NON LINÉAIRES
SOLUTIONS SINGUUÈRES.
La théorie des équations aui dérivées partielles a été renouvelée par Sophus Lie. Ce domaine étant immense, nous ne parlerons que du problème de Cauchy et des travaux de Lagrange.
Noms poserons ensuite le problème des solutions singulières qui, autrefois, était étudié, sans précision aucune, par l'intuition géométrique.
Soit une équation du premier ordre
/ dz dz\
Nous appelons problème de Cauchy^ la recherche d'une surface intégrale définie par une courbe gauche que la surface doit contenir.
On peut montrer par le calcul des limites de Cauchy (méthode des majorantes), que l'équation du premier ordre non linéaire comporte une solution contenant un segment de courbe plane.
On se rend compte que, par un changement de variables, on peut astreindre la surface intégrale à contenir un segment de courbe gauche. Mais, bien entendu, la méthode des majorantes suppose essentiellement qu'on peut obtenir d'une manière unique toutes les dérivées de la fonction inconnue ^, en un point O. Il faut donc préciser.
Nous appellerons courbes caractéristiques les courbes lieux des points où ce calcul est indéterminé.
11 résulte des travaux célèbres de Lagrange, Charpit, Cau-
chy, etc., que, les courbes caractéristiques étant connues, la solution du problème de Cauchy en résulte. Ceci est d'autant plus remarquable que ce fait n*aura d'ordinaire plus lieu, pour les équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur à i.
I. Caractéristiques. — Comme nous n'avons pas besoin des dérivées de tous les ordres^ adoptons la notation suivante
ôz
P=Tx'
âz
^ " âx dy^ '
Soit alors une courbe C définie
par les équations
ix =
.xil),
et
une surface intégrale, contenant cette courbe. On doit avoir
(2) dz =p dx -hq dy.
Dans (i) et (2) x, y^ z^ /?, q sont des fonctions de \ et les difierentielles sont prises relativement à X. Posons, pour simplifier la notation
dp ' dq ^
La condition nécessaire et suffisante pour que p et q soient déterminés d'une manière unique par les équations (i) et (2) est que
le jacobien
dx dy
ne soit pas nuL
ÉQUATIONS AUX DÊRIVÉRS PARTIELLES NON LINÉAIRES. IjS
Pour obtenir r, 5, /, sur (C), c'est-à-dire, en fonction de X, nous dériverons en ^ et^ l'équation (i), ce qui donne :
(3) XH-^Z-hPr-+-Q5 = o,
(4) Y-h^Z-+-P*-hQf = 0,
équations auxquelles nous joindrons les relations entre les difTérenlielles
( 3' ) — dp -h r dx -^ s djr = o^
( 4' ) — dq -h s dx -^ t djy :=: o.
Pour calculer r et 5, prenons le système (3) (3') dont le jacobien est J; pour calculer s et /, prenons le système (4) (4') dont le jacobien est encore J.
s esl obtenue de deux manières différentes, mais, d'après les principes du calcul différentiel, nous savons que si les valeurs obtenues sont continues, elles sont identiques. Donc ceci ne nous embarrasse pas.
Ecrivons que les trois dérivées 7\ 5, t sont indéterminées sur (C), en annulant tous les déterminants du Tableau :
dx dy —dp — dq P Q X-h/>Z \->rqZ
Posons donc
dx ^ dy ^ — dp __ — dq T" " "^ ~ XTTpZ "" Y H- 9Z'
et, en tenant compte de (2), on a aussi dx ^dy dz
"F - -$■ " p^Tq?'
Pour que r, 5, t soient indéterminés il faut et il suffit donc que x^y^ 5, />, q satisfassent au système
(S^ ^^ rfr dz -dp -dq ^
(On peut faire figurer explicitement la variable X, quand c'est commode).
Remarque. — Faisons abstraction du paramètre X, nous avons quatre équations.
Donc l'intégrale du syslème (S) contient quatre constantes arbitraires. Mais Tune de ces constantes doit être nulle^ dans la question qui nous occupe. Ceci est capital.
En effet, on vérifie immédiatement que l'on a une intégrale première de la forme
^{^.y, ^ip.q) = const.
Or Téquation donnée (i), exige que celte constante soit zéro. Les intégrales premières du système sont donc
On peut encore écrire la solution sous la forme
ni) r=r(--o,
(liï) z =z(...),
