FONCTIONS SYNECTIQIKS. APPLICATIONS DIVERSES. III

— X à -h X . Posons

IZi— (0 o

e <^= M, ou 5= — :XM.

Lorsque z — Zq varie de o à i , la variable u fait une fois le tour d'un cercle ayant son centre à l'origine et lorsque z — Zo prend

Fig. ao.

loules les valeurs possibles, sur b, u reste constamment sur ce cercle. Deux points tels que z et 3-}-2E(o correspondent au même point u

Donc, la variable z restant dans la bande, la variable u reste dans un anneau circulaire ayant son centre à l'origine ei/(z), considérée comme fonction de u reste holomorphe dans cet anneau.

Fig. 21.

On peut donc appliquer le développement de Laurent (Chapitre précédent), et Ton a

— ao — oe

lia CHAPITRE V. ^^

y étant un cercle de rayon r compris entre R et R', limil< ^ ■ — prises. ^*—

Au cercle y correspond une droite A parallèle à OA; sdîl p— ^ vecteur égal à OA, sur A, on a ..^

ai'îiA,

dz.

Portant cette valeur (2) dans l'expression (1), on obtitî ^.-psérie de Fourier pour une fonction holomorphe. f^

Dans le domaine réel, la question est autre, puisqu'on nif ^^^^ /x simplement continu, ou même discontinu, sans admettre T j^ tence des dérivées. f^

V. Solution d'un problème fonctionnel. Nombres de Bcrndv^^ — Considérons la fonction

Pour |j7|<2 7t, elle est développable en série de ïaylor; vons :