FONCTIONS SYNEGTIQUKS. APPLICATIONS DIVERSES

ici, annulons le radical

a = a; zh yjx^- — i .

i*^ Supposons X réel et ]:c| > i, on a deux racines réelles :

ai = â? — ^x^ — I , «j = ar H- yjx^ — i .

Donc, le cercle de convergence a l'origine pour centre et, pour

rayon R,

R<|a,|, Rg|a,|.

2® Supposons X réel et ]x | < i, alors ai et aj sont complexes

et ont pour module urin

Dans ce cas, on a

Il est clair que R, dans tous les cas, est la distance à Torigine du point critique le plus voisin de ladite origine.

Le résultat ne serait pas facile à obtenir par l'étude directe de la série.

2® Une intégrale d'Euler. — Nous allons déduire deux résultats utiles de l'intégration de la fonction

Nous prendrons pour contour la portion CA de Taxe des :r, le

Fig. 19.

demi-cercle ABC, de rayon R et deux demi-cercles, bb^^ aa^^ de

rayon r isolant les points critiques — 1 et o.

On a

'^^ CH4PITRB V.

Donc rinlégrale suivant ABC, étant de Tordre de R""», s'annule quand R devient infini.

Nous prenons la détermination de z" qui est réelle et positive surOA, bien entendu.

Sur le demi-cercle 66,, on a

z -hi = re'^ d'où, pouV l'intégrale, l'expression

e tendant vers zéro avec r ; cela donne donc

J, = — i'ite(rt-i)«/He', e' tendant vers zéro avec r.

Sur Cb et 6, a, on a

ayant posé | j |r= Z, ce qui donne les intégrales suivantes, en prenant Z pour variable d'intégration.

Sur le demi-cercle aa, , l'intégrale est de l'ordre de r'% donc elle s'annulera avec r.

D'autre part, nous savons que l'intégrale

a-»-» dx

est déterminée.

Nous sommes donc certains que J2 a une limite K pour r=:o, et R = X , et nous écrirons

Celte intégrale est un élément analytique nouveau.