LA METHODE DES MAJORANTES. II

SOUS la forme

V b/dx"

D'où

Nous prendrons la détermination du logarithme s'annulant pour a: = o, détermination holomorphe dans le cercle de rayon a. Comme Y s'annule pour j; = o, on devra avoir

: — MalogM— ^j,

en donnant au radical la détermination -h i pour x = o.

La fonction Y, ainsi définie, satisfait à Téquation (2); elle s'annule pour X = o, elle est holomorphe à l'intérieur d'un cercle ayant l'origine pour centre, et un rayon p tel que la fonction placée sous le radical s'annule; soit

cela donne

La méthode s'étend à n équations du premier ordre, en prenant une fonction majorante unique pour les n seconds membres.

On aura pour p une expression analogue, mais le nombre 2 sera remplacé par n -h i dans le dénominateur de l'exposant de e.

Nous avons donc démontré^ pour un système holomorphe^ Inexistence d'une solution holomorphe , les valeurs y {xo)^ z{xo)', ' . . étant arbitraires (voir le Tome I, p. 297).

Application aux équations linéaires. — Prenons une équation différentielle linéaire d'ordre n ou bien un système de n équations du premier ordre, l'application de la méthode des majorantes nous donnera un théorème fondamental. Pour simplifier le dis-

cours, prenons /i = 2.

Nous supposons les six. fonctions A, B, C, A|, B,, C| liolo morphes à Torigine; soit R le plus petit des six rajons de convergence de ces fonctions de x.

Nous cherchons une solution holomorplie passant par l'origine. Par les dérivations successives, on obtient immédiatement les développements tajioriens dey et z. Il faut prouver la convergence. Pour cela, soit a un rayon moindre que R, nous prendrons, pour les six fonctions, la majorante unique

et nous écrirons les équations majorantes du dv M

dx dx T

(a-+- i^-hi).

Si nous astreignons u et i> k s'annuler à l'origine, les deux fonctions, si nous les développons, auront le même développement autour de l'origine, donc seront identiques et nous pouvons donc remplacer nos deux équations par une seule équation

du M ,

En intégrant, on a

-îaM

Cette fonction Ux est holomorphe pour \x\ <ia.

Par suite, a fortiori^ JK et ^ sont holomorphes à l'intérieur de tout cercle dont le rayon est moindre que R.

II en résulte qu'une équation linéaire ou un système linéaire holomorphe comportent une solution holomorphe ne pouvant