I. Équations différentielles. — On donne Téquation

La fonction /(^, y) est holomorphe dans le voisinage de Xq et ro- On pe.ui supposer, en faisant un changement de variables

La fonction y (j7, y) sera donc holomorphe par rapport à ^ et à ^' quand J7 et V seront respectivement à l'intérieur des cercles C et G' ayant leur centre à l'origine des :r et à l'origine des j' et sur les circonférences elles-mêmes. Nous appelons M une majorante du module de la fonction f dans ce domaine. Soient a et 6 les rayons de nos cercles.

Si l'équation ( i ) admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de a? = o et s'annulant pour celte valeur de la variable, on pourra obtenir, au moyen de l'équation différentielle, les valeurs

des dérivées successives -^, -7-^, • ••> pourx= o. Il suffit de différentier l'équation (i), d'abord une fois, pour avoir ^-^> et de

Il8 CHAPITRE VI.

substituer dans le second membre a? = o, y=^o\ en difFérentiant une nouvelle fois, on aura -r^ et ainsi de suite. Nous pourrons donc écrire le développement /or/ne/

Nous disons formel, parce que nous ne savons pas si la série converge.

Voilà tout le principe du calcul des limites de Cauchy : i** formation du développement ybr/?èe/; 2** preuve de la corn^ergence, par l'emploi de fonctions majorantes.

A l'équation (i), adjoignons l'équation de comparaison

G étant une majorante de la fonction/.

Imaginons que nous fassions, pour (2), comme pour (i), le calcul des dérivées successives

(5^).' (rfjr).' (i-).' ••"

et que nous écrivions la série formelle

Si la série (S2) converge absolument, il en sera de même de la série (S<). En effet, les coefficients des puissances de x sont obtenus parles mêmes calculs, additions et multiplications^ et, au point de départ, on a des modules plus grands pour le développement (S2); donc, par la suite, les modules des termes analogues restent constamment plus grands pour le développement (S2) que pour le développement (S< ).

Mais notre majorante G a une expression simple, de sorte que nous pouvons obtenir immédiatement Y sans faire le développement taylorien; ceci est essentiel.

Écrivons l'équation