V:c=fx+gx=^ K ( R - X
Nous posons donc
P,(xj(R — j-rëM;,,
et M',,, M"j sonl les nombres analogues relatifs à ^x ^l Fa- On a
d'où
Formons
et la proposition est immëdiatement prouvée.
On peut généraliser
Passons au produit, on a évidemment
D'où
En remplaçant les normes par leurs limites inférieures on peut énoncer notre théorème en écrivant
El, plus généralement, on déduit de ce qui précède :
DZ F[©i(.r), ©2(./), ...] < FfXo,(ar), ,^bcp2(ar), ...],
F représentant une fonction analytique des paramètres 0|, 'f 2î • • • ?X7 développahie en série de Taylor pour
I ^i(x)\'= •)bcp,(.r), \Oi(.r)\^:)Zo^(x)
Il est inutile d'énoncer ces théorèmes en langage ordinaire. Les formules suffisent.
Ihéorème. — 'boit gx=zxP I YxX'idx et soit un contourV^^ à V intérieur duquel VxCi une norme finie ; soient p et q des
LK MÉTHODE DES MAJORANTES. l43
nombres entiers satisfaisant aux conditions ;/>^o,/?-h5'-+-i^o. Pour ; y -f- 1 ^ o, OAi a
Pour ; ^r 4- I = o, on a le facteur — au lieu de
pe I y -♦- 1 1
En effet, intégrons par parties
Appliquons la mérae formule à i]i~l et nous arriverons ainsi à l'intégrale
.0 (R— ^)'*-hX-^i
(2) J« = (R — x)'*+^ nx(a-),
flx désignant un polynôme de degré X.
Posons
Ilx = Ao -+- Al a:- H- . . . -i- k\xf^.
Dérivons les deux membres de ( a )
x'^ = (n-h])ni^ (R — r)Il).
Nous avons donc, par identification
o = (n-i- I )Ao— RAi, o = (n -hi)\i — 2RAj,
1 = (n -hX -hijAx.
Donc tous les coefficients A sont positifs.
D'où ce résultat
(3) xP r Pn(f<—x)'' dx = xPTn+i(x)(R — xy'^^,
l44 CHAPITRE VI.
T,i^.i représentant une série de puissances entières de Xj convergente puisque la fonction est normale.
De plus, si Ton remplace P» par P„, la sériejT„^.i est remplacée par une série ^„^.i dont tous les coefficients soni positifs.
Soit M„ le maximum de P,,(R — j:*)", on a
^ . Rp/x\p ,/H\P ^ ^
Ecrivons — f ^ 1 "^l "" ) ^ remarquons que, pour ^ > 1 , on a
(construire la courbe j^ :=— et poser z = e").
Donc, pour y -h i =0, le second membre de (4) devient
pe
Prenons le premier cas : y + i ^ o.
On voit facilement d'après ce qui précède que
Donc
N;,H, = i\Ia\imum de 5:/' T„h, ( R — x)"+« ^ -j p M^.
Rp-^^-^i R-h r
En remplaçant les normes N et M par leurs limites inférieures^ on retrouve les formules annoncées.
Pour le second cas : çr |- i = o, ce n'est pas plus difficile.
LA MÉTHODE DES MAJORANTES. l4^
Application aux équations différentielles, — SoilTéqualion
Nous supposons /(x, y) et j- /(^^y) analytiques en x et ayant
des normes moindres que M et M' pour |y | <; L, ^ étant à Tintérieur du contour r„^R.
Fig 23.
Dans ces conditions, la solution de V équation, qui s^ annule en b est analytique. Il faut recourir à la méthode des approximations successives de M. Picard. On a successivement
(-2) ^'0= f fi^.t)dt,
(3) ^1= r fy^y^in]dt,
(4) y^=^ f f[t,ydt)]di.
etc.
D'abord, ii faut avoir, quel que soit n
^yn < L.
Puis, U/i étant un terme d'une série convergente
Alors nous aurons
liin^rt= \xy /i= •
et la norme de Yj. sera finie, donc Yx sera analytique.
Posons H = p ^ ■ R. D'après le théorème précédent, appliqué à l'intégrale (3), on a
t46 CHAPITRE VI.
Posons HM <; L. On aura alors
En second lieu, soit M' un nombre supérieur à la norme de f'yi^^y), pour Ij/'I < L, l'application du théorème des accroissements finis donne, on Ta vu (* )
yn—yn~\= f (yn-\—yn-l) f dt,
''l/i-2(^) étant compris entre y,^i(^) et j'„2(0*
«^(^1 — ^'o) = H X maj. (D^jo x M', ^^(ri— 7i) = *ï X maj. ^b(j^i— ^'o)x M',
(may désignant un nombre supérieur à la plus grande valeur possible, dans le domaine considéré).
11 suffit de poser
nM<L, HM'<i
pour que le théorème soit établi.
Les conditions que nous venons d'obtenir peuvent nous amener à rétrécir le domaine, en remplaçant a par a! et R par R', au mo^'en d'un cercle homothétique au premier.
En tout cas nous aurons pu, par ce procédé, dépasser le domaine correspondant aux dé^'eloppements tayloriens.
Remarques, — Nous donnons, dans cet Ouvrage, pour l'intégration des équations différentielles, la méthode des approximations successives et la méthode des majorantes. Il est bien évident que ce sont les méthodes que nous avons voulu faire valoir et que nous n'avons pas songé à donner une théorie sérieuse des équations différentielles. Pour cela, il eût fallu donner la théorie de Cauchy- Lipschitz^ laquelle regarde la différentielle comme une différence, puis [)asse à la limite.
Il eut fallu parler des équations linéaires cl de la théorie de Fuchs ; de la théorie de Sophus Lie : étude par les groupes con-
(') Tome I, dernier Chapitre.
LA MÉTHODE DES MAJORANTES. l47
tinus ; des fonctions fuchsiennes de M. H. Poincaré^ lesquelles intègrent une classe d'équations linéaires ; des travaux de M. Klein; de la classification des transcendantes solutions des équations dilTérentielles, par M. Drach^ etc.
Nous avons encore le point de vue si fécond de M. Painleré : mobilité ou immobilité des singularités des solutions lorsque varient les constantes arbitraires ; le point de vue de M. Henri Poincaré : élude qualitative des solutions réelles, avec les principes de.VAnalysis Situs. Autant de domaines immenses (•).
( ' ) Contentons-nous d'indiquer deux Ouvrages classiques, celui de M. Picard et celui de M. Painlevé; puis celui de M. Pierre Boutroux, dans la collection Borel.
Au point de vue de la variété extrême des singularités, votV les beaux Mémoires de M. Henri Dulac : Thèse insérée dans le Journal de l'École Polytechnique^ 1904. et Mémoires insérés dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ 1909 et 1910.
