ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES

La théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre constitue une vaste doctrine.

La seule chose que nous fassions ici est la réduction des problèmes les plus simples à des équations différentielles ordinaires.

De sorte que, à chaque instant, nous aurons besoin des résultais de cette théorie, établis, pour les variables complexes^ par la doctrine des majorantes et, pour les variables réelles^ parla méthode des approximations successives (t. I et t. II).

Nous ne pouvons nous occuper des systèmes d^ équations ^ mais inéquation aux différentielles totales constitue un système très particulier et ce système-là sera étudié ici.

Commençons par faire quelques remarques sur les systèmes différentiels^ dans le domaine analytique. Prenons le système

les fonctions/ et g sont holomorphes autour d'un point ^ = «, y = ^> z = c.

Regardons le système (i) comme un système d'équations aux dérivées partielles^ x, z étant les fonctions inconnues, x^ x^y ^0^ ^Q {valeurs initiales) étant les variables.

D'après la méthode dos majorante^, nous verrions facilement

que le système admet une solution (i) holomorphe autour du

point

X = Xo = a, y = o, z^c.

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES LINÉAIRES. l49

Ecrivons celle solulîon

{2) jr=F (x, xo, yo ^o), z=zG(x, xo, yo, ^o)-

Et réciproquement^ si nous regardons j^q et Zq comme les inconnues, nous aurons

(3) j^o=F(a?o»ar,jr, z), ^o=G(aro, x,y, z).

Laissons Xq constant et nous déduirons de (3) les relations d¥ d¥ . d¥ dG dQ . dG

D'après ces relations (4) si; dans (i), nous prenons pour inconnues les nouvelles fonctions

(5) Y = F(aro, a?,^', 5), Z = G{x^, x, y, z),

ce système (i) devient

/A^ ^Y dZ

Donc, dans le domaine d'holomorphie^ les solutions de (i) satisfont à des relations de la forme

(7) F(a:o, ar,^, -5) = const. G(a?o» ^» ^. -») = const.

Ce sont des intégrales premières du système (i).

Cette nolion joue un grand rôle, en particulier dans la Mécanique.

Ajoutons une remarque sur runicité de la solution [voir t. I, p. 298).

Dans le domaine d^holomorphie^ le système (i) n^ admet pas d^autre solution que la solution holomorphe^ se réduisant à (roi «0) pour 37 = 0:0 (*)•

En efiet, on peut regarder la solution y^ z (holomorphe ou non) comme définie par le système (3). D'ailleurs, F et G étant holomorphes, on peut écrire

^o=F(aro, ar, ^, «) =^-+-(a: — Xo) Fj (a-o» x, y, z) -50= G(j:o, iP,y, «) = «-f-(a? — a?o)Gi(aro, x, y, z).

(>) E. GouRSAT, Cours, t. II, p. 36i.

l50 CHAPITRE VU.

Pour X = Xq. le iacobien ., ; ^' ^^ se réduit à un.

Par suite, les équations (3) ont une solution unique, autour de ce point (Chap. 1).

1. Équation linéaire du premier ordre. — i ° Equations linéaires ET HOMOGÈNES. — Considérous d'abord l'équation linéaire et homogène

, . ^r àz , ôz , dz

dans laquelle X|, Xa, ..., X„ sont des fonctions données et z une fonction inconnue des n variables indépendantes jc,, X2, ...,J?«. On suppose que la fonction inconnue :; n'entre pas dans les coefficients X et qu'un au moins de ces coefficients n'est pas identiquement nul. Nous admettrons que c'est X| .

Considérons le sj^slème adéquations différentielles ordinaires

dJTi dxt dxn

Al -\j .\„

et considérons un domaine dans lequel les rapports

et leurs dérivées partielles restent continus. Prenons x^ comme variable indépendante. Le système (S) a, nous le savons, une solution dépendant de n — 1 constantes arbitraires

x/= Oi{xi^ Si, . . ., a,i i).

Si nous résolvons ce système d'équations par rapport aux constantes arbitraires il viendra

u^ixx.xu ...,^«) = «1,

iirt..i(:ri,a:j, . . ., Xn) = «/i-i-

Ces expressions u sont dites intégrales premières.

EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES LINEAIRES. l5l

Les intégrales premières Wj, ...,w„i sont distinctes, indépendantes, puisque les constantes a sont arbitraires.

Théorème 1. — Une intégrale première du système (S) est une intégrale de l'équation {^) et réciproquement.

En effet, soit u une intégrale première; on a

, du , du ,

au = - — ctXi -h - — dxi -h . . . = o.

Eliminons les difTérentielles ; il vient

^ ' ôxi OXi

Réciproquement, soit u une intégrale de (i), elle vérifie Téquation (2).

En efiet, si les x varient en vérifiant les équations (S), on voit que Ton sl : du = o; u = const.

Théorème II. — V équation (i) admet n — i intégrales distinctes W|, W2, ..., Un-\\ toutes les autres intégrales sont fonctions des précédentes et toute fonction ç(w,, Wa, ..., Un-\) est une intégrale.

En effet, soient «,, f^o? "-, ^'«-m ri — \ intégrales distinctes. Ajoutons une nouvelle intégrale quelconque Un\ nous aurons /i identités

„ dui -- dui V ùui

àXx OXi ()Xn

d'où, en éliminant les X (qui ne sont pas tous nuls),

D(Wi, Wj, ..., Un) ^

D(a7,, a^i, . . .^ Xn)

Cette identité prouve qu'il existe une relation au moins entre les U ; mais, comme il n'y en a pas entre «i, ..., w„j, il vient

Réciproquement, toute expression de cette forme, demeurant

constante avec «i, «/a? •••» W/i-i? est une intégrale du système (S) donc de l'équation (i).

Il résulte de fà que, si Ton a intégré le système (S), on connaît l'intégrale générale de (i).

En un mot, pour intégrer (i), on intègre (S), en cherchant (/i — i) intégrales premières et Ton pose^o désignant une fonction arbitraire

« = <P(m,,M,, ..., Mn,).

2** Équations linéaires non homogènes. — Ce sont les équations de la forme

Xi/)i-

Mais ici, X/ et Z sont fonctions des x et de z. Nous allons ramener l'équation (5) au système

Soient çi(a:i, . . ., ar», «), Ç2j ?3» .••7O/1? /i intégrales premières indépendantes, pour ce système (S).

Désignons par U le premier membre de l'équation (5) et considérons le système d'identités

U = Z ~ Xi/>i — Xi/>i — ... — Xrt/),i,

La première est une définition et les suivantes expriment que les f sont des intégrales. Le déterminant n'est pas identiquement nul, car, si on le développe par rapport aux éléments de la première ligne, on a

dz âxi

— Pn dXn

àXn

= Jo — />|Jl — />lJl — • • '—Pn^n^

et les mineui^ J^, .. ., J;, sont des fonctions de Xi, ..., Xn et z dont

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES LINÉAIRES. l53

Tune au moins n'est pas nulle, puisque les n fonctions <p sont indépendantes.

Mettons J sous la forme d^un jacobien

^i étant la fonction (pi* où Ton regarde z comme fonction de jTi, x^j •••, 3Cn* On peut ajouter aux éléments de la deuxième colonne, puis à ceux de la troisième, ... les éléments de la première multipliés par j9|, puis par )92, ... Il vient ainsi

dz dxi

àz

àXn '^^ àz

àXn '

dz dx\ el, par conséquent,

■Pl

dxi ^^ dz

dXn^^^'dT

dXn ^ àz

àOn ài^n à<fn <^?/i

àxi ^* àz '" àx„ ^" àz

En regardant z comme fonction des x, nous avons bien un jacobien. Maintenant, tirons X| du système (6) ; on aura

X,J =JiU.

Or, nous pouvons supposer J| non identiquement nul; donc, pour annuler U, il faut annuler J ou X| .

Nous avons donc deux sortes de solutions pour Téquation proposée ;

i** La solution ordinaire J ^ o, c'est-à-dire

définissant z comme fonction implicite des x, F ne contenant pas explicitement les variables Xj et F étant le symbole d'une fonction arbitraire.

2** La solution singulière qui, en général, n'exisle pas : il faut,

rj^i^T^T^

en elTet, qu'elle vérifie l'équalion Xi =o, et, par suite aussi, les équations Xa = X3 = . . . = Z == o.

Cette solution, si elle existe, est définie simultanément par (n-f-i) fonctions implicites.

Nous parlerons de la signification géométrique des singulières dans le Cfiapitre VIII.

Notons que la théorie qui'précède est due à Gilbert, sous cette forme.

Pkoblème de Cauchy. — Le problème de Caucliy, pour notre équation du premier ordre, linéaire, consiste à déterminer une solution (ou intégrale) par la condition de passer par une courbe gauche donnée C

Nous appellerons courbe caractéristique une courbe définie par le svstème

ffe, dxt dz

Par un point ^?,5®, passe une caractéristique et une seule^ si certaines conditions sont remplies, ce que nous supposons.

Or, nous avons prouvé qu'une surface solution est un assemblage de caractéristiques^ arbitraire; donc, on peut résoudre le problème de Cauchj-, si la courbe donnée n'est pas une caractérislique, en prenant les caractéristiques passant par tous les points de la courbe C.

Précisons ceci.

Nous verrons que c'est plus compliqué pour une équation non linéaire.

Soit, par exemple, l'équation

Les caractéristiques sont

dx dy dz

Soit la solution, se réduisant à r° et à z^ pour x=zx^

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES LINÉAIRES. l55

On peut se donner une relation arbitraire entre y^ et z^ sous la forme

En portant ces expressions dans le système (7), nous obtenons la surface contenant la courbe donnée (non caractéristique ). On peut aussi se servir de la variable X et écrire la solution

07®, yo, z^ correspondant àX = o, si Ton veuL

Soit la courbe C non caractéristique, donnée par ses coordonnées

Posons

a:<^=gi(u), y^:=gi{u), z^=gj,{u),

Exemples :