II-" l
dx
XP^^{X^ u)
On a, d'ailleurs, x étant sur la coupure,
la:— tt|>|i —
|iF— tt|§|l — W|,
' dx Nous avons enfin
avec l'inégalité
ip;.i<^|-
I — a lïp+ï
Prenons, sur le cercle de convergence, le cercle de rayon 1//1, un point u autre que le point -h i .
On a
donc le reste devient nul si p devient infini. Mais si le point u, pris sur le cercle, tend vers un point un, il est clair que le reste, pour j9 infini, n'est pas nul. c. q. f. d.
2" Étude de{i — z)"^ {m est réel). — Le point critique est le même, nous prenons donc exactement le même contour d'intégration.
D'ailleurs, tandis qu'une circulation autour du point un y dans le sens positif, augmentait le logarithme de 2<:c, ici la même cir-
SÉRIES OB PUISSANCES ENTIÈRES ET PRODUITS INFINIS. gS
ciilation multiplie la fonction par é»^'^"*. Étudions le reste :
La discussion est un peu plus délicate.
Étudions d'abord Tintégrale sur le grand cercle : en prenant p assez grand, il est clair qu'elle devient nulle avec tt-
Considérons le petit cercle : posons
|^-i| = r, r étant très petit. Le module a une expression de la forme
Ir^^K'X"^-
Le point II étant différent du point un^ ceci nous donne, lorsque r tend vers zéro :
Pour m -h I > o, zéro ;
Pour m + I = o, un nombre fini;
Pour m + I < o, l'infini.
Considérons enfin l'intégrale suivant les deux bords de la coupure : nous avons un facteur e**"*^' — i , nul pour m entier, puis une intégrale réelle de la forme
<^ — >"'rfr.
I* Supposons m positif, on a une expression de la forme
dx I
/^devenant infini^ cela tend vers zéro.
2° Supposons
Le point un est un point singulier pour la fonction sous le signe, mais l'intégrale reste déterminée.
Il est facile de voir que cette intégrale tend vers zéro quand p devient infini.
3° Supposons
id m.
Alors Pinu'grale, quel que soit/>, est infinie.
Kn résumé, le long de la coupure, nous avons, pour m > — i, ^1 en mejoranl le module, une expression de la forme
uf*^^
hp tendant vers zéro pour/? infini.
Au contraire, pour m 5 — i? nous aurions un terme infini. Le &oul point du cercle de convergence, pour lequel cette
métiiode ne donne aucun résultat, est le point un^ à cause delà
présence, au dénominateur, du facteur | i — {/ 1.
Mais, en ce point, nous avons à étudier une série réelle^el Ton
a ce résultat :
m positif, série réelle convergente au point i//i; m négatif, série réelle divergente au point i//i (•).
Donc, en considérant seulement le cas où m est réel (le seul que Ton rencontre pratiquement), nous avons obtenu facilement le théorème connu (^) :
ni > o, série convergente en tous les points du cercle de convergence;
mS^ — i, série divergente en tous les points du cercle;
o^ my> — I , série convergente en tous les points du cercle de convergence, sauf au point un,
VK Étude d'une série définie par itération. — Depuis longtemps on i^iiit calculer, par itération, une racine x de l'équation
su voisinage d^un point où l'on a On pose
(^) R. d'Aiïhkmar, Nouv, Ann. de Mathématiques , igio.
et Zn converge régulièrement vers une limite qui est la racine x. Soit cpz une fonction holomorphe dans un domaine. Posons
Un point x est dit une racine d'indice un si Ton a
a? = ?i(a?), xjéf^{x).
Théorème I. — Les points limites à convergence régulière qui sont non singuliers pour y, sont des racines d'indice un et tels qu'on ait certainement
En effet, nous pouvons écrire
et les oLp tendent vers zéro pour p infini, puisque la convergence est régulière.
D'ailleurs, cp^ est holomorphe, d'où
^p+t(z) = ^[^p(z)] = o{x -h ap),
Puisque nous avons x = ©a-? il vient
11 est impossible que l'on ait |cp^|^i, car alors aL„ ne tendrait pas vers zéro pour n infini. c. q. f. d.
Théorème II. — Soit x une racine d^indice un^ il existe un cercle ayant x pour centre tel que^ en partant d*un point quelconque^ à f intérieur du cercle, l'itération conduise constamment au point x.
Autour de x, pris pour centre, il existe un domaine circulaire.
9^ CUAFITHE IV.
de rayon R, dans lequel Og est holomorphe; soit (R) ce domaine. Posons
?c-- 9^— (« — ar)<pi= (-S — ar)« ^{x, z).
La fonction *^g est holomorphe dans (R), comme o,. Soit, dans ce domaine, M un nombre supérieur à | «{/^ | .
Soit
^- — Sf— '
on a
Soit r le plus petit des nombres R, IV.
Dans le domaine (/), nous avons
d'où
Zi — X
Donc, quel que soit ^, Za tend vers x pour n infini, puisque q'' tend vers zéro pour o < y < i •
Application, — Soit une série
^{z)=^UnZn.
Les Un sont définis par l'itération
Uo= u, a, = <p(w), a,= (p(a,), avec la racine d'indice un, u = o. On a donc
avec |a I < I.
Nous allons obtenir le rayon de convergence de F (s) et tous les pôles de cette fonction (*). En efi'et, pour n infini, on a, d'après le théorème qui précède : «/, nu o.
(*) P. ¥kTo\}^ Annales de V École Normale^ 1910.
SÉRIES DE PUISSANCES ENTIERES ET PRODUITS INFlNtS« ^7
Or d'où
— — — f>^ et.
Un
Donc, le rayon de convergence de F est i : |a j.
Multiplions F par (i — clz)\ si ce produit est une fonction ayant un rayon de convergence plus grand que le précédent, nous sommes certains que le point i : a est un pAle simple. C'est ce qui arrive. En effet
F-(i — a^) = aoH-(Mi — aao)^ -H. . .-^{Un — aUn-\)z'^-\-
Formons le quotient
Un— aUn-^i Wj,(l-i-...)
Ceci suppose bjéo^ mais si 6 = 0, la forme du résultat est la même.
On a donc, pour n infini
u„^i — aun l Un V «
Un — aUn~\ \Un-i/
Donc, F| ^(1 — az)F a pour rayon de convergence
D'une façon générale, la fonction
F„H-i = (i— a<3)(i — aî5)...(i-a'»^)F a pour rayon de convergence
Les pôles de F sont donc
ou certains points parmi ceux-ci (si 6 = o; etc.).
De plus, le produit n(i — ci"z), converge absolument, d'où
Gz désignant une fonction entière.
FOxNCTIONS SYNECTIQUES. APPLICATIONS DIVERSES.
Les applications sont innombrables. Nous donnerons quelques types intéressants et utiles, et d'abord la doctrine fondamentale des résidus.
I. Résidus. — Soit une fonction fz^ holomorphe, sauf en des points isolés^ a, 6,
Autour de Tun d'eux, a, nous avons vu (Chap. précédent) que/^ est développablc en une doul>le série (Laurent)
^Kniz — ay^
convergeant absolument dans un anneau entourant a.
Intégrons /g le long d'un cercle C^. ayant a pour centre eLinlé-
rieur à cette couronne circulaire.
Le terme A|(s — ût)~* donnera
A i e / do = i.TriA-i,
comme on l'a vu.
Tous les autres termes donneront zéro.
En efi'et, n{z — a)" a pour primitive (z — a)""*"'. Or celte puissance, à exposant entier, reprend la même valeur quand on a fait un tour autour du point a.
/ /z^^ = 'lÎTzX-
