PROLONGEMENT ANALYTIQUE

I. Séries. — Rayon de convergence {Cauchy^Hadamard). — Soit une série ^UnZ", soit L la plus grande limite de la suite 6,/= V'^l^z/h '^ rayon de convergence de la série est R= r-» ce qui signifie qu'à Vintérieur du cercle de rayon R, la convergence est absolue et qu'à l'extérieur du cercle, il y a divergence.

En effet, d'après la définition (t. I), soit un nombre positif^ aussi petit que l'on veut, s, qui est donné, il existe un nombre entier N lel que, pour /i >• N, on ait :

1° Tous les termes bn moindres que (L-he);

2° Une infinité de termes supérieurs à (L — s).

Soit donc un point zi intérieur au cercle, ] «i | = -, jy pour

/î > N, on a

prenons e <!.A, ce qui est possible^ puisque e est arbitrairement petit et nous voyons que la série converge comme la série progression.

Prenons, au contraire, un point extérieur :?<-, |w<-| = -r= — ?•

Nous avons une infinité de valeurs de n supérieures à N telles qu'on ait

Prenons, ce qui est possible, e < A, nous avons les termes d'une progression de raison supérieure à un] il y a divergence.

Remarque. — Prenons les séries obtenues en intégrant et en dérivant terme à terme; il est facile de voir qu'elles ont encore R pour rayon de convergence; en effet, anZ^ donne

-;:«-»-» et naa^"-!.

Or ^n tend vers un lorsque n devient infini.

Nous retrouverons le théorème déjà rencontré au début : Toutes les dérwées et toutes les intégrales d'une fonction synectique sont des fonctions synectiques.

R étant le rayon de convergence, dans un cercle de rayon r -< R (circonférence comprise), la série converge absolument et uniformément; elle représente donc une fonction continue.

Ceci est clair, puisque la série est comparable à la série progression

Dans le cercle de rayon r on obtient donc la dérivée et l'intégrale de ffZ=i^anZ'^ en dérivant et en intégrant terme à terme. (Même démonstration que dans le domaine réel.)

Substitution d^une série dans une série. — Soient des séries

S = San/»'-»"-»'"' (/»,/»', . . ., sont entiers > o), z = Z bpp» uP u'p\

Z'= ZCpp'UPu'P\

admettant des cercles de convergence, de rayons respectivement R, r, r. Supposons pour simplifier 5(0, o) = z'(o, o) = o.

Si, dans la première série, nous portons les valeurs de Zy z^ données par les séries écrites, nous obtenons une série

S'^Zd'nn'W^u'»'.

Nous allons montrer que la série S' a un rayon de convergence non nul.

Posons

(nous représentons vaoàann psir ^nn^ etc.) et montrons que la somme v est finie lorsque U, C restent moindres qu'un nombre p non nul.

70 CHAPITRB IV.

Nous avons vu (Chapitre précédent) que, M et m étant supérieurs aux modules maxima des fonctions représentées par les séries, on a

Posons Nous avons

Il est clair que o* est y2/i/, donc que la série S' est absolument convergente, si Ton a

Or nous avons, par le même raisonnement,

UpV'p'

Posons

le nombre p n'est pas nul.

Lorsque V et V sont moindres que p, la série S' converge absolument, c. Q. F. D.

Si l'on emploie l'intégrale de Cauchy, et non la série de Taylor, ce théorème est intuitif. Nous avons voulu comparer les deux points de vue. Chacun a sa valeur.

Isolement des racines d^un élément analytique. — Soit une série de puissances entières, ^{z) aj^ant un rayon de convergence R.

On appelle 9{z) un élément analytique. Supposons que l'ori-

gine soit uq zéro^ c'est-à-dire

$1 a aussi R pour rayon de convergence.

Dans tout cercle de rayon r<;R, d'après la définition de R, la la série 9a converge uniformément, donc représente une fonctio n continue.

Nous pouvons donc déterminer un nombre p, non nul, tel que, pour 1^1 < p, on ait

|«i(0-«i(o)|<|ao|.

Soit A un nombre moindre que r et p. Dans le cercle ayant l'origine pour centre et A pour rayon, il n'existe aucun zéro Ç de $|,

puisqu'on a

«1(0) = ao.

A chaque zéro d'un élément est attaché ainsi un nombre A non nul. Ceci constitue le théorème de V isolement des racines d'un élément; deux zéros sont toujours séparés par un écart fini.

Théorème d'Abel. — Soit une série ao-+-«i-5 + «a^*-4- .. .. Si pour le point Zq on a, quel que soit n,

P étant un nombre fini, la série converge absolument en tout

point z tel qu'on ait

\z\<\zo\.

Il suffît, pour le prouver, d'écrire

et puisqu'on a

\z:zo\ <i,

on a à comparer à la série progression, laquelle converge.

Abel a été plus loin et a montré que si la série Sa,, converge, la série Sa^a?" convergera uniformément dans tout l'intervalle zérO'Un^ y compris le point i .

M. O. Stolz va plus loin encore; suivons son exposé (*).

(*) J. Tannbry, Introduction à la ttiéorie des fonctions^ t. Il, p. 3o4 (Hermaan, 1910).

72 CHAPITRB IV.

S,t a une limite, pour n infini; on a donc

P étant un nombre fini.

Soit un nombre x dont le module X est moindre que un.

D'après le théorème qui précède, la série £ ] S« | X" converge. Il en est de même de SX" et de S| a,, |X«.

On peut donc faire le produit des séries et écrire

(2a„ar«)(2a?«) = SS^ar» (X < i), ou bien, en posant/r = Sa^x",

D'ailleurs on a

(2) |2Sna?»|£P(H-X + X«-i-...)=-j-:^.

D'où il résulte

(3) l/xIS ^ •

Cela posé, construisons la courbe

En coordonnées polaires, avec le point un pour origine, on a

X* = IH- p* — 2 p cos G.

D'où, immédiatement,

(X«— i)p = 2X(XcosO-i),

Prenons X > i et nous avons d'abord une boucle (fig^ i6), puis une partie inutile pour notre objet.

L'angle des tangentes 1 1' est voisin de tc si X est très grand. Montrons que la série fx est uniformément convergente dans l'aire de la boucle dessinée.

En effet, pour j; = i , on a •

/(i) = limS«/ D'où

|/(i)|^P<XP.

El, pour X<:i, on a aussi, d'après (3),

Or, ce que nous venons de prouver pour fx s'étend à la fonction f j., si nous écrivons

«4-1 Au lieu du nombre P, nous aurons un nombre e (qui tend vers

zéro avec — )•

Dans la boucle dessinée, nous aurons pour la série un reste dont le module sera moindre que Xe.

Soit donc z^ un point sur le cercle de conçergeace où f{x) converge. En posant z^^^z^u^ nous avons une fonction G(i/) qui converge au point un sur son cercle de convergence. Dans toute boucle, déterminée par X>' i, nous savons donc que la fonction G (m) est continue.

Le théorème d'Abel-Slolz peut s'énoncer ainsi : Si la série Saw-ff" converge au point Zq du cercle de convergence^ f{z) tend vers/(.So) lorsque z tend vers z^ par un chemin

74 CHAPITEB IV.

non tangent au cercle de convergence. Il est, d'ailleurs, bien évident qu'une série ne peut converger en tous les points de son cercle de convergence.

H. Produits infinis. — Il est indispensable, pour aller plus loin, d'introduire les produits infinis à termes complexes, ce qui, d'ailleurs, n'amène aucune notion nouvelle.

Soit

Le produit P« = u^,u2 u^ a pour module pi . p2 p«-

Donc la condition nécessaire et suffisante pour que P^ tende vers zéro, pour n infini, est que la série S-Cp» diverge et ait la valeur — oo.

Supposons maintenant que P/i ait, pour n infini, une limite finie non nulle, on aura

(I) 2:41p« = CR»

(II) £«n=* (àaKirprès).

On reconnaît donc la condition nécessaire de convergence suivante : p„ tend vers w/i, a^ tend vers zéro (pour n infini), ou encore : a« tend vers un, bn tend vers zéro.

Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que le produit soit absolument convergent et ait une valeur non nulle est que la série S | «/i — 1 1 converge.

D'abord, la convergence de la série et la convergence du produit exigent ces conditions

lima„ = i, lim6,, = o, limp,i = i.

Dans ces conditions, le développement en série^ ou la formule de Cauchy (accroissements finis), donne

lim jL£L=i, lim^ = i,

, = ,opJ— I bn

de sorte que les séries (1) et (II) convergent absolument en même temps que les séries

2(0' — I) et Zbn.

8BBIBS DE PUISSANCES ENTIÈRES ET PRODUITS INFINIS. yS

On peut aussi bien prendre les séries

Uan—i) et l,bn,

car pi = al 4- bl et («n-h i) tend vers deux. La combinaison des deux séries donne

2(an-f-«6«— i)=1:(m»— I).

Si cette série converge absolument, le produit convergera absolument (en module).

Montrons qu'on pourra, à son gré, modifier Tordre des termes.

Nous nous appuierons sur ce lemme, très facile a prouver : soient a, b, c, ..., / des nombres quelconques^ soient A, B, C, . . ., L /e5 modules j on a

soil donc le produit rangé dans un premier ordre; P =Pmr,H=^ lim />,«.

Dans un autre ordre, posons

^' = Pm'rm'= lim />„,'.

Si nous prenons m' assez grand, />/»' contient tous les facteurs de p„,j d'où

Pm'==^Pm Pm'i

Om ne contient pas tous les facteurs de rm- Soit

Nous avons donc

|p//l| <eAm4i+A„+,-h....

Or, puisque la convergence est absolue^ on a

lim p,„=i.

D'où D'où

\imp,n' = lim/?/«, P' = P.

76 CHAPITEB IV.

III. Théorèmes de IVeierstrass et de M. Mittag-Leffler. — Théorème de Weierstrass sur les séries uniformément con^^ergentes de fonctions holomorphes. — Soit C un contour simple et soit (C ) Tensemble des points intérieurs, le bord étant compris. Soit x un point du domaine (C). On suppose u„(x) holomorphe et la série Xun{x) uniformément convergente.

Étudions la somme

Soit un point intérieur^ ^ue je supposerai être le point 5eVo. Traçons un cercle F ayant ce point pour centre, et tout entier intérieur au contour C; soit Rie rayon.

Nous savons d'abord qu'à l'intérieur de F et sur le bord, Un{z) est développable en série de Taylor

(0 Un(z) = ao/i+ a,„^ -4- a,„-a«-j-. . . ( | ^ | < R).

Soit X un point fixe dans Vintérieur de F; nous pouvons écrire, grâce à la convergence uniforme qui subsiste sur F,

el nous pouvons inlégrer le long de F, terme à terme (même démonstration que pour les fonctions réelles). D'où

Jr/{z)dz ^ run(z)dz . y^ . . • j-, ^

Renversons alors le raisonnement par lequel on obtient la série de Taylor; écrivons donc

Et nous concluons que f{x) est développable en série de Taylor j donc holomorphe, d'après ce qui précède (formule de Cauchy-Hadamard) el qu'on a

(3) ^i./Ho)=[n£^dz.

Maînlenant écrivons, comme nous pouvons le faire,

/(£) ^Y Ml)

La relation (4) prouve que la série ^^cinp converge et que sa

somme est le coefficient de x" dans le développement taylorien def{x). D'où le théorème :

En tout point intérieur à C, f{x) est holomorphe et ses dérivées s'obtiennent en dérivant terme à terme la série (*).

Application, — Soient des fonctions holomorphes Un (^); soit une série positive convergente Sa,,, et soit un produit infini.

Nous supposons |M«(5)|<a„.

Donc Sa» est absolument et uniformément convergente.

Donc, N étant un nombre fini, nous avons, quel que soit z dans (C),

Etudions le produit 1 1 au lieu du produit donné, ce qui ne

change rien dans la conclusion cherchée.

La série

(5) Z[i -+- axH.i(z)] -+- £[i -+- aN^,(^)] n-. . .

convergera absolument et uniformément.

Il suffit, pour le voir, de former la série convergente

-xL-^l'^nll

(*) Thèse de M. Paiolevé^ Annales de la Fac, des Se, de Toulouse, 1887.

78 CHAPITBB IV.

d'après le développemeut connu

La somme de la série (5) est donc, d'après le théorème précédent, une fonction holomorphe H(s), et l'on a

JJri+ii„] = ^"i=).

D'où ce théorème :

Le produit infini représente une fonction holomorphe dans toute aire où la série Suj, converge absolument et uniformément.

Théorème de Weierstrass. — On peut construire une fonction entière dont les zéros sont donnés. — Gauchy avait entrevu le résultat auquel Weierstrass est arrivé par ses profondes conceptions. Après le théorème de Weierstrass est venu le théorème analogue de M. Mittag-Leffler; nous nous placerons immédiatement au point de vue de M. Mittag-Leffler (* ).

D'abord observons que les racines (ou : zéros) étant en nombre infini dans le plan et isolées, le module de la n^^^^ racine doit devenir infini avec /i; sinon on aurait au moins un point limite, dans le plan, autour duquel seraient agglomérées des racines en nombre infini. Ceci contredirait le théorème de Visolement.

I® Nous supposerons la série ^j — -, convergente et les zéros simples.

L'inégalité

montre immédiatement que la série ^^ r est convergente,

donc qu'elle représente une fonction svnectique clans tout le plan, sauf aux points ai, as, .. ., a„, ... (|a« |5|a;,+||).

(*) Hkrmite, Cours lithographie^ i* éd'ii'ionf iftgi. On appelle /o/ic/ion entière une fonction holomorphe dans tout le plan.

Soit /"(a:) une fonction entière du type cherché, on a

f(z) = (z--an)F(z), D'où

f{z) z-aa F(z)'

Par suite la fonction

f(^z) Adz — an

est synectiqne dans tout le plan; nous la représenterons par G' (5), Gz désignant une fonction entière arbitraire, mais nulle à Torigine.

Par intégration on obtient de suite

Et nous pouvons encore, d'après la théorie des produits infinis, écrire ceci :

2° Passons au cas où la série

ne converge pas.

Le facteur primaire de Weierstrass. — Weierslrass remplace le facteur f i — ~] par ( 1 — — je'*»^*^ P,, désignant un polynôme.

De cette manière, il n'introduit aucun zéro et il assure la convergence du produit infini. Ecrivons l'identité

h Pa,(5) = -71 y

avec

Faisons, avec Weierslrass, co = n — i; la série dont le terme

8o CHAPITaS IV.

^^^ "Z '" '^w(^) converge absolument. En effet, nous

avons

lim /l u„ I = lim

d'après la loi de distribution des zéros.

Cela posé, le raisonnement se poursuit comme précédemment. La fonction

est entière. Nous la représentons par G' (z). Soit posé

et nous obtenons enfin

Nous avons supposé les racines différentes de zéro; si ce point est racine d'ordre n il suffit d'ajouter le facteur z".

Si la racine Um est d'ordre n et non d'ordre ww, comme la démonstration le suppose, il suffit de répéter n fois le facteur primaire

On vérifiera immédiatement ceci : si la série 7 — ! — converse.

[ji étant un entier, on pourra prendre pour co non plus la valeur [n — 1) variable, mais une valeur fixe ^ la même pour tous les zéros,

Cette remarque a de l'importance dans la théorie des fonctions entières,

A cause de la convergence absolue et uniforme de

jLàaf^{z-a„)

SÉRIES DE PUISSANCES ENTIERES ET PRODUITS INFINIS. 8l

dans tout domaine excluant les points a/,, on voit que fz a pour zéros les points arbitraires donnés (isolés) et pas d* autres.

Théorème DE M. Mittag-Leffler. — Décomposition des fonctions rationnelles. — Nous venons de trouver la généralisation delà décomposition des polynômes entiers; nous allons obtenir une extension de la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, ou plutôt nous obtiendrons ceci comme un cas particulier.

Considérons une fonction, synectique dans tout le plan, sauf en des points isolés «i, a^t ..., ««, ..., \an |S|«/*+i|.

Soit une fonction arbitraire entière G,,, formons G^T— - — V

// existe une fonction fz^ holomorphe sauf aux points Oay

ayant G^f — ^^3 — ) pour série de puissances négatives, dans le

développement de Laurent, au voisinage du point a„.

Soit Cn un cercle ayant l'origine pour centre, et de rayon | a,^ |. Soit o<;6<;i. Considérons le cercle C'„, concentrique, et de

rayon 8|a«|. Dans ce cercle , Gnf— - — j est holomorphe, donc

nous pouvons développer en série de Taylor absolument et uniformément convergente :

^n( ^^ ) = ««0-^a«l^-t- OLnt^*-^' "-^ OLnpZP-h Pp= ^n{^) -^

et prenant assez de termes, le module du reste sera moindre que le terme d'une série convergente

Soit r un cercle de rayon R, ayant l'origine pour centre, soient ai, ..., a^i les points de module < R : 6. Posons :

fli^)'^^(Gn-Pn\

fi{z) converge absolument et uniformément dans (F), car on aura

d ou

Dçnc /a (5) est holomorphe dans (F). Donc la dillerence /«— 2(G« — P„) est synectique dans tout le plan; donc nous avons

Telle est Texpression générale, contenant la fonction entière arbitraire gz.

En particulier, soît une fonction rationnelle, quotient de deux polynômes; par la division nous obtenons une fonction dont le degré du numérateur est moindre que celui du dénominateur : la nouvelle fonction est nulle à Tinfini.

Soit une racine du dénominateur, a d'ordre m. D'après ce qui précède, nous obtenons, relativement à ce point, le développement

Nous obtenons donc la décomposition, connue dès les éléments, par les théorèmes généraux sur la divisibilité des polynômes; nous voyons que cette décomposition est unique et si les coefficients sont tous réels, les racines étant imaginaires-conjuguées, on retombe sur la décomposition élémentaire.

Remarque, — Une conséquence remarquable déduite par Weierstrass est relative à la forme d'une îoncXion f {z) uniforme dans tout le plan et n'ajant à distance fînie que des pôles (*).

On peut, en effet, former une fonction entière G (5) ayant pour racines les pôles de /( 5) et avec le même degré de multiplicité; le produit

(^) Une fooction uniforme n'ayant d'autres singularités que des pôles, dans un domaine borné ou dans tout le plan, est dite méromorphe. Certains auteurs n'emploient pas cette expression quand le domaine est borné.

SÉRIES DE PUISSANCES ENTIERES ET PRODtJ INFINIS. 83

sera alors une fonction entière H(^), d'où

f{z) peut donc se mettre sous la forme d^un quotient de deux fonctions entières. On remarquera que les fonctions G et H n'ont pas de racines communes, car les racines de G(^) donnent au produit /(<3)G {z) des valeurs finies et différentes de zéro.

IV. Prolongement analytique. — On a cru, autrefois, qu'une fonction ou une expression analytique sont deux choses identiques : par expression analytique, nous entendons une expression quelconque de calculs à effectuer, quadrature, somme de série, produit infini, etc.

Mais il faut, au contraire, distinguer ces deux choses; nous savons bien, par exemple, que l'intégrale de Cauchy peut représenter une fonction synectique à l'intérieur d'un contour et zéro dans tout le domaine extérieur.

De plus, il résulte des idées émises par Weierstrass que, pour les fonctions analytiques, il est un domaine dexistence en dehors duquel la fonction n'a plus aucun sens. Voici ce que cela signifie, en deux mots.

Démontrons d'abord une proposition capitale.

Théorème. — Soit une fonction synectique dans V intérieur d'un contour continu fermé; les zéros de la fonction intérieurs au domaine sont isolés.

Nous avons déjà établi ce théorème pour un élément analytique^ c'est-à-dire pour une série de puissances entières dans son cercle de convergence. Supposons donc un point a dans le domaine, limite d'une suite de points ai, a^, . . . pour lesquels/(^) est nul.

(*) Le prolongement par cheminement ^ dont nous allons parler, a été défini simultanément par Weierstrass et par M. Méray. La notion de domaine d*exi$» tence manquait à Caucliy; qui s'en étonnerait? Au contraire, Weierstrass a vu clairement que cette notion est inhérente à la notion de fonction analytique. Nous ne traçons qu'un schéma parce qu'il faudrait parler àtè Ensembles, parce que la Uiéorie est loin d'être avancée, et parce qu'on pourrait en dire long sans aucùii profit.

84 CHAPITRB IV.

Joignons le pointa à un autre point b intérieur au domaine par une ligne polygonale intérieure et qui, par suite, reste constamment à une distance de la frontière supérieure à un nombre positif h.

Marquons sur le chemin L des points intermédiaires a, ai, ^2, ••• dont l'écart soit toujours moindre que A. Avec chacun de ces points pris pour centre, traçons un cercle de rayon A; nous avons dans chaque cercle un développement taylorien pour la fonction donnée.

Prenons le premier développement relatif à a

Supposons les coefficients /(a). . . non tous nuls^ alors les racines du développement (i) doivent être isolées, mais le point a étant un point limite de zéros, tous les coefficients du développement (i) sont nuls. Donc /(«) est nul sur Tare aai ; mais ai est donc aussi un point limite de zéros; on voit la suite du raisonnement, la fonction est nulle dans tout le domaine si elle s'annule en des points non isolés (*).

Soient donc deux contours fermés c, C{, se coupant mutuellement en deux points.

Soient deux fonctions synectiques/, /i, respectivement définies dans les deux domaines. Si dans Taire commune l'égalité /(s) ==/*!(-) a lieu en des points non isolés, l'ensemble des deux fonctions définit une fonction synectique unique dans le domaine total, car f — fi étant synectique et ayant des zéros non isolés, est identiquement nul.

Cette remarque donne la clé du prolongement analytique. Nous partons d'un élément analytique donné

convergent à l'intérieur du cercle de convergence de rayon Ro- Soit un point ai intérieur à ce cercle, remplaçons z par

(*) Cours d* Analyse de C.Jordan, t. I.

SÉRIES DE PUISSANCES ENTlàRES ET PRODUITS INFINIS. 58

et la série 9{z) nous donne une nouvelle série de puissances

«i(^-ai).

Par l'intégrale de Cauchy nous savons que le rayon R| du cercle de convergence de cette série est au moins égal à la distance du point ai au premier cercle.

Supposons que le rayon R| surpasse celle dislance, la fonclion esl prolongée dans la région du second cercle extérieure au premier cercle. Prenons de même un point a^ dans ce second cercle et nous passerons de la série en (2 — ai) à une série en (^ — a^). 11 peut arriver que nous sortions ainsi du second cercle, etc.

Le domaine de la fonclion est Tensemble des points du plan que nous atteignons par ce cheminement; la frontière du domaine est un lieu de points au voisinage desquels les rayons de convergence des séries représentant la fonction tendent vers zéro. Cette frontière est nommée coupure nalurelle (par opposition à : coupure artificielle).

Il est clair que, le chemin se fermanl sur lui-même, si Ton ne revient pas avec la même valeur numérique, on a contourné un point critique. Et ces considérations montrent intuitivement que le cercle de convergence a au moins un point critique sur sa circonférence.

Ce qui a surpris davantage, c'est ce résultat que le domaine de la fonclion est souvent le cercle de convergence. Au delà il n'y a plus rien, à moins de nouvelles conventions sur le prolongement qui ne paraissent pas naturelles ni intéressantes. . Reprenons tout ceci, en nous servant, parallèlement, de l'intégrale de Cauchy et de l'élément analytique de Weierstrass; l'exclusivisme logique, qui tendrait à l'usage d'un instrument unique, donnerait lieu à des longueurs déplorables. Mieux vaut, dans la Science, le mode esthétique, qui cherche l'élégance et la brièveté, que le mode logique pur, très philosophique, mais pesant !

Nous avons donc un cercle de convergence, de rayon Rq, puis un rayon de convergence R| et, si le second cercle est tangent au premier, nous ne pouvons prolonger, en partant de l'élément analytique donné. Sinon, nous obtenons un prolongement. Montrons que nous obtenons bien une fonclion holomorphe dans l'aire

formée par les aires intérieures aux deux cercles. M. Painlevé a, en effet, démontré ce théorème :

Soit une/onction holomorphe^ définie dans une aire S : f{z) ; soit une autre fonction holomorphe^ gi.^\ définie dans une aire ï; si les aires SetT ont un bord commun AB (fig^ 17)

et si, sur AB, tes fonctions f et g prennent la même valeur, ces deux fonctions définissent /^/i6 fonction holomorphe unique F (3), dans Paire formée par C ensemble des deux aires:

Posons donc

F s/ dans S, F = ^ dans T.

Traçons deux contours fermés, ABNA dans S et AMBA dans T, et soient w et i' deux points situés respectivement à l'intérieur des contours. On a^ d'après les théorèmes de Gauchy (Chapitre précédent),

(I) 27ct/(a)=r -^dz,

(.) o=r ^dz^

(3) ^iT.g{ç)=f- -^dz,

(4) 0=/ ^rf.,

De plus on a, d'après les hypothèses,

(5) a= f (f,-gz)dz.

Les formules ci-dessus donnent immédiatement

pour a = a OU a = r. c. q. f. d.

On pourrait généraliser le théorème, car la formule (5) peut subsister dans ces conditions différentes.

Déduisons un corollaire. Soit une fonction holomorphe, définie du côté C de la ligne AB et soit une autre fonction holomorphe, définie du côté G et prenant sur la frontière commune AB les mêmes valeurs, cette fonction est le prolongement de la première ; les deux constituent une fonction holomorphe unique.

En particulier, si nous Vivons f(z) =: constante sur AB, /{z) étant définie du côté C, nous pouvons prendre g{z) = constante (la même) du côté C, et cela montre que Ton a

f(z)z= const. dans S.

Nous retrauvons le théorème sur Tisolement des racines d'une fonction synectique et uniforme.

Revenons à la figure qui représente le prolongement par cheminement de Weierstrass et Méraj; dans l'aire commune aux deux cercles, les éléments 9(z) et 9i(z — ai) ont même valeur, en un même point.

Nous pouvons donc former un arc AB, pour appliquer le théorème de M. Painlevé, en prenant pour aire S une aire intérieure au premier cercle, où P(z) converge absolument et uniformément, et en prenant pour aire T une aire intérieure au second cercle; nous avons bien une fonction holomorphe unique dans l'intérieur des deux cercles.

Et ceci montre intuitivement qnUl existe un point singulier ^ au moins^ sur le cercle de convergence^

En effet, si tous les points du cercle de convergence étaient des points ordinaires, réguliers, en chacun de ces points nous aurions

88 CIIAPITBB IV.

un rayon de convergence non nul et le minimum de ces rayons serait un nombre r> o.

L'inlégrale de Cauchy montre alors que Télément 9{z) aurait lin rayon de convergence supérieur à Ro, ce qui est contradictoire.

Jusqu4ci, on n'a jamais prolongé aucun élémentparce procédé. C'est pourquoi nons n'insistons pas (*).

Dus prolongements ou extensions ont été effectués par d'autres moyens, par exemple en passant d'une série à une intégrale ( fonction. 2^/a de Riemann),

Signalons enfin Vétoile de M. Mittag-Lejfler. M. Hadamard nous a appris à trouver leà points critiques sur le cercle de conver- ^^ence. Le procède n'est guère réalisable pratiquement, mais a une grande valeur théorique (^).

A partir de chaque point critique en delà fonction^ traçons une ligne La allant à l'infini.

Dans le domaine formé par le plan tout entier, à l'exclusion des lignes L„ (c'est Vétoile)^ la fonction est représenlable par une série de polynômes.

Ce théorème de M. Mitlag-Lefder (*) est de haule importance, mais il ne faut point dissimuler que les théories précédentes attendent encore des applications détaillées et sont, pour ainsi dire, noyées dans une trop grande généralité.

Ce ihéorème a suscité un mouvement intéressant vers les séries de polynômes, à variable complexe ou réelle (*).

Indiquons seulement quelques résultats.

Par un changement de variable, on aura R = i .

Soit donc donné un élément analytique

9{z) = ao-+-«i3-H«2-5'-+- ...-+-rtrt^n -+■••.,

(•) C. Jordan, Cours d'Analyse. — A. Fouet, Leçons sur les fonctions analytiques, — E. BoREL, Leçons sur la théorie des fonctions, — J. Hadamard, La série de Taylor ( Collection Scientia),

(^) Thèse dt M, Hadamard {Journal de Afathém. pures et appliquées, 189a).

Ne pouvant citer tous les travaux, renvoyons, pour la Bibliographie, à quelques Mémoires tout récents : P. Dienes, Essai sur les singularités des fonctions analytiques {Journal des Mathématiques pures et appliquées, 1909). — Paul et Valérie Dienes, Nouvelles recherches {Annales de l'École AormalCy 191 1).

(■) E. Picard, Traité d* Analyse ^K, II.

(*) Collection Borel, Livres de M. Borel {Variables réelles) et de M. Montel ( Variables complexes).

la plus grande limite de y/| a^ \ étanl i. Si les coefficients an sont pris arbitrairement, le prolongement est en général impossible.

M. Fabry avait énoncé ce résultat comme probable en donnant des exemples. M. Borel a précisé l'énoncé et considéré des séries où chaque coefficient a,, est choisi indépendamment des autres; il prouve alors que la circonférence de convergence est, en général, une coupure. M. Fabrjradonné de ce théorème une démonstration qui s'étend à des cas plus généraux. Mais ces démonstrations sont théoriques et n4ndiquent pas comment on peut former de pareilles séries. 11 peut paraître étonnant, comme Ta fait remarquer M. Picard, que Ton ait eu tant de peine à former des séries ajant leur cercle de convergence comme coupure, alors que Ton peut considérer ce cas comme le plus général.

Weierstrass avait indiqué la série Hb" z"" où a est entier.

M. Fredholm avait indiqué la série Sa"^"'.

M. Hadamard a montré quUl en est de même pour la série à lacunes Sa/|2^« lorsque ^""^'"" " ne tend pas vers o, et M. Borel

dans le cas plus général où ^""^IZ " ne tend pas vers o. M. Fabry

a étendu ce théorème au cas où Ci^t — Cn augmente indéfiniment pour des suites particulières, pourvu que ^Oa tende vers i.

Si la plupart des séries connues peuvent se prolonger, c'est que Ton prend pour a,, une fonction simple de /i; M. Fabry a montré que, si cette fonction On est régulière pour les valeurs réelles de /i, la série n'a qu'un point singulier sur la circonférence, et l'on ne se trouve plus dans le cas général défini par M. Borel.

M. Fabry a formé des fonctions ayant des points singuliers arbitraires, et, en particulier! ayant pour coupure une portion déterminée de la circonférence de convergence.

MM. Lerch, Tannery, etc. ont aussi formé des exemples simples de séries ayant pour coupure leur cercle de convergence.

On peut regarder la solution, donnée par Fredholm, de l'équation intégrale (*)

comme un prolongement analytique.

(>) Tome I, Chapitres IX et X.

Posons, comme le faisait Cari Neumann, dans un problème fonda.mental,

©(5) = 90(0 -+- >^f i(«) -H>^* ?î(*) -i-. . .; on aura

dt

(nous ne notons plus les limites a, b). Avec les noyaux itérés^ définis ainsi

Kis K, K„(5, ==jKn-i(s, r) K(r, /) dr,

on obtient

Onis)=jKn{S,t)^{t)dL

Posons donc

on aura

^(s) = ^(s)-^\jKa,s,i)^(t)dt,

On démontre facilement que la résolvante R est représentée par une série convergente au voisinage du point j^= o, si K et 6 sont bornés et intégra blés.

La résolvante de Fredholm est le prolongement analytique de la fonction R, trouvée ici.

V. Étude élémentaire d'mie série sur son cercle de conTergence. -^ L'élude d'une série de puissances entières de la variable complexe, sur le cercle de convergence, supposé fini, est un problème d'une grande difficulté.

Nous nous proposons, ici, de faire cette étude, d'une manière très simple, pour deux cas classiques ; la méthode s'étendrait probablement à quelques autres cas.

I** Étude de ^(i — z) (4^ désigne le logarithme complexe). — Nous établirons, très simplement, que la série converge en tous les points du cercle de convergence, sauf au point un.

De rîntégrale de Cauchy on déduit, nous le savons, la formule

aiir/u= a*it(/o-h "/(?-+- T^fl

(//' désigne la dérivée d'ordre /)).

Étudions ce reste^ avec le contour suivant :

C est un contour tel que, dans Taire (C), bord compris, fz soit sjnectique ; u est un point intérieur au domaine (G).

Étudions le reste p^,.

Supposons la partie réelle de u inférieure ou égale à wn, nous prenons pour contour :

I" Un cercle de centre O et de rayon R, que nous ferons croître indéfiniment plus tard ; 2® Un cercle de centre i et de rayon /•, qui tendra vers zéro; 3° Une coupure suivant Taxe réel de -j- i à + oo.

Fig. 18.

Le reste contient donc trois termes ; on voit immédiatement que

les deux premiers tendent vers zéro avec r et^«

En effet, pourjz | = R, le module de l'intégrale p^ est de l'ordre de(4lR):R/H-i.

Ceci tend vers zéro avec -5 •

Pour I ^ — 1 1 = /% le module de l'intégrale p^, est de l'ordre de /"^r, ce qui tend vers zéro avec /•.

Il reste à étudier l'intégrale de long de la coupure.

Sur un bord, le logarithme est l'^ logarithme ordinaire, réel, que nous représenterons par 4^o(^ — >); sur l'autre bord, le logarithme est ^Q.{x — i) -h 2 « 7î, si le petit cercle a été parcouru dans le sens positif.

Donc, en somme, p^ se réduit à

d'où