FONCTIONS SYNECTIQUBS. APPLICATIONS DIVERSES

A cause de ce rôle spécial, le coefficient A| est nommé résidu.

Soient B|, ... les résidus en 6, . . .

Soit K un contour fermé simple entourant les points critiques isolés a, 6, On a ce théorème fondamental (Cauchy),

2llï(A i-h B i-4-.. .),

U intégrale d^ane fonction qui est holomorphe^ dans un domaine^ sauf en des points isolés, est égale au produit de 2 7r« par la somme des résidus intérieurs au contour d^ intégration.

Désignons la somme des résidus, dans (K) par C^ et le théorème des résidus s'écrit ainsi

^jA')d>=lJi^).

Les points singuliers sont isolés, donc en nombre borné tant que le contour K est borné.

Remarque, — On calcule les résidus en faisant les développements. Posons z — a^= h et soit

- Ao-H Al A -h AiA*-h. . .

/i/'(Bo-»-B,/i -^-BJ/i»^-...) Posons

Ao-f-A,A4-A,A«-4-...s[Bo-+-B,/i-t-B8A»-4-...][Xo4-X,A-+-X,;i«-*-...l,

on a

Ao = BqXq,

A|= BoXi-r B,Xq,

A,= BoX,-+-BiX,-hB,Xo,

11 faut calculer X^| pour avoir le résidu.

Remarquons, en outre, que la théorie de Cauchy prouve, a priori, la convergence des séries obtenues.

Soit, par exemple,

= jîo-+- ^xZ -h Pî-s*-

SI la série £ ^n ^'' converge absolument, ao n'étant pas nul, la fonction i :Sa/i 3" est synectique, donc la série S ^«-5" convergera absolument dans un certain cercle ayant son centre à Torigine.

Résidu a l'ikfini. — On étudie le point infini en posant zX^^=\, Soit une circonférence F dont Je rayon R devient infini, soit

z = Rg'* un point de F, le point- = Ç = re'? parcourt un petit

cercle y, en sens contraire, car on a

Il y a compensation des signes et Ton a

Pour avoir l'intégrale suivant F, nommée résidu à Finfini, nous n'avons qu'à calculer le résidu à l'origine pour la fonction

lAzY

Résidu intégral. — Soit une fonction méromorphe dans tout le plan, n'ayant pour singularités (isolées) que des pôles.

Représentons par F /(^) la somme des résidus dans l'aire C.

Prenons pour le contour de G successivement des circonférences C,„ de rayon R„, évitant les pôles, R;, croissant indéfiniment avec /t, on a

Théorème. — Sillon a

(i) \\m Zn /(£„) = A

uniformément pour o^'f $271, il en résulte

(2) lim r /(^) = A.