58 CBAPITRB III.

El traçons un cercle y de rayon r, intérieur au cercle F. SI nous traçons enfin un petit cercle ayant x pour centre, par la considération des coupures, nous avons immédiatement :

X élanl intérieur à Vanneau circulaire formé par F et y. Appelons z la variable, sur F ; on a

Nous écrivons donc

— X z — ai ^d\z —a/

Appelons ^ la variable, sur y ; on a

— a? X — a] ^à\x—aj \

d'où

Nous savons donc que les restes p,, donnent zéro dans l'intégration, sur F et sur y; il vient donc

les deux séries convergent dans Vanneau circulaire^ et Ton a

intégrales sur F ou sur y ou sur une circonférence intermédiaire. De là résulteront les notions de pôle, de point singulier essentiel et de résidu,

V. Théorèmes généraux. — Théorème I (Li ou ville). — Considérons une fonction f {z)^ holomorphe dans tout le plan de la variable z\ supposons de plus que son module reste toujours

PONCTIONS STNECTIQVbS. INTEGRALE DE CAUCHT. MAJORANTES. 69

inférieur à une quantité Jixe M, quelque grand que soit \z\. Nous allons montrer que fa fonction doit se réduire à une constante. Nous pouvons, en effet, développer/(z) en série enlière

f(z) = Ao-l-A.,<«-4-...-+- A,„^'»»-4-...,

et cette série sera convergente à rintérieiir d'un cercle C, ayant l'origine pour centre et un rayon arbitraire R. Nous avons

On a d'où

/•.■;i(o) = A,.= i^ f^dz.

|/(^)|<M, ^=idf, h- 1 = 1;

Or R est aussi grand qu'on veut, donc le nombre A^ est nul (sauf pour m =0), et la fonction se réduit à la constante Aq.

Théorème II. — Généralisation. — Supposons f{z) holo^ morphe dans tout le plan j avec la condition

|A|<M puur |^|>R,

M e^ m sont donnés fixes; R est aussi grand qu^on le veut. La fonction se réduit à un polynôme.

En intégrant sur un cercle de rayon R, le centre étant l'origine, nous avons

d'où

Nous pouvons remplacer R par un nombre aussi grand que nous voulons, supérieur à R et l'inégalité subsisterait; d'où

Donc nos conditions entraînent que/, se réduise à un polynôme de degré m.

6o CHAPITRE III.

Remarque. — On a posé

e* = e*'(co8^-h isxny).

C'est une fonction holomorphe^ quels que soient x ely*

Donc, si nous considérons les valeurs de e^ sur un contour fermé quelconque contenant Torigine, nous obtenons la série suivante :

IH h '. h... -h -, h...,

puisque e* a pour dérivée e^ et se réduit à i pour z = o. Nous retrouvons la propriété connue, à savoir que cette série converge absolument, quel que soit \z\.

Nous eussions pu d<?/tw/r e* par la série ci-dessus. Une seule chose est nécessaire : ne pas faire de cercle vicieux.

Revenons à la série de Laurent, qui va nous donner des notions nouvelles.

Pôle et point singulier essentiel : i" Pôle, — Lorsque, dans la double série de Laurent, la série des puissances négatives se réduit à un poljnome, on dit que le point singulier isolé a est un pâle.

Si l'on désigne par le symbole 9 une série de Taylor convergente, on a alors, dans un anneau, un cercle entourant a, le développement

et le pôle est dit pôle d^ordre p.

11 est clair qu'alors on a

Le développement 9^ = -^ com^ergera parce que 9 se réduit

à une constante non nulle pour 2 — a = o. Donc la fonction représenlée par i l 9 est sjnectique au point a.

\insi V inverse de / (z) (ne pas confondre avec la fonction inverse de/) aura, au pointa, une racine ou un zéro d'ordre p.

2" Point singulier essentiel. — Supposons a = o.

Lorsque la série des puissances négatives ^b^z " ne se réduit

PONCTIONS 8YNBCTIQUBS. INTÉGRALE DE CAUCHY. MAJORANTES. 6l

pas à lin polynôme, le point considéré est un point singulier essentiel (•).

La fonction, autour de ce point, prend une valeur arbitraire^ à t près y si Von suit un chemin convenable.

Ce théorème capital de Weierstrass a été démontré 1res simplement ^ar M. Picard.

Soit /^ la fonction et soit zéro le point essentiel. Ce point est aussi un poinl essentiel pour

A étant une constante arbitraire.

En effet, si c'était un pôle pour ç, on auraityo = A..

Si c'était un point régulier où o est synectique, / serait aussi synectique. Si <p(o) = o, le point zéro est un pôle de/g.

Nous pouvons donc écrire, les deux séries étant absolument convergentes dans la couronne qui isole Torigine,

Ecrivons la seconde série, qui converge, quel que soit \u\ : B,uH- B,a*-i- B,a»-h

D'après le théorème de Liouville pour |i/|>>R, le module de la série est supérieur à Mr, ce nombre devenant infini avec R. Donc, pour |2| '^ o, on a

D'où

M. E. Picard a découvert la propriété suivante, bien plus profonde : /

Au voisinage (fun point essentiel^ V équation /:= \ a une infinité de racines. Il peut y avoir exception pour deux valeurs particulières de A ('^).

(^) Wbikrstrass, Académie des Sciences de Berlin^ 187O, Il exisle des singularités essentielles autres que celles définies par le développement de Laurent. Ce sont les points où ni / ni i :/ ne sont holomorphes. Ces singularités peuvent former des lignes, des ensembles denses, etc.

(*) Traité d'Analyse^ t. III.

6l CHAPITRE III.

Nous avons toujours supposé que le poînl, dans le voisinage duquel on Tait Télude de la fonclion, est à distance finie. On considère les valeurs de s d'un module infiniment grund comme formant un point ; on le désigne sons le nom de point de VinjinL II suffit de poser

pour que le point à l'infini dans le plan des z soit ramené à l'origine dans le plan des V.

Les définitions et les théorèmes s'étendent donc sans difficulté au point de l'infini. Celui-ci, par exemple, sera, par définition, un pôle pour la fonction /(^), si la fonction

admet comme pôle le point 2' = o : on aura alors

G(5') étant holomorphe dans le voisinage de 2':=o : donc

/•( 5) = A,„-5"» -h . . . -h Al z -f- G i^-\ ,

Gf -] étant une série entière en -, convergente quand \z\ est suffisamment grand.

Polynômes et fondions rationnelles, — Considérons un polynôme de degré m, nous pouvons le regarder comme une fonction de z ayant, pour toute singularité, le point à l'infini comme pôle d'ordre m. La réciproque est vraie, c'est-à-dire qu'une fonction holomorphe dans tout Je plan, ayant comme seule singularité le point à l'infini supposé pôle d'ordre m, se réduit à un polynôme de degré m. Il est clair, en effet, que, dans ce cas, le rapport

fiz)

reste, à partir d'une certaine valeur de jsj, inférieur à un nombre fixe; par conséquent, d'après ce qui précède, la fonction /(s) doit

FONCTIONS 8YNBCTIQUBS. INTÉGRALE DE CAUGHT. MAJORANTES. 63

se réduire à un polynôme qui devra être nécessairemenl de degré m, puisque le point à l'infini est un point d'ordre m.

Passons à la fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) ; c'est une fonction holomorphe qui n'a dans tout le plan, y compris le point à l'infini, d'autres points singuliers que des pôles. La réciproque est exacte. Soient, en effet, a, 6, ..., / les pôles dey(^), à distance finie.

Soient a, p, ..., \ leurs degrés de multiplicité. Il suffit de former le produit

/(z)(^-a)«...(z-/)^sY(0>

® n'a aucun pôle à distance finie et le point oo n'est pas un point essentiel, donc y est un polynôme et/ est rationnel.

Remarque. — Les notions les plus élémentaires sur les fonctions synectiques nous montrent donc que^ dans lout domaine où le synectisme a lieu, on peut représenter la fonction par une série de Taylor^ convergente dans un cercle intérieur à ce domaine.

Tandis que Cauchy emploie avant tout l'intégrale complexe et que Riemann s'appuie surtout sur le principe de Dirichict et sur l'intégrale curviligne réelle, Weierstrass prend pour point de départ la série de Taylor. Dans le Chapitre suivant, nous nous placerons à ce point de vue.

Remarquons hien que cette propriété de la fonction holomorphe : être développable en série de Taylor^ fait, des fonctions holomorphes, une classe très spéciale de fonctions. Lagrange a bien reconnu le rôle prépondérant des fonctions analytiques, développables en série de Taylor, mais il croyait que toutes les fonctions continues sont analytiques.

C'est inexact. Une fonction réelle, en général, aura une, deux, trois, ..., A: dérivées. Même si elle est indéfiniment dérivable, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit analytique (* ).

Les fonctions analytiques ne forment qu'une petite classe, parmi l'infinité des classes de fonctions, mais elles jouissent de propriétés simples qui les rendent beaucoup plus maniables que les autres fonctions.

( *) Thèse de M. E. Borel {Annaiês de l'École normale super iewe, 1B94).

64 CHAPITHK 111.

Nous aurons Toccasion, pour les fonctions réelles analytiques, de voir des développements autres que le développement taylorien, dont la simplicité évidente n'est pas sans apporter aussi certaines entraves.

VI. Fonctions majorantes. — Fonctions synec tiques de plusieurs variables. — Nous sommes encore dans une grande ignorance, sur ce terrain, malgré de beaux et récents travaux (*).

Nous nous contenterons de faire des remarques absolument élémentaires.

Soit/(«, r) une fonction dérivable; posons

/( u, ç') = P( x,y, z, t) -h i Q(ar,7, z, t), a = a? -h iy, ç = z -\" it.

Les fonctions réelles P et Q satisferont à quatre équations aux dérivées partielles d'ordre un (qu'on peut transformer en quatre équations d'ordre deux).

Inutile d'écrire ces équations, dont on n*a jamais fait usage.

Dans cet Ouvrage, nous supposerons, lorsqu'il sera question d'une fonction svnectique de n variables, qu'elle est donnée par un développement taj'lorien absolument convergent, les variables se mouvant chacune dans un certain cercle.

Nous ne nous occuperons pas de définir les cercles de convergence associés.

Il sera entendu que la fonction est synectique dans le domaine défini par

I a — «0 I â '', \v — sffi\^r\

sans qu'on s'inquiète de savoir si les nombres r, r' sont les plus grands possibles; r et r' ne sont pas des rayons de convergence.

(^) M. H. Poincaré a défini les intégrales multiples des fonctions syoectiqaes à plusieurs variables. La question est liée à des considérations de Géométrie de position, ou Analysis situs, qui, dans l'hyperespace, sont extraordinairement difficiles parce que l'intuition de Tespace ordinaire trompe. D'une façon générale, quand on a plus d'une variable, la complication est grande.

Pour donner une idée de la difficulté de ces questions disons qu'un théorème simple, avec une variable : une fonction mëromorphe est le quotient de deux fonctions entières, n'a pu être étendu par M. Poincaré que par un long et savant Mémoire {Acta mathematica, t. Il ).

La question a élé reprise, plus élémentairement, par M. Cousin.

FONCTIONS 8YNECT1QUE8. INTEGRÀLB DE CAUCHT. IIAJOBANTES. 65

£n précisant ceci, nous obtiendrons les fonctions dites majorantes^ d\in emploi fréquent.

Fonctions majorantes, — Reprenons la formule capitale de Cauchj,

avec toutes les dérivées successives.

Supposons que la courbe C se réduise à un cercle de rayon R ajant l'origine pour centre, et a = o ; on aura, en posant z = Re^',

Soit M le module maximum à^ fi^z) sur le cercle, il vient

Nous en concluons qu'on peut construire une fonction synectique à l'intérieur du cercle de rayon R ayant pour centre l'origine, dont toutes les dérivées soient positives pour s = o et au moins égales, pour chaque valeur de /i, à la limite que nous venons de trouver pour |/f"^ (o)|. H suffit, en effet, de prendre la fonction

Celte fonction est dite fonction majorante.

Nous verrons son rôle dans la féconde théorie nommée calcul des limites de Cauchy.

Passons au cas de n variables et, pour simplifier l'écriture, soit /l = 2.

Soient des cercles C, C|, dans les plans de x et de y^ tels que, dans les aires (C), (C|), bords compris, f{x^y) soit synectique. Soit M le maximum de \f{x, y) \ quand les points x ely se meuvent dans (C) et dans (C|). Soient r et r, les rayons. ' D'A. — II. 5

Soit a un point de (C) et soit a^ un point de (Ci). On a

dx^

Et ceci donne, en dérivant,

dP^^^JU^aÇi ^ \pjq /•) r /(T,xt)dxt )

Le maximum du module de cette dérivée est inférieur ou égal à

rPrl

Soit, par exemple, a = «i = o, soit la fonction

/(x,y)=^:L\,,gXPy7, on a

Formons ia fonction

rPr'(

La fonction G a une forme maniable, de plus, toutes ses dérivées sont positives, à l'origine, et supérieures aux dérivées correspondantes de/, ce qui s'écrit

On dit que G est une majorante de/; en voici une autre

FONCTIONS 8TNECTIQUBS. INTÉGRALE DE CÀUCHY. MAJORANTES. 67

Le coefficient de xPy^ est

puisque nous avons n=zp'^q.

Donc H majore plus encore que G.

Passons au cas de n variables, nous avons, évidemment, sans difficulté, les deux majorantes

el toutes leurs combinaisons, telles que

/ Xx\ ( Xt Xz x„\

Il serait utile de posséder des types nouveaux de majorantes, qui majorent finement, pas trop.

Il nous est, malheureusement, impossible de parler ici sérieusement des fonctions holomorphes de deux variables.

Contentons-nous de donner cet énoncé, dû à M. Dulac (*) :

Une série dont les termes sont des polynômes homogènes, à un nombre quelconque de variables, définit une fonction holomorphe, au voisinage de l'origine, à condition que cette série soit uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs des variables, réelles et voisines de zéro.

On peut même aller plus loin :

Soit S/„(a:, ^), /« étant un polynôme homogène de degré n.

Cette série définit une fonction Y^apqXPyt^ holomorphe pour :r =y = 0, si cette série converge uniformément lorsque x et ^ sont Jes coordonnées d'un arc de courbe réelle, tracée dans le plan xoy^ cette courbe, toutefois, ne pouvant pas se réduire à une droite passant par l'origine.

(») M. DuLAC, Acta mathtmatica, t. XXXI.

FONCTIONS SYNECTIQUES.