LA MÉTHODE DES MAJORANTES
avoir d'autres singularités que les points singuliers des coefficients dé Véquation ou du système donnés.
Remarque de M. Féjèr, — M. Féjèr a remarqué qu'il peut être plus avantageux de procéder de la façon suivante, pour la majoration.
Soient les équations
les seconds membres sont liolomophes pour |^/|^^, et ils ne sont pas tous nuls (c'est essentiel) poury/ = o.
Nous cherchons la solution nulle à l'origine. Pour cela, majorons les coefficients de tons les seconds membres à la fois, soit
F est convergente pour \yi\*i ^ et Ton a
F(o)?io.
Posons
j^i = rî = ••• = //» = 5,
dans F, ce qui donne une fonction holomorphe G (5), avec
Nous avons, par une quadrature, la fonction z majorante, en écrivant
Si la variable x figurait dans les seconds membres, il suffirait d'introduire la nouvelle fonction Xn^h définie par la nouvelle équation différentielle
dx
Application. — Prenons un système
«//*= Oih{x)
ll'l CHAPITRE VI.
o désigne une fonction holomorphe ; le reste correspond à un pôle, les A sont des constantes et p est un entier positif.
Soit <l> une majorante de toutes les fonctions <p.
Soit B un nombre majorant pour les nombres A.
Remplaçons âi par I a I ; ce qui majore les développements des termes polaires.
Soit enfin b un nombre majorant pour les valeurs initiales données, c'est-à-dire soit
Nous écrivons pour majorer En intégrant, nous obtenons
Pour tout point x le! qu'on ait | ^ | < | a |, le second membre est une fonction holomorphe H (^), d'où
Cette fonction de comparaison montre que les solutions yi ont pour rayon de convergence | a |.
II. Fonctions implicites. — Nous avons étudié les fonctions implicites dans le domaine réel, avec le minimum d'hypothèses. Pour les fonctions holomorphes (non seulement indéfiniment dérivables, mais encore développables en série de Tajlor) nous allons reprendre la question. On remarquera que nous avons suivi, de même, ces deux voies différentes, pour l'étude des équations différentielles.
On pourrait faire la même double élude des problèmes fonctionnels; nous ne le ferons pas pour ne pas répéter indéfiniment les mêmes procédés.
Soit la relation donnée
V(x, y) ^ ax -\- by -h ax*-h ^ooy -\-. . .= o, F(o, o) = o.
LA MÉTHODE DBS MAJORANTES. 123
On suppose essenliellemenl
dF
(géométriquement, on laisse de côté les points doubles et les points de la courbe F où la tangente est verticale).
Nous avons donc 6^0, nous pouvons alors supposer b = — i et nous écrirons la relation sous la forme
(i) y = ajoa?-haio^'-+-«iia?x-4-«oiJ^*-+-.---
Cherchons la solution sous la forme
(2) j^ = CiX -h Cia?*-f- cjar'-t-
Tout coefficient Cn est connu en fonction des précédents; cela résulte immédiatement de Fidentification; on le verra facilement.
Nous avons donc la solution formelle; prouvons la convergence en prenant une majorante du second membre de (i).
Cette majorante ne doit contenir ni constante, ni terme en y; ce sera donc
Alors l'équation de majoration sera
Ri
^ 0H donné par une équation algébrique du second degré; en
^^^ niant la fonction située sous le radical, on obtient aisément
^^ liombre R2 tel que, pour |^| <; Rj, la fonction u^ nulle
po^ï^ ^=0, soit holomorphe, donc y sera holomorphe, a for-
lior^i^ La question est résolue.
A.vons-nous plusieurs équations
nous pouvons exprimer j^ et z en fonction des x si le jacobien
ày
dF ôz
dG
ày
dG ôz
n'est pas nul à Torigine. Par un changement de variables, on peut toujours se placer à Toriglne, pour toutes les variables, et nous supposons, bien entendu,
Ayant Jo 7^0, nous pouvons résoudre les équations données par rapport ky et z (en regardant, bien entendu, les puissances supérieures comme connues, dans cette opération). On aura donc
( 7 = ai a?i-h. . .-h anar„-+- ^iX^y -h y, j^ï-h. . ., j ^ = a I a^i -f- . . . -H a^ a?/, -»- . . . -+- 8i a^i -5 -H . . . .
Cherchons la solution sous la forme
Identifions, tous les coefficients seront connus, de proche en proche; admettons-le, car c'est facile à préciser.
Prenons maintenant une majorante commune pour les deux seconds membres du système (S) sous la forme
\ R A Ri /
Ri
Écrivons enfin l'équation unique de majoration (u et v devant avoir la même valeur initiale zéro, sont identiques) ; nous avons Féquation du second degré
en posant
^* mm"
t = Ti-r-Xi-h...-hXn.
Comme précédemment, il existera un nombre Ko tel que, pour
LA MÉTHODK DES MAJORANTES. 125
on ait une racine ii holomorphe, nulle pour ^ = o, et, a fortiori^ y et z seront holomorphes, dans les mêmes conditions ( ' ).
Pour préciser, on se reportera à la théorie de la substitution d'une série dans une série (p. 69).
III. Problèmes fonctionnels. — Nous allons appliquer la méthode des majorantes à un problème fonctionnel.
On donne une fonction f{z), holomorphe au point x pour lequel on a
et si Ton pose
on suppose
On donne les quatre fonctions de 5, Ah, A21, A12, A22Î holomorphes autour du point x et Ton se propose de trouver deux fonctions de z^ holomorphes autour du point z = x ei satisfaisant au système
Ui(z) = AHM,(zi)-t- A„a,(.5i), Ui{z) = A„Mi(5i)-+- A„a,(^,).
Nous posons, pour simplifier
-31 = /^-)» a: = o, Ati(o) = an,
Les valeurs des u à l'origine sont données par les équations
(Mi)o= a,i(a,)o-hai,(ai)o, (M,)o=a,i(w,)o-ha„(a,)o.
Si nous voulons des valeurs non nulles, nous poserons
i — «it — ait — a2i I — flii
(») Si l'on veut aller glus loin, voir la théorie du Polygone de Newton^ par exemple dans le Cours de M. C. Jordan (t. I, p. 346), et la Thèse de M. H. Poincaré ( Gauthier- Vi Mars), dans laquelle Tauteur perfectionne la théorie, pour l'application aux équations aux dérivées partielles.
126 GUAPITRE VI.
Nous déterminerons ainsi, avec un facteur arbitraire, les valeurs
(wi)o, (wi)o;
Supposons les modules moindres que un.
Cherchons alors les dérivées premfères, en dérivant les équations données
dui __ . dut dzx . dui dzi
dz ^^ dzi dz ^^ dzi dz '"*
Les termes non écrits sont évidemment connus, à l'origine.
Ecrivons :
Ui (z) = Xq + ^1 -5 ■+■ Xt^* -h. . .,
M, (z, ) = Xo -+- Xi -zi -h X, -«î -h . . . , a, (z) = [Ao-f-p-i^ -h }x,<3« -+-...,
M,(^l)= {Xo-h [Al^l-h ^1,-5}-+-....
Nous avons
D'où le système
\ dz Js=ù \dZi/z^=:ù
X| = an/iXi-+- aij/ifii-h. .., Kl = «ît /iXi -h a» A fii -f-
Soit D< son déterminant,
I — au A — aijA
Si ce déterminant n'est pas nul, les dérivées premières sont connues, à l'origine. Passons aux dérivées secondes, en dérivant
encore
dz^
Les termes non écrits sont connus, à l'origine, d'après ce qui précède et nous aurons sans ambiguïté les dérivées secondes à l'origine si Da n'est pas nul
I — rtii/iî — cixth^
On voit immédiatement que toutes les dérivées à l'origine sont
LA MÉTHODE DBS MAJORANTES.
calculables sans ambiguïté si les déterminants
I — aiihJ — aiihJ
ia7
a^xhJ I — at\hJ
sont diflFérents de zéro, quel que soit y.
Nous allons prouver que la solution (avec le degré d'arbitraire que nous avons constaté) est holomorplie (* ).
Prenons le système majorant suivant
Vi = V,=
au lieu de Ui et Ux.
F= » au lieu de/: B = 1
au lieu des A.
La vérification est immédiate
z \ Hz
Il faut poser quelques conditions. D'abord nous avons supposé
De plus nous voulons avoir
\dz9 /o I cizl o'
Or on a, \k étant supérieur au module de ^i, dans le cercle de rayon R
Il faut donc avoir
pour cela, r sera choisi moindre que R et que RH : [jl.
(») Grévy, Tbése Sur les équations fonctionnelles ( Gauihier-Viilars, 189^). — Léau, Thèse sur les équations fonctionnelles ( Gauthier-Vil lars, 1897). Citons aussi MM. Kœnigs, Lémeray, Laitè?<, et, avant tout, Abel.
Soient, pour le système majorant, A, A|, Aj, nants analogues de D, D<, D2, ..., on a
., les détermi-
A; = (i — - Hy)'— j IW = I — \V> o.
Ecrivons les valeurs des dérivées des u et de V, à l'origine. [ dJux \ I c,y — a„H/
a«Hy
— -Hy
ïv i-^Hy
:Ay.
Ciy désignant les termes de la premirre équation dérivée j fois, sauf ceux contenant des dérivées d'ordre y des 11^ dj désigne Je résultat de la substitution de o à ;; dans Ctj.
Comparons les coefficients de Ctj et de Y<y; appelons ces coefficients etj et€iy.
Nous voyons qu'on a
\e,j:^u\<?' quels que soient ieij.
En efiet, le dénominateur ne s'annule pas pour 1=1, donc on peut trouver une limite p, dépendant des a.
D'ailleurs le rapport tend vers un quand y devient infini.
Pour /= 2, le rapport tend vers zéro^ ipowvj infini.
Il n'y a aucune difficulté.
Dj étant essentiellement différent de zéro pour y = i , 2, 3, . . ., nous avons
a est une constante qui dépend des a.
On a aussi
Ay<i,
d'où
I Dy I > a Ay.
Nous prendrons a <; 1 , pour avoir 1 : a > i .
LA MÉTHODE DBS MAJORANTES.
Remarquons enfin qu'on a pour majorante des quatre fonctions A l'expression
M correspondant au rayon r précédemment choisi. D'où
A|o<'iMBo,
dz9
dzi lo'
Désignons par Q le plus grand des nombres : p et 2 M. On a p > I , d'où Q > I . Reprenons le calcul des dérivées des m, nous avons
dz
Imaginons le calcul analogue fait pour V, nous aurions V(o) = i, à ]a place de Wi(o), avec [ 1*1(0) |<i.
Ces termes entrent dans un déterminant, ce qui introduit deux fois le facteur Q
numérateur de
du dz ,
< Q« X numérateur de
d\ dz
dénominateur de -7dz
> - X dénominateur de '^
Tz
du
Qi dV
dz
0^ a dz
Donc
Reprenons le calcul des dérivées secondes, nous avons
wi(z,)
dz'^
/dku\ (dux\ /dzA , /d^Xn\
Imaginons le calcul analogue pour V, et tenons compte du résultat relatif aux dérivées premières. Pour le numérateur, nous avons D'A. — II. 9
l3o CHAPITRE VI.
le facteur Q provenant du coefficient ^12 de c^2 dans le déterminant et le facteur Q provenant de A ou des dérivées de A.
Nous avons enfin le facteur Q^ : a, provenant de la dérivée première, quand elle figure, comme dans le premier terme écrit de c<2.
Enfin, le dénominateur introduit toujours, par majoration, le facteur i : a.
Nous avons finalement, par la majoration.
La loi est évidemment générale
d'iu
dz^
■" V a / \dzn
Nous avons donc à comparer les développements
Or le développement de V converge pour
Donc le développement W converge certainement pour
Nous avons donc, pour les w, un rayon de convergence non nul.
Remarque, — Comme les équations différentielles, les problèmes fonctionnels se traitent par les approximations successives aussi bien que par la méthode des majorantes.
Pour des tjpes extrêmement simples^ on peut obtenir des solutions complètes, tandis qu'avec des types généraux^ on n'obtient les solutions que dans un petit domaine autour d'un point (*).
(') Citons un Mémoire tout récent : Nouvelle méthode d'intégration d'unsys-
LA MÉTHODE DKS MAJORANTES. l3l
IV. Équations de Briot et Bouquet. — Revenons aux équations différentie lies .
Dèà que les fonctions données ne sont plus holomorphes (dans le domaine complexe) ou continues et lipschitziennes (dans le domaine réel), les méthodes ordinaires ne réussissent plus, la solution peut ne pas être unique, etc.
Une équation différentielle très importante est celle-ci
Nous supposons f{OjO)=:o^ la fonction / étant holomorphe autour de V origine. Écrivons Téquation donnée sous cette forme
(i) xy^ — by =i o(x,y) = ax -¥• aiX^-\- b^xy-^, . .
la fonction cp ne contenant ni constante, ni terme en^', puisqu^on a fait passer ce terme dans le premier membre.
Calculons les dérivées successives à Toriçine. On a, en général,
- {xy'^)= xy^^i H- nyn^
d'après la formule de Leibniz.
Faisons a? = o, après les dérivations successives des deux membres de (i), nous avons
ro(i — ^) = «'
yîii — 6) = 2ai-+-2 6,7j,
yS(n^b) = fonction de^i,jK5i -..j^o"*- Nous pouvons donc former le développement taylorien X - x^ -:
tème de n équations fonctionnelles linéaires. .., par L. B^ttcher {^Annales de l'École Normale., 1909)-
Citons encore: E. Goursat, Sur un problème de la théorie des équations aux dérivées partielles {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, -2* série, t. y et VI). — R. d'Adhémar, Journal de Mathématiques pures et appliguéesy 1909. — E. Picard, Acta Mathematica , t. XVIII et XXIII. — H. Poincaré, Journal de Mathématiques pures et appliquées j 1890, etc.
l32 CHAPITRE VI.
à la condition que b ne soit pas Vun des nombres 4-i, 4- 2^ -h 3, . . ., -h Al, etc.
Pour prouver la convergence de la série, on emploie un moyen nouveau, on se sert à\\ne fonction implicite.
Soit
une majorante de /(x^y); on prendra pour ç(x, y) la majorante ï M-M^.
Soît, lorsque n prend toutes les valeurs entières positives, w le minimum de\n — fe [; nous posons
Il est facile de voir que m (:r) es tune fonction majorante pour j^(j7).
Il suffit, pour cela, de dériver les deux membres de (2) et d'observer que o) a" correspond à (/? — 6)7" .
Remarquons alors que u est défini par une équation du second degré et sera holomorphe dans un certain domaine autour de l'origine, en vertu de la théorie des fonctions implicites.
Donc, a fortiori^ nous avons une intégrale y holomorphe autour de V origine si b n'est pas un entier positif .
Nous reviendrons, plus loin, sur cette équation.
V. Ëquatioas aux dérivées partielles et aux différentielleft totales. — Nous allons indiquer brièvement la méthode à suivre, en renvoyant le lecleur au Cours de M. Goursat (Tome II).
I** Soit l'équation du premier ordre
dz .[ àz\
f désignant une fonction des quatre variables x^ y^ s, q (on désigne souvent -- par p et — par q) holomorphe autour du point (o, o, o, o).
LA MÉTHODE DES MAJORANTES. l33
Il existe une solution^ holomorphe autour de Vorigine^ et contenant la courbe donnée
37 = 0, z = Ai^-f- Ajj'ï-f- ... , -hA„j"»-+-
Oq peut, d'abord, calculer, à l'origine, toutes les dérivées
Admettons-le. Nous avons alors une solution formelle
dont il faut prouver la convergence.
Soit a la constante, premier terme du développement tajlorien de/. On la fait disparaître en changeant z en 5 4- clx.
Nous avons alors la majorante
On connaît la signification des constantes M, r, p. Soit o < a< i » M. Goursat remplace^ dans la majorante, x par x\tL, puis il pose ic -4- ay = w .
Il obtient alors, pour équation de majoration, l'équation différentielle ordinaire
dz^^ M ^
du ^
La solution z' =. ç(w), nulle pour m = o et holomorphe, prouve la convergence absolue, autour du point 07= j>^= o, du développement formel de z.
Nous aurons à revenir sur celte équation (Chap. VIII).
2** Soit l'équation aux différentielles totales
dz = PL {x, y, z)dx-^h {x, y, z) dy, A et B sont des fonctions holomorphes autour du point
Supposons la condition d'intégrabilité satisfaite {voir
l34 CHAPITRE VI.
Chap. vil); on pourra calculer, au point {Xq, }'o)) toutes les dérivées de w, sans ambiguïté. Admettons ceci, qui doit être examiné avec soin.
Prenons x^ = >'o := o et choisissons une majorante à A et à B
Nous pouvons alors poser x-^y=t et nous aurons, pour équation de majoration, Féquation difTérentielle
Mdt
dz —
La solution z^ ^o (^), se réduisant à Zq pour / = o, holomorphe autour de ce point, prouve' la convergence du développement formel de 5, autour du point ^o= Vo= o.
Nous avons donc une solution holomorphe autour du point (•^oîJKo)î ^0 étant donné arbitrairement^ si la condition d'inlégrabilité est satisfaite.
Contentons-nous de ces indications sommaires, car ces problèmes vont être repris, d'une manière plus complète, dans lés Chapitres VlIetVIlI.
VI. Étude des équations différentielles par des développements nouveaux des fonctions analytiques réelles. — La méthode de Cauchy, dont nous avons donné plusieurs applications, repose essentiellement sur le développement taylorien. Cette méthode est donc limitée aux domaines intérieurs aux cercles de convergence de ces développements. Or il est urgent de considérer, si possible, tout le domaine d'existence. Nous avons vu que, théoriquement, la ressource se trouvera dans les développements en séries de polynômes. M. S. Bernstein, dont on lira la Note à la fin de ce Volume, a employé des séries particulières de polynômes, dont il a brillamment tiré parti. Quoique la question soit toute nouvelle, nous lui consacrons quelques pages. Si la forme des résultats n'a pas cet aspect classique, cette beauté qui résulte des simplifications apportées par les générations successives, du moins, les idées
