FONCTIONS SYNKCTIQUES. APPLICATIONS DIVERSES. I

On a donc

v/ tendant vers zéro quand R croît indéfiniment.

On voit que M est un nombre entier, aussi voisin que l'on veut

de 7î, d'où

C'est le théorème de d'Alemberi,

Poursuivons ceci. Soit a une racine d'ordre /> de P^, soit G un cercle de centre a, ne contenant aucune autre racine. On a donc, sur G,

I Pz I > H > o.

Faisons varier infiniment peu les coefficients Ao, A|, ..., le quotient P'^ : P^ variera infiniment peu et il en sera de même de l'intéerale

Gomme sa valeur est un nombre entier, cette valeur est encore p. Donc, par une variation infiniment petite des coefficients^ à une racine a d'ordre p correspondent/? racines a^a^, >* -<, ctp, voisines de a.

Tel est le théorème de la continuité des racines.

L'intégrale logarithmique de Gauchy peut servir à calculer des fonctions symétriques.

Soit l'équation

n étant un entier positif. Soit S;, la somme des puissances d'ordre/? des racines, on a

r sera un cercle de rayon assez grand pour que toutes les racines soient à l'intérieur.

Nous avons à calculer un résidu à l'infini.

Nous avons ici

Pour j9<n, nous obtenons zéro et pour p = E (E est un entier); pour ces seules valeurs, nous avons un résidu non nul.

IV. Exercices. 1** Polynômes de Legendre. — On peut élablir plusieurs propriétés en partant de la relation, facile à établir,

i-, /rir:

ffx

Formons le développement

•e (2) ' =l^y^nX,(x).

Prouvons que X„ ^aY «/i polynôme de. degré n. Pour le prouver, montrons que Ton a

Jim = A

jr=M •«

(théorème de Liou ville).

Remplaçons a par a : jr, puis faisons croître x indéfmiment. La formule (a) devient

On a donc

= lim r