IL

Les nombres B^ sont les nombres de Bernoulli ; montrons * sont rationnels et que les nombres d'indice impair sont nu!-. B| = Ce dernier point résulte immédiatement de vc »j

fonction

ne change pas lorsque x est remplacé par — a: ; on a, en eire

Maintenant^ écrivons symboliquement (en mettant deux p thèses)

Formons le produit e^-^ ((e^)), e^^ n'étant pas symbolique. Cela nous donne

Goo iS

fil !

FONCTIONS SYNECTIQUES. APPLICATIONS DIVERSES. Il3

«olisme par rapport à B et non par rapport à a. , écrivons l'égalité ordinaire

|:>ons les deux niem!)res par rapport aux puissances *<=> efficients sont identiques pour les mêmes puissances il ne se présente aucune difficulté si, dans les deux :>w:m. remplace X" par B„.

iJt "vons donc écrire

i^ nls des mêmes puissances de x sont identiques, d'où

B-hi — B = i.

^^ ombres bernoulliens sont rationnels ; on a

B^ = — — -, Bc = 7-1

j \ l'^^s DE Bernoulli. — Ce sont les fonctions de ;; définies I ïopi

ppement

= ^ -I- X o, ( 5) -4- a:» (pî(.5) -h . . . -H x« ç„(5) -H . . . ,

i^ent valable pour | a;- ( << 2 tî.

jome de Bernoulli est, par définition, ou bien Çn (2)? ou

Vjui précède, écrivons

-ike^n)-

((e.B + -).r eB.r))

Il4 CHAPITRE V.

Nous avons bien un polynôme lié aux nombres bernoulliens. Supposons z entier ; on a (progression géométrique),

É?*— I D'où

[^çp„(s) = 4>„(z) =I'»-|-2'*H-3'»-4-...H-(-« — I)».

Il est immédiat que ^n{z) est nul pour z = o et z=i. Formons la dérivée

Ecrivons alors

Et nous avons

(p;,(^) = cp«.,(^)+^.

Cette relation est très simple. Rappelons que B« = et que

Ba^^i ^ o.

Les polj^nomes bernoulliens se mettent sous forme d'intégrale définie (voir, à ce sujet, Hermite, Journal de C relie, t. LXXIX).

INTÉGRALE FINIE. — Abel uovàmdxl Intégrale finie d'une fonction Gz une fonction F^ telle que Ton ait

Prenons des fonctions G (5) entières.

M. Guichard a résolu le problème à l'aide des intégrales à coupure de Hermite. M. Hurwitz a donné une autre méthode qui sera une belle application des intégrales complexes.

Soit

soit ^«(3) le polynôme de Bernoulli, si la série

converge, il est clair qu'elle fournit une solution ; mais, en général, elle ne convergera pas. On peut concevoir la possibilité de

FONCTIONS SYNBCTIQUBS. APPLICATIONS DIVERSES. Il5

former une série convergente dont le terme sera

îùn ayant la période un. Et alors, le problème serait résolu. Précisément, M. Hurwitz obtient ce résultat avec une parfaite élé« gance (Acta Mathematica^ t. XX).

Partons de la fonction définissant les polynômes de BernouUi

On suppose | j:| < ait. Soit un petit contour, y, sur le plan des a?, entourant l'origine ; on a évidemment]

Soit, au contraire, un grand contour Cr contenant les pôles o, ±211/, . . ., zt 2riî£ de la fonction f. Posons

Nous avons, par le théorème des résidus,

pr/i représente la somme des résidus.

Pour

x = ihTzi (A entier^©), on a le résidu

Doù

9nr-\n 2^ ^-j—^—^.

Cherchons une majorante de | ^nr{z) |.

Prenons pour contour C^ un carré ayant son centre à l'origine et ajant 2 L pour côté :

L = (ar H- 1)71.

Posons x = Ly^ alors la variable y parcourt un carré ayant

Il6 CHAPITRE V. — FONCTIONS SYNECTIQCE8. APPLICATIONS DIVERSES.

l'origine pour centre, el dont le côlé est 2, soit D^

'"' iT^iJ^^ e^y—i (L^r-^

Soit A le domaine de z dans son plan. A étant donné, on a

Pest borné quand A est borné, y parcourant le bord Au carré D^. On prendra P> 1 , ce qui est possible, d'où

I I- - jj

y étant sur le bord Ae D^, c est-à-dire avant l'une des quatre valeurs D'où enfin

Formons donc, comme nous l'avons dit, avec la fonction entière Gz et les fonctions Wqo. ^'h , • . . ^nn ... la fonction

F-= ao^'oo(-; -f- «i^'ii(^} -^. . .-4- a» Vnni'S) -+-. . . .

C'est bien une fonction entière; en effet, nous avons

avec

lim y/'\an \ = o,

et

Il en résulte que Ton a

lim ybn= o.

Donc, ¥z converge uniformément dans tout domaine borné A; c'est une fonction entière, d'après le théorème de Weierstrass

LA METHODE DES MAJORANTES (CALCUL DES LIMITES DE CAUCHY). DÉVELOPPEMENTS NOUVEAUX DES FONCTIONS RÉELLES.

Nous allons étudier une idée capitale, due à Cauchy, mais bien mal nommée par lui. Nous avons déjà la limite^ la plus grande limite. Abandonnons donc la désignation de Cauchy : calcul des limites, ei employons le terme méthode des majo^ rantes. Nous ferons ensuite, avec M. Serge Bernstein, une tentative d'élargissement.