x*)yy -+- (2^*— ar
Écrivons
x^y* dx __ x^y"^ dy y^x — •! a?* ~" iy^ — x^y
Cela donne Puis
jl X x'^\ X x^
En ajoutant, il vient
La solution est
dx dy dz X y ^z ' zx^y^ = p.
j-^ji=f(^^'y')-
Donnons-nous la courbe C, pour résoudre le problème de Cauchy, nous devons avoir
ar«
-=/[4.(ar):r'?(x)'],
c'est-à-dire, A^ et ^^x étant connus,
Faisons Y inversion de Bj, c'est-à-dire soient /=rBj., x=^bt deux relations équivalentes, / ^ B(6^), on a
cp et tj; doivent être tels que C ne soit pas une caractéristique.
Multiplicateur {Euler et Jacobi). — Établissons un lien entre les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles. Soit
dy— F(x,y)dx = o.
Cherchons une fonction M (x^y) telle qu'on ait ( 2 ) M ( cÇ^ — F dx) = df ( digère miellé exacte ).
Il faut et il suffit, pour cela, que le système (I) soit satisfait
(,) g = M. g=-MF;
d'où
On peut substituer (3) à (i) et cela est parfois commode (*).
Soit M' un autre multiplicateur; cherchons une relation entre M et M'.
Soit
M' satisfait à Téquation (3), d'où
(4) Ji + F^ = o.
âx ây
On a, d'ailleurs, d'après (1),
âx Oy
Les relations (4) et (5) donnent
ou bien
^désignant une fonction arbitraire. Telle est la relation entre M et M'.
Nous avons immédiatement la conséquence suivante. Si l'on
(') Une solution particulière de l'équation aux dérivées partielles donnera donc la solution générale de Téquation différentielle.
Notons que M. Appell vient de donner un exposé nouveau de la théorie du dernier multiplicateur de Jacobi, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences {^ novembre 1912).
l58 CHAPITRE VII.
connaît deux multiplicateurs M et M', rintégrale première de (i) peut s'écrire de suite
M : M'= const.
Revenons à l'équation (3) et développons-la. Cela donne
âx oy oy
Les caracléristiques seront
dx dy __ — i/M
Exemple, — Soit l'équation linéaire du premier ordre y-+-P^-+-Q = o,
P et Q dépendant de x seul. On retrouvera la solution connue (méthode de la varialion des constantes, de Lagrange).
Remarque. — Nous ne nous occupons pas d'établir les théorèmes classiques en faisant, sur les fonctions, le minimum de V hypothèse. Sinon les questions deviennent très difficiles (*).
IL Équation aux différentielles totales. — On nomme ainsi les équations de la forme
<f -3 = A û^a7 -f B dy ou
P rfar -^ Q dy -4- R û?5 = o,
A, B, P, Q, R sont des fonctions de x^ v, z.
Si les fonctions sont analytiques^ on peut employer la méthode des majorantes de Cauchy ; cela ne présente aucune difficulté.
(*) Voir M. Baire, Tfièse {Annali di Matematica^ «899).
Dans ce Mémoire, M. Baire intègre l'équation : — = -r-» sans supposer continue* • on dx dy
,.. . du du
les derivccs -— > -7--
ôx dy
Au lieu d'un simple changement de variables, il doit édifier toute une doctrine.
Ce genre de travaux doit mettre en garde contre les généralisations hdtives qu'on
serait parfois tenté de faire.
i" Étudions Tëquation, sans cette hypothèse. Soit donné (i) dz = S.dx-k'Bdy,
Représentons la fonction A par A lorsqu'on a remplacé z par la solution supposée existante ; faisons de même pour B. On a
-- = 4-B— , dy dy Oz
On doit donc avoir, pour que la solution existe
Oy Oz ox oz
et il y aura deux cas à distinguer, suivant que la relation (2) est une identité ou non.
Si (2) n'est pas une identité^ cette relation (2) définira z(x,y) par le théorème des fonctions implicites.
Nous allons supposer la relation (2) identiquement vérifiée et nous allons rechercher la solution qui contient une constante arbitraire (nous l'avons déjà vu).
Considérons la relation
comme une équation différentielle^ en regardant la variable y comme un paramètre. Nous aurons la solution
La constante arbitraire a doit être remplacée par une fonction quelconque, u{y). On peut déterminer u de sorte que la fonction, déduite de (4 ),
satisfasse à la relation
On écrira
df df du r y/ M
l6o CHAPITRE VII.
d'où l'on tirera
et, la condition (2) étant identiquement vérifiée, on trouve que ^ ne dépend pas de x
àx
Nous avons, en efTet,
du et nous devons vérifier la relation
^^ àii\dx'^ àf àx àxdy) dadx\^^'''^'^^^'d^\^'''
Or, on a -^ = A(x,.j^,/) et il en résulte que (5') se réduit à (2).
Nous avons donc finalement à intégrer
Donc^ V équation {i) est ramenée à deux équations différentielles ordinaires (*).
2*^ Prenons Téquation (1) sous la forme
(7) P clx-^(ldy-¥-V^dz==o.
Posons
Téquation (7) prend alors la forme (i) et la condition (2) devient
Deux cas, encore, suivant que cette relation (8) est, ou non, une identité.
(*) K. G0UR8AT, Cours, t. II.
ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES LINEAIRES.
Nous écrirons cette condition sous la forme
et nous pouvons mettre F sous la forme d^un déterminant symbolique (en changeant le signe partout),
Ts
ôx dy 0z
.\ la dernière ligne, nous notons P au lieu de P, pour indiquer
-T- là où Ton a le produit — •
que Ton prend la dérivée -77 là où Ton a le produit —- • P
Posons
Pûte -h Qrfj -H ^dz devient Vdu -h Qrf(^ -|- R dw.
Soit r l'analogue de F, formé avec les fonctions P, Q,R et les variables w, (^, w
du dv dtv
Fs
On vérifiera aisément cette relation :
r = rx
Donc T et r sont nuls en même temps.
Après cette première remarque essentielle, faisons-en une seconde :
Nous retrouvons cette condition (8) si nous cherchons un
multiplicateur^ c'est-à-dire une fonction ^{x^y^z) telle qu'on
ait
P dx -^ Q dy -i- R dz =^^d^{x^y^ z).
Montrons-le.
Regardons z comme un paramètre constant ; nous savons, d'après la théorie du multiplicateur d'Euler, qui précède, qu'on D^A. -II. u
l6i CHAPITRE VII.
peut déterminer des fonctions
(5 est la valeur du paramètre z) donnant lieu à la relation
Puis, faisons varier s, nous pouvons alors ajouter R dz et nous avons
p(P dx -^ Qdy -^ Kdz) -^ dQ(x,y, z) -h (pR -^ dz.
Posons Û' ^ -— et cherchons à obtenir la relation oz
Or, la condition nécessaire et suffisante est que û'' ^ p R — Û', soil une fonction de z et û, regardés comme variables indépendantes.
Donc, le jacobien -^ry- — '■ — ^ doit être identiquement nul, soil
ôx
dQ
dz
dx
dû"
ày
dz
Mais on a
c^(pP) __ dipQ) dy dx
et alors, nous obtenons aisément la condition précédente (8).
Nous voyons donc que, si la condition est vérifiée identiquement, nous avons une solution avec une constante arbitraire, car la relation dm-^o donne
Cfix,y,z) = C.
De ce qui précède, nous déduirons une méthode d'intégration, souvent préférable à la précédente.
Méthode de J. Bertrand. — Suivons l'exposé de M. Goursal.
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES LINEAIRES.
Si nous pouvoDS faire un changement de variables (u, ^, pp»), tel
que Ton ait
la condition (8') deviendra, d'après les remarques précédentes
Or, le premier membre est, à un facteur près, la dérivée de P : Q. La relation (9) indiquera donc que ce rapport est indépendant de iv. Telle est donc la forme que prend la condition (8).
Joseph Bertrand introduit alors Téquation* aux dérivées partielles linéaire
/ ^ v/^v /<^Q àR\df /dW dP\df /^P àQ\df
Pour l'intégrer, on sait qu'il faut écrire les équations dx __ dy dz
dz
dx
ôz
dx
Soient a = a et r = p deux intégrales premières distinctes; on a djonc
Et nous introduirons, au lieu des variables x, y^ z, les variables x^
Nous supposons d'autre part que (8) est une identité. Entre les équations (8) et (i i) éliminons les parenthèses. On obtient
du du du
dx dy dz
dv dv dv =■ o,
dx dy ôz
ce qui peut s'écrire, d'après la théorie des déterminants
'^ dx ^ ôx^
^ . du dv
dy ^ dy
^ . du du
oz ^ dz
l64 CHAPITRE VII.
L'équation (7) a donc maintenant la forme (12) X du -h iJL di> = o,
et la remarque précédente nous montre que - est fonction de u el de {> et non point de w.
Joseph Bertrand ramène donc Téquation (7) à l'équation (12) qui est une équation différentielle ordinaire.
En un mot, nous tirons de (10') les relations
f^(^,yy -5) = a, ^{^,y^ z) = .3, d'où
dy = Gi rfa: -f- Ci rfa -4- Gp rfp, dz—
Nous portons ces valeurs dans (7) et nous savons a priori que les coefficients de x et de dx sont nuls^ ce qui donne Téquation (12), sous la forme
Supposons maintenant que la condition n'est pas remplie.
(I) P(Qi R;.)^Q(Ri-.rv)4.R(p;-Q;)^0,
on aura alors
(i) P rfa: 4- Q û(x -+- R ^5 = * <f<p -+- <£t|/.
Démontrons ce théorème.
Cela revient à obtenir les fonctions o. A, ^, telles qu'on ait
(2) p = *(pi-f-r^;, Q = <|>ç^^^^^ R = *?;4-t|.;,.
Éliminons ^, en formant les combinaisons suivantes
Multiplions les deux membres des équations (3) respectivement par ©r, Oy, o', et faisons la somme, il vient
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES LINÉAIRES. l65
€11 posant
a, 3, y sont les expressions qui figurent dans (I). De même, on obtient
II suffira donc de prendre pour o et ^ deux solutions particulières de l'équation
Et alors, A^, Yy, J;^ seront déterminés par le système (2) et Ton aura bien tj^^^= tj>^^., etc., puisque l'on est parti de ces relations pour passer du système (2) au système (3).
Il suffit d^oblenir une seule solution particulière de (4), y = ç, et ^ sera alors donné par des quadratures.
Supposons, en effet, <p connu et alors, cherchons à déterminera par les deux dernières équations (3), au lieu de prendre l'équation (4), déduite de (3).
Posons
il en résulte
