A MÉTHODE DES MAJORANTES
exposées sont suggestives. 11 faut bien se représenter la Science comme un progrès perpétuel et l'on pourrait même dire, avec unq pointe (le paradoxe, que les choses trop définitives perdent un peu de leur intérêt. Voici l'origine du travail de M. S. Berslein; il a voulu généraliser un théorème capital de M. E. Picard, sur les solutions de l'équation
ô^ Il ô^ u du , du
— — -h -T-T- -f- a ho- h cii = G,
dx* ùy^ ùx Oy
a, è, c étant des fonctions analytiques^ si la solution u a des dérivées d^ ordre deux^ finies et continues^ elle est analytique.
Voulant employer les approximations de M. Picard, M. Serge Bernstein fut arrêté, en employant la méthode sans aucune modi^ (ication ; la convergence était impossible à prouver parce que les seconds membres des équations eussent contenu des dérivées de même ordre que les premiers membres
Pour se tirer d'affaire, M. S. Bernstein imagine un mode nouveau de développement des fonctions, les séries normales.
Si l'on parle de fonctions analytiques et si Ton se maintient dans le domaine réel, une singularité complexe, comme, par exemple, le pôle / pour la fonction i : (i -{- x^) arrête notre développement taylorien, même sur l'axe réel, pour |j;|>i.
Donc, ce développement taylorien et sa majorante et toute la méthode des majorantes de Cauchy^ point de départ merveilleux, tout cela doit être dépassé en vertu même du dynamisme admirable des méthodes de Cauchy.
M. S. Bernstein a réussi à sortir des voies de Cauchy, poussé par Cauchy lui-même.
Il passe donc de la série de ïaylor à des modes plus souples de représentation et nous allons montrer son idée, sous sa forme la plus facile.
Mais, M. S. Bernstein a poussé bien plus loin sa méditation et, plus tard, dans un Mémoire écrit en langue russe, il a cherché aussi des développements nouveaux, souples, maniables, pour les fonctions réelles^ non analytiques, seulement une ou deux fois dérivables.
Il a bien voulu résumer ses idées en français dans la Note que nous publions.
l36 CHAPITRE VI.
Ce qui suit permettra de suivre la genèse des idées de ce savant (♦).
Les séries qu'il introduit sont les séries doublement ascendantes
Nous dirons qu'une telle série est normale si elle converge absolument et uniformément pour o^a^^R.
TnéoRÈME. — Toute fonction f(x) holomorphe à V intérieur d*un contour S entourant le segment (o,i) est développable en série normale sur ce segment.
En effet, on a d'après le théorème de Cauchy
Il suffit par conséquent de démontrer notre théorème pour une
fraction simple » où A est une constante (par rapport à x) et
z Taffixe d'un point sur le contour S. Il est évident que si z est situé à gauche de la verticale V© passant par O ou à droite de la
verticale passant par i, V|, — — - aura comme développement
normal soit la série de Taylor en i , soit celle en o. Nous pouvons donc ne considérer que le cas, où z = a-\- bi^ avec ] 6 1 ^zé o et i^a^o. On a
1 a — X — bi
a-\-bi — x X*— 2ax -{- a*-^ b*
(Nous excluons les portions de S situées à droite de V< et à gauche de Vq.)
Le numérateur étant fini, il n'influe pas sur la convergence,
(<) La thèse de M. Serge Bernstein (Paris, 190^) est imprimée dans les Mathematische Annaleny Band Sg.
Voir le Livre de M. Montel, Sur les séries de polynômes^ dans le domcUne complexe^ dans la Colieclion Borel (Gauthier-Villars ).
LA METHODE DBS MAJORANTES.
on a
a:» — 2aa7 -t- a*H- 6" i-ha*-i-A* — {'lax -\- i — x*)
2 1 /^ax-Hi — ir«\'»
OU bien
I ■+■ a'-h 6* — 2ax — (i — X*) ~ji(a*-h 6'-i- i — ixax)'*-»-*
Ce sont deux formes du développement
u-v " u-i vu/ ' u
On a bien, chaque fois,
rr < I , car ceci donne
condition vérifiée, avec des nombres réels.
Posons
(n-^i),,.(n-^ A) / lax \^ "]
{\-k-xY
Cous les termes de P^ (x) sont positifs pour
•et Ton a
\{^-xY^n{T)\^
En effet, on a d'où
(«*-+- 6* -h I — 'laiT ;'*-♦•*
a«-f- ô«-i-i — 2aa;> 6« et (i -i- 6«)(i — j:') < rt*-h 6*-+- i — 2ax, car ceci donne
l38 CHAPITRE VI.
Nous avons donc
et la série converge absolument et uniformément pour
On passe de là à fx en multipliant par (a — x — bi) et en intégrant sur S, donc noire fonction /(j:) aura naturellement un développement de la même forme, lié au contour S.
P,i(:r) ayant pour pôle le point ; = ; > i, est représenté par une série de Ta^^lor dont le rayon de convergence sera ^ i .
Donc pour xr>u i , on aura
Et ceci subsiste si l'on remplace la fonction P,, par la fonction P,i, obtenue en substituant à chaque coefficient^ dans P», son module,
(considérons alors le terme P;, (j7).(i — ^)"; x variant sur le segment (o,i), ce terme a un maximum, M/,. En général, la valeur de x correspondant à ce maximum variera avec n. En prenant par conséquent la série
nous obtenons, dans le cas où elle converge, une sorte de limite supérieure de notre série/(j7); nous rappellerons norme réelle de f{x). Si nous considérons l'ensemble des développements normaux dont/(x) est susceptible, il définira un ensemble de nombres positifs qui sont les normes réelles correspondantes. Cet ensemble aura une limite inférieure (qui, en général, ne sera pas atteinte); nous rappellerons norme réelle inférieure de f{x) sur le segment o — i et nous la désignerons par le symbole X ou Xoi. Sur l'intervalle o — R, nous prendrions le symbole 5boR pour plus de précision.
En particulier, si /(x) est développable en série de Taylor à
LA MÉTHODE DE8 MAJORANTES. l39
coefficients positifs, convergente pour x = R,
f{T) = ao-H aiJ7-^ aiwT'-H. . .-f- a«x"-4-. . ., on aura
Mais si les termes n'étaient pas positifs, la série de Taylor définirait, en général, une norme bien supérieure à la norme inférieure, et si le rayon de convergence était inférieur à R, elle ne définirait même plus de norme de/(j:). Soit, par exemple
on a
avec
\b\ ^ o et 1^ allo.
Ainsi 6 peut devenir aussi petit qu'on veut, le développement de Taylor va diverger et pourtant f{x) aura une norme finie.
Ce qui caractérise cet exemple particulier, c'est que la norme de M. Bernstein (qui, nous le rappelons, est toujours le résultat delà sommation d'une série convergente à termes positifs) se présente sous forme d^ une série dont les termes sont inférieurs à ceux d'une progression géométrique. En reprenant le raisonnement du début, on voit que la même circonstance se présentera pour toute fonction analytique régulière dans une région S comprenant à son intérieur le segment (o, i).
M. Bernstein est ainsi conduit à introduire une nouvelle notion.
Soit
M = Mo-hiMi-^...-hM„-+-...
une norme réelle def{x) sur OR; si la série
„.„..„,(«i£)....^«.(ii£)V...
converge, nous dirons que N est une norme de f{x) à l'intérieur du contour fermé Tqr^ qui est formé par les deux tangentes menées du point R au cercle C de rayon r, ayant le centre en O, et la partie gauche du cercle C. Nous définirons comme aupara-
l4o CHAPITRE VI.
vant la norme inférieure dans Vaire limitée par Tor,. et nous la désignerons par ^[/(^)]r,.-
Ceci posé, nous démontrerons le théorème suivant :
Théorème. — Si une série ^ normale sur le segment OR, f{x) admet une norme finie N à r intérieur du contour Tor,., elle est uniformément et absolument convergente à ^intérieur du contour et sur le contour FoRr lui-même.
Soit
avec et
SI
(R - x)« ( I a„o I + I a„, I a: -t- . . .-+- I an* I ^*-+-. • •) S Mn olar^R.
En particulier, nous avons
( R — r)« ( I a„o I -H I eï«i I '• + . . .) = M«. Supposons maintenant x sur le cercle C i\x\=.r. On a I R - X I ^ R 4- r,
d'où
D'autre part soit O < « <C R • Lorsque x est situé sur un»cercle de
LA MÉTHODE DES MAJORANTES. l4l
rayon r, = r f ^ ) ayant le cenlre en a, on a aussi
Les cercles étant homothëtiques, on a
R — g-f- /i R -H r H — a — r, "" ir^'
Donc, sur le cercle de centre a, on a
Pour a=R la même inégalité a certainement lieu, puisque f{x) est représenté par un développement normal. Donc la convergence absolue et uniforme def{x) est assurée sur tous les cercles homothétiques à C ayant leur centre sur le segment o — R.
Donc f{x) converge absolument et uniformément sur le contour et à son intérieur.
D'après le théorème de Weierstrass, la fonction admettant une norme finie à l'intérieur d'un contour, est analytique à l'intérieur de ce contour.
La convergence est uniforme et chaque élément est analytique, donc la somme est analytique (p. 76).
Théorèmes relatifs aux sommes et aux produits. — Si la fonction /(x) admet la norme N et si la fonction g{x) a la norme N', la somme et le produit des fonctions ont une norme inférieure ou égale à la somme et au produit des normes N, N'.
Soit d'abord la somme
/(a?)=2Pn(R-:p)", ^r^)=2P'«(R -•«■)",
