FONCTIONS SYNBCTIQUES. APPLICATIONS DIVERSES. ICI

Cette limite est le résidu intégral de Cauchy que l'on représente par le symbole Cfz

Le théorème subsiste si la condition (i) est vérifiée sauf seulement pour/> valeurs de ç et si, en ces points, Znf{zn) conserve un module fini^ quel que soit n.

Prenons le premier cas. Nous avons, d'après (i),

^^/(^)-A = J^j'''[z,/(z«)-A]rfcp.

Pour /i^N, le module de la fonction sous le signe est moindre que e et e tend vers zéro avec \\ n. En passant à la limite pour n infini, on a (2).

Prenons le second cas :

M est fixe, quel que soit /i.

o,, ..., Op sont les points ou la relation (i) est en défaut. Isolons ces points par des arcs de longueur ii\.

Dans la portion du cercle qui reste, la relation (i) a lieu. Reportons-nous à (3). Cette portion donne, pour /i^N, un terme de l'ordre de e, en module.

D'ailleurs, les arcs isolés donnent, dans (3), un nombre moindre que — 2j97j(M-h |A]). Nous pouvons faire tendre r[ vers zéro et ceci tend aussi vers zéro, p étant borné. Donc, on a encore (3).

II. Décomposition d'une fonction méromorphe. — Nous allons faire une application remarquable de la doctrine des résidus. Si les cercles C» peuvent être choisis tels que l'on ait

|/(«/.)|<P, lim/(3,) = B,

la convergence étant uniforme, sauf en p points, quel que soit x^ on aura

|-4=/(,„)|<P, lim^^/(*„) = B.

or, ceci met en évidence fx comme résidu^ pour 5 = ^, de 73-^»

Appliquons Je théorème précédent, le signe X' indiquant la

somme des résidus correspondant à tous les pôles de /i, nous avons

Soit un cas particulier (* ) :

fz est une fonction impaire^ et Ton a

Jim = o,

n=oo ^/i

la convergence étant uniforme pour o^ç^air.

Etudions le résidu intégral de Cauchy

Le premier terme reste impair; donc^ son intégi^ale eslnulle. Et d'après les hypothèses, Tintégrale du second terme tend vers zéro avec un.

Nous avons donc ici