C- js^x

Exemple, — TzcotT: 5. Montrons que nous pouvons appliquer ce

qui précède. D'abord la fonction est impaire, puis on a- ^ ^^o.

Pour la fonction cot 5, nous prendrons des rayons R„ évitant les pôles, et nous aurons alors \fz\ <C M, M étant un nombre borné assignable lorsque chaque pôle a été entouré par un cercle de rayon iixe, assez petit pour isoler un seul pôle. On a, en effet,

COt-3 = l

;2fS

Étudions l'expression :

Soit P le domaine obtenu en retranchant du plan tout entier

(■) Voir, Ernst LindelOf, Le Calcul des Résidus ( Gaulhier-Villars, igoS), Collection Borel.

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FONCTIONS SYNECTIQUES. APPLICATIONS DIVERSES. lo3

les aires de cercles, de rayon A arbitrairement petit, ayant pour centres les pôles 2 Et:/ (E est un entier).

Soit z = X -\- l'y ei soit a un nombre positif quelconque. Dans le domaine P- :

Pour ar > a, on a

Pour X <i — a, on a

Pour — n<x^ a, la fonction est périodique et son module a un maximum fîni.

Il suffira de prendre, pour M, la plus grande des trois limites supérieures ainsi obtenues.

Les pôles sont o, ±: i, dz 2, ±3, ..., chaque résidu est -h i.

On obtient facilement les formules

cotj: = h 7 ( 1 )

X ^^ \a7 — /ITT mzj

(/i = o élant exclus dans la sommation)

sin:r = xl t (i j e«^.

— ao

Signalons un autre produit infini très intéressant (*) relatif à la fonction ^amma : Formule de Weierstrass

m. Intégrale logarithmique de Cauchy. — Nous allons étudier une intégrale importante, relative aux fonctions méromorphes.

Soit K un contour à rintérieur duquel /^ est méromorphe et ©, est synectique. Formons l'intégrale

L=-^. f^z-^dz.

(*) Voir mes Exercices et Leçons d'Analyse (Gaulhier-Viliars).

lOJ CIUPITRB V.

i* Le poînl a étant un point non singulier pour/-, la fonction 4 ^=: Y'jC^X régulière en ce point.

a" Soit 3t un zéro de/*-, on a, autour de ce point,

/; = (-5 — a)'"! Ao-H A, (5 — a) -4-. . .], /* __ m A|H- ■.îA,<'« — a) -H. . .

fz^z — ^ Ao-l-Ai(5 — «)-+-...

Le second lerrae est syoectinue ; nous avons donc, pour i, en t\ uti pôle avec le résidu

car o est partout synectique.

.ï" Soit ]5i un />(î/e de fz^ on trouve, de la même façon, que ^ est un pél*'^ [ïour 'j>, avec le résidu

Nous avons donc

L = 5:^(aj — So(p).

cliâque zéro ou chaque pôle étant compté m fois s'il est d'ordre m.

Appi.icatïow : THÉORÈME PE d'Alembert. — Si 0(2)= I, on ftura la formule

M ëlanl le nombrt^ des zéros de/(c), N celui des pôles, intérieurs à K, chacun d'eux étant compté avec son ordre de multiplicité.

Prenons pour f(z) le polynôme Aq z" -\- A| 5"~* -f- . . ., et pour contour Y une circonférence de centre O et de rayon très grand R. On auTH le nombre des racines de/(3), puisque le polynôme n'a pas de pôles

= - — : / — T^ dz = : / (/i-+- rj — ,

Tft teodatil ver^i z/^ro si le contour Iv devient un cercle de ravon infini.