FONCTIONS SYNECTIQUES. APPLICATIONS DIVERSES. I

R est ce qu'on appelle, avec Cauchj, une valeur principale d'intégrale (*).

Séparant le réel de rimaginaire, on a, de suite,

K=TC col/lit, J = -:

sm/i'ir

i*^ Exercice. — De la formule

\-^x sin/117

on déduit

* C"* dx TZ

e*-hi sinmr

^nz

Intégrer la fonction suivant un rectangle de base 2 R et de

hauteur b

Tr<6< 3it.

e^"^ dx , , ««"'ï*

Faire tendre R vers l'infini, on aura

Poser

6 = 2Tr — c (— ir <c<'j:),

on aura

r^* e^^ dx e^"g

D'où enfin

Il est clair que cette expression analytique du sinus n'est plus valable si n sort de l'intervalle (0,1).

4° Intégrale de Fresnel. — On intègre la fonction g-*' le long du contour OABO formé par l'axe réel, de O en A (OA = R, par

(») Si l'on prenait f -^ f e et ti étant infiniment petits, indépendants,

on ne trouverait pas une limite déterminée, pour e ~ o et r^^o. C'est pourquoi on emploie le terme spécial de valeur principale.

la bissectrice jK = ^, de O en B (OB = R) et par un arc de cercle AB, de centre O, dont le rayon R croîtra indéfiniment. On sait que l'on a

^R lim / C--

On montre que, sur l'arc AB, l'intégrale tend vers zéro si R devient infini. Pour cela, décomposons AB en deux parties, AC, CB.

est de l'ordre de grandeur de Re

est de l'ordre de ffrandeur de -zr—- — (i — g-R'coaw\ ^ étant

l'angle COA.

11 reste finalement

f cos(j?')rf^= / sin(:r*) t/a? = — -= 5" Problème. — Posons

Fs = eJ H- e-J, A -t- B^-HG>s*-t- D^3

Déterminer les constantes A, B, C, D, E, de telle sorte que F. soit uniforme dans tout le plan ?

Fonctions périodiques. — Nous savons que la fonctions- admet la période iizi

Donc la fonction e '^ admet la période 2 co.

Soit GA la période 2 w et soient L, U deux droites parallèles à 0\ ; nous supposons la fonction /(5) dépourvue de points critiques et holomorphe dans la bande comprise entre L et L'. Soient c, ^0 deux points sur L, on peut écrire

Z Zo= 2 0)^

Lorsque z parcourt toute la droite, la variable réelle t varie de