X -^y -^ z "" Telle est la solution

Soit encore le système

à* , ^ àz ,

La condition est

1° m = /i, on trouve la solution

z = x-\-y^[{i-m)ix-^y-^C)Y^'.

2" m ^zé ^, on a la solution

z = X -hy sans aucune constante.

III. Application aux équations de Briot et Bouquet. — Nous voulons montrer qu'il peut être très utile de ramener une équation différentielle à une équation aux dérivées partielles. Nous avons montré (Ghap. VI) que Téquation

xy' = ax -4- 6j' H- . • . ,

a une solution holomorphe, si b n^ est pas un entier positifs le second membre étant holomorphe en ^ et^ autour de Torigine.

Poursuivons celle étude en montrant que, pour 6 > o, il existe une infinité de solutions^ non holomorphes, passant par l'origine.

Soit Y la solution holomorphe obtenue, posons

on aura

ar(Y'-+- X6a:*-ï-+- ar'^X') = aar-+- ô( Y -+- \xà)

-+- Aar«-+- Bx(Y -4- Xar*) -4- C( Y -h Xar*)«-+-. . .,

l68 CHAPITRE VII.

et Ton a

ar Y'= a:r -4- ô Y -+- Aars -h BjrY -+- GY*. .. ,

11 reste donc

X'= (B -+- 9.Ca,)X -h GX^ar*-». . . .

Supposons d'abord é>i; dans ces conditions, les puissances de Xj dans le second membre, ont un exposant positif et X est en facteur.

M. Picard pose alors

et regarde X comme une fonction de x et de u. L'équation précédente devient

ç est holomorphe en X, a?, u.

On peut encore écrire

D'après les théorèmes d'existence (Chap. VI), cette équation linéaire du premier ordre, aux dérivées partielles, a une solution holomorphe X(:r, a), prenant la valeur arbitraire X^ pour x= u = o^

X = Xo-hPa7-+-YW-h

Nous avons, en faisant maintenant u = x^"*, une solution X(j7, a:*™*), contenant une constante arbitraire Xq. g. q. f. d.

Remarque. — Si l'on a i > 6 > o, on n'a qu'à poser x = X'', et à prendre p tel que l'on ait pb>i, et l'on est ramené au cas précédent.

Enfin, pour 6 < o, la solution holomorphe est la seule solution passant par l'origine.

Posons, Y étant la solution holomorphe,

^ = Y-+-5, d'où la nouvelle équation

dz dx.. - .

Soit Xq un point voisin de zéro et z^ un nombre non nul, L une ligne allant de x^ à zéro.

Écrivons

i dz I dx ^ . .^

z I -h «1.5 -f-aj^^-Haj^'-h. . . X ^ . \ 7 /j

en mettant en évidence les termes ne contenant que z^ dans le premier membre. Intégrons de Xo à a; suivant L. Cela donne

x£ £— =/ (co-<-c,5-+-...)û^^-+- / o{x,z)dx.

o Zq Xo J^^ J^^ •

Si Z tend vers zéro avec a?, le second membre a une limite finie déterminée A.

On aura donc

rX X — '^A,

o Zq Xq

Z Zq ..

— - nu —Te^°.

Si b est réel^ et s'il est négatif, cette égalité asymptotique est impossible, donc il n'y a pas d'autre solution que Y, passant à l'origine. c. q. f. d.

Si b est complexe, il faut faire une discussion détaillée (*). Indiquons ce qui se passe pour 6 = N entier >> o. D'abord posons

et nous obtenons l'équation.

xz*=z a'a:-h(N — \)z-\-

Nous pouvons donc supposer é == + i .

Si nous avions é= i -f- A, nous avons vu que nous aurions une

(*) Em. Picard, Comptes rendus de l* Académie des Sciences, 1878; et Traite' d'Analyse^ t. III. — C. Jordan, Cours d'Analyse, t. III.

I70 CHAPITRE YI1. — EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES LINEAIRES.

solution holomorphe en x et x*, avec une constante arbitraire. Posons

nous aurons une solution holomorphe en x el t. Pi. la limite, pour 6 = 1, on a

Wmt =: xZx.

Nous admettrons (on le prouve) que pour 6 = -+-i, on a une solution holomorphe en x et xJt^x^ avec une constante arbitraire (*).

Ces équations didérentielles ont été étudiées, dans le domaine réel, par M. Bendixson (2).

(*) C.Jordan, Cours d'Analyse, t. III, a* édition. (2) Acta Malhematica, t. XXIV.