IV

Par le même raisonnement, on pourrait écrire un syslème différentiel définissant x^ j', ^, /?, y, r, 5, t de façon que a, ^, y, soient indéterminées^ ce qui n'est d'ailleurs d'aucune utilité dans le problème actuel. Par définition nous dirons que le système (S) définit les caractéristiques d^ordre un, c'est-à-dire des courbes en X, y-j z, p, q. Nous appelons caractéristiques d'' ordre zéro les courbes véritables en x^y, 5. Combien en avons-nous, passant par un point fixe (a, 6, c) ?

11 suffit, pour le voir, d'écrire

Nous pouvons éliminer, /?, y, puis calculer C2 et Cj en fonction de C|.

Donc les courbes passant par («r, 6, c) contiennent un paramètre arbitraire.

Par le point (a, 6, c) passe donc un conoïde de caractéristiques, c'est-à-dire une surface tangente, en ce point, à un cône ayant ce point pour sommet.

Cône des tangentes. — Il suffit, pour l'oblenir, d'ëliminer p et q entre les équations

F(a,b,c,p,q) = 0, dx ^ dy __ dz

où, dans P et Q, comme dans la fonction F, x, y^ z ont été remplacés par les constantes a, 6, c.

On obtient une relation entre dx^ dy^ dz. Remplaçant dx^ dy^ dz respectivement par \ — a, tj — 6, s — <^î nous avons le cône des tangentes ou cône-élémentaire (en allemand elementarkegel)^ de sommet (a, 6, c).

II. Intégration. — La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique extrêmement simple.

Nous voulons obtenir une surface intégrale contenant la courbe donnée U.

D'abord il faut vérifier que cette courbe U n*est pas caractévistique.

Cela fait, au point M (j?®,^®^ ^o) sur U, nous menons la tangente MT à la courbe, et par la droite MT, nous menons les plans tangents au conoïde caractéristique.

Fig. 24.

Supposons d'abord qu'on ne puisse mener qu'un seul plan tangent. Ce plan tangent détermine une caractéristique F® sur le conoïde.

U association des caractéristiques F® relatives à chaque point M donne une surface intégrale. Prouvons -le.

Sur la courbe U, x^^ y^, z^ sont des fonctions d'un paramètre u. Prenons un point P sur F», ce point est déterminé par les deux

paramètres )., u. \ fixe la position de P surF^j on peut prendre X = o, quand le point P est en M, sur U.

Nous avons bien une surface intégrale si les équations (i) et (2) sont vérifiées, a?, y^ 2, /?, q étant maintenant des fonctions de deux variables.

I** Quand X varie seul, on a F^o, d'après la définition des caractéristiques par (S).

Appelons /?«, q^ les valeurs de /? et y en M, en fonction de u.

Nous devons donc avoir la relation

(6) FCarOj^'O, 50, /?o, 5fO) = o ou Fo(m) = o.

2° La condition (2) lorsque X varie seul (sur la caractéristique) est vérifiée puisque cette condition fait partie des équations (S). Nous avons donc

dz dx dy

quelque soit w. Il reste à remplir la condition H = o, ayant posé

du du ^ du

Calculons -^» nous avons

dW d^z d^x d^y dx dp dy dq

1\ ~ d\du "^^ d\du ""^ riôrdâ"" dûàk~"dû7k'

nous avons aussi

dK __ d^z d^x d^y dp dx dq dy

du ~" d\ du ^ d\du d\ du du d\ du d\

Cette dérivée est identiquement nulle, d'où

OW dp dx dq dy dx dp dy dq d\ " du dX du OK du d\ du d\

Remplaçons les dérivées par leurs valeurs tirées de (S); il vient . . dH ^ dx ,dv ^dp ^ dg ^ 1 àx dy\

Nous avons, d'après (6)

du du du du du

d'où enfin, d'après (8) et (9)

Nous avons enfin, en intégrant sur la caractéristique

- rVw/x

H = Hoe * •

H® désigne la valeur de H pour X = o, c'est-à-dire, quand x^ y^ z^ /?, q se réduisent à x», j^», z^^ p^^ q^, sur la courbe U. Donc, pour que H soit nul, il faut et il suffit que Ton ait

Ho = o, c'est-à-dire

du ^ du ^ du

En résumé, nous avons deux équations (6) et (10), qui déterminent p^ et q^. Portons ces valeurs dans (I), (II), (111) et nous avons la surface intégrale.

Les deux équations de condition (6) et (10) ont l'interprétation géométrique que nous avons donnée :

La première exprime que le plan ayant pour paramètres/?^, q^ est tangent au cône des tangentes des caractéristiques;

La seconde exprime que ce plan tangent contient la tangente à la courbe donnée.

Remarque, — Notre théorie suppose que les (onctions P, Q, X + /?Z, Y + yZ, Z, ne sont pas toutes nulles à la fois. Ceci se rapporte à la théorie des solutions singulières.

Quand nous intégrons l'équation (9), nous supposons essentiellement que Z a une valeury?n/e.

Remarquons que si nous cherchons à calculer p^ et q^^ fonctions de e/, par les deux équations

dz^ dx^ dy^

nous ne sommes assurés de l'unicité de la solution que si le D'A. — II. 12

jacobien

dpo

ôF

est différent de zéro et alors, si les éléments sont analytiques, nous avons une solution analytique

Supposons ce jacobien nul; posons donc

(lO

du ou

La tangente MT de la courbe U a pour paramètres

dz^

Soit MB la tangente en M à la caractéristique F®, celte droite a

pour paramètres

Po, Qo, Po^o-hQoyO.

L'équation (ii) exprime que les directions MT et MB coïncident.

Si donc ces droites coïncident, nous avons, en général, un certain degré d'indétermination pour/?® et g^, c'est-à-dire un point singulier de la surface intégrale.

Si, en chaque point de la courbe U, la tangente MT est tangente au conoïde caractéristique, l'ensemble des caractéristiques de contact forme une surface intégrale.

Remarquons que nous sommes partis des éléments a/?rt(;^'//<jrMe5 (exception au théorème de Cauchy-Kowaleska). Chemin faisant, on s'aperçoit que la solution obtenue suppose seulement les éléments donnés dériiahles un certain nombre de fois et lipschitziens.

Dans le cas de l'équation linéaire

nous avons obtenu la solution la plus générale (sauf la singulière par un assemblage de caractéristiques d'ordre zéro (courbes

véritables). Ces caracléristiqiies sont définies par le système différenliel

dx dy dz . - .

(Méthode de Gilbert).

Par un point (jc®, y^^ z^) passe une caractéristique et une seule si P, Q, R sont continus et lipschilziens en x, y^ z (t. I, p. 298).

Pour l'équation non linéaire

les caractéristiques d'ordre un sont définies par le système différen-

liel

dx __ dy __ dz — dp __ — dq / __ j\\

T ^ "Q ~ P/?-+-Qy "X^TZ ■" Y-f-^Z^"" ^*

Par un point {x^y y^, s®, /?®, q^) passe une caractéristique et une seule si P, Q, etc., sont continus et lipscliitziens en x^y^ z^ p^q.

Nous venons de voir, d'après Cauclij, que, des caractéristiques d'ordre an, on peut détacher des caractéristiques d'ordre zéro et qu'on obtient une solution, contenant la courbe donnée U, par un assemblage de ces courbes caractéristiques.

La solution est-elle unique^ quand V n'est pas caractéristique?

C'est ce qu'il faut étudier.

III. Unicité de la Solution. Théorème de Cauchy. — Kowaleska. — La courbe U, donnée^ n'étant pas caractéristique, elle définit une solution, et une seule, de Inéquation

(1) ^{op,y, z,p, r/) = o,

lorsque P, Q, X, Y, Z, p, -p, -, -^ sont continus et lipscliitziens.

Dans la méthode des majorantes, Féquation (i)éliit donnée sous une forme plus simple.

Il faut passer de W forme générale [i)^ la courbe donnée U étant quelconque,

l80 CHAPITRE VIII.

(maïs non caractéristique) à Informe canonique (2)

avec la courbe donnée sons la forme

ou, plus simplement, la courbe donnée étant Taxe Oy

Posons

x = Xh-X(Y), ^ = Y, nous aurons

de sorte que Téqualion donnée F = o devient

Si la courbe U n*esl pas caractéristique, cette équation pourra s'écrire

et nous avons à rechercher, pour cette nouvelle équation, la solution z (X,Y) se réduisante [jl (Y) pour X = o. Pour simplifier, nous prenons jjl = o.

Nous pouvons donc étudier V unicité de la solution de la manière suivante. Nous prenons l'équalion sous la forme

et nous étudions la solution, obtenue par un assemblage de caractéristiques, contenant un segment de l'axe Oy^ autour de l'origine

(3) z = fj^(x,y).

Supposons qu'il existe une seconde solution, contenant le même segment de l'axe Oy

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. l8l

Formons la différence t := z — u et montrons que t est identiquement nul, au voisinage de V origine. Nous avons les relations immédiates

du - r «^"1

Posons

Nous avons immédiatement

ou bien

La fonction /, qui est connue, satisfait à une équation linéaire du tvpe (6).

Intégrons cette équation (6).

Nous savons, d'après l'exposé de Gilbert, qu'il n'existe pas de solution singulière puisqu'une telle solution devrait annuler le

coefficient de — q"i est un.

(Nous parlons, plus loin, des solutions singulières, mais, pour le moment, nous n'avons pas besoin d'en savoir plus long.)

Donc, toutes les solutions possibles de (6) sont des assemblages de caractéristiques. Celles-ci sont fournies par le système

dx dy dt

Nous avons immédiatement une intégrale première

d'où Posons

T(;r, a)= f ^ (x, a) dx, *-

l82 CHAPITRE Vin.

nous avons

n en résulte que la solution t(x^y) devant contenir, aulour de l'origine, un segment de l'axe Oj^, est identiquement nulle.

L'unicité de solution, pour (2) est donc prouvée si elle l'est pour (6).

Il suffit, pour cela, que l'équation difTérentielle

dy = Gtlx

ait une solution unique, au voisinage de l'origine. D'après (5), on a

G(^,r)=-jr^(^:r. ...)

Cette expression doit être lipschilzienne, pour que nous puissions affirmer l'unicité. Nous supposerons donc

du dt df ,

continus et Upschitziens et l'unicité sera prouvée.

Nous avons, d'ailleurs, déjà admis, pour l'unicité des caratéristiques d'ordre un de l'équation (2), que

df df àf df ,

dx' T/ Tz' Tq^^^y^'-^'i^

sont lipschitziens et continus.

Il serait facile de passer aux conditions relatives à la forme (i). X, Y, ..., représentant respectivement

dY dY

Ox Oy

nous avons

dx'^ P ' dy" P ' dz~ P ' dq'^ P ■

Nous pouvons donc affirmer l'unicité de la solution de (1) si tous ces rapports sont continus et lipschitziens.

La condition est remplie si/(^, y^ 5, q) est holomorphe, au voisinage du point

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. l83

En ce qui concerne les systèmes d'équations aux dérivées partielles, nous nous conlenterons de l'énoncé du théorème.

La méthode des majorantes (calcul des limites de Cauclij) don ne le théorème suivant, dont nous avons indiqué rapidement le mode de démonstration, et que nous nommons théorème de Cauchy- Kowaleska (quoique M"® de Rowaleska ait été encore plus loin).

Soit le système

dzj

les seconds membres ne contiennent pas les dérivées par rapport à Xi ; ils sont holomorphes autour du point x]^ 5J, /?]J^. {en

posant pH,,= ^y

Ce système admet une solution holomorphe au voisinage du point x\^ x\^ . . . , a:^,, se réduisant^ pour x^^x^ à p fonctions holomorphes données ©a (072? ^35 ^n) telles qiCau point arj, j:J,...,xJ, on ait

La solution est unique.