IV. Méthode de la variation des constantes, de Lagrange

Nous avons intégré, d'après Cauchy, l'équation aux dérivées partielles du premier ordre non linéaire. Tant au point de vue historique qu'au point de vue d'idée elle-même, nous devons donner aussi la méthode de Lagrange.

Intégrale complète. Intégrale générale. Intégrale singulière. — Soit une fonction

a et b désignent deux constantes arbitraires; dérivons, nous avons (2) p = Fi(ar, y, a, b), q = V\\x, y, a, 6).

l8i CHAPITRE VIII.

Eliminons a et b entre ces trois équations^ nous obtenons

OU bien

si z disparaît dans rélimination.

Avec Lagrange, faisons varie/* les constantes, c'est-à-dire cherchons la condition pour que, a et 6 étant remplacés par les fonctions com^enables de x ei y^ Téquation (i) conduise à la même équation (3), par l'élimination des dérivées. Nous avons, dans ce cas, en dérivant (i), les valeurs

dF da dF âb Ox

t ov oa or

Il «

f ^ ~" y^ da ây '^ db ây' Ecrivons : p'=p, q' = q'^ cela donne les équations

àFàa i)F^db^ ôFda àF db

^ ôa dx Ob Ox ~~ '^ àa oy db dy ~~

Ce système (4) joue ici le rôle fondamental. Lagrange remarque qu'il existe trois solutions pour ce système (4) '-

i^ a et b constants ; solution banale d'où nous partons;

3" pv ' — =0, c'est-à-dire, d'après la théorie du jacobien,

(6) 6 = vj/(a), /onction arbitraire.

Dans ce cas, les deux équations (4) se réduisent à l'équation unique

Par définition, nous dirons que réquation(i) donne une intégrale complète de (3).

Les équations (i), (()), (7), donnent une intégrale générale : nous voyons que c'est l'enveloppe d'une famille de complètes à

EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. l85

un paramètre^ puisque l'on a

Les équations (i), (5), donnent Vinlégrale singulière^ enveloppe de toutes les complètes. Contrairement à l'opinion de Lagrange, F intégrale singulière n'existe pas, en général, parce qu'en général, dans les éliminations, on sera arrêté par des singularités (voir toutes les conditions d'existence des fonctions implicites, Chap. I).

Nous sommes assurés d'avoir ces trois solutions de l'équation aux dérivées partielles, si nous savons obtenir une complète : on sait ramener ce problème à un système d'équations différentielles; nous le verrons. Auparavant, démontrons la réciproque.

Toutes les intégrales de (i) sont données par le système (i), (5), ou par le système (i), (6), (7), ou par (1).

1° Soit l'équation

(3) ^ = A^ir^p^q)'

Soit Z (jc^y) une intégrale, c'est-à-dire qu'on a, en posant:

(8) z=/(^,jr, P, Q).

AGn de comparer z donné par l'équation (i) et Z, posons le système d'équations

(9) P = Fi(.r, jK, «, à) = Zi, q = F;.(a:, y, a, b) = Zy.

De ce système de deux équations, nous pouvons, si certaines conditions sont remplies, tirer a et 6, qui seront, en général, fonctions de a: et ^

Pour ces valeurs de a et 6, nous aurons

Et, d'après (i), nous en déduisons

l86 CBAPITBE y III.

Si les valeurs a et ^ trouvées pour a el 6, d'après (9), sont constantes y alors ou a

Sinon, dérivons les deux membres de (10) et nous obtenons alors les équations (4), d'après les équations (9).

Or, nous connaissons les trois seules solutions possibles de ce système (4).

Donc une intégrale Z (jc, y) rentre forcément dans l'un des trois types envisagés : complète^ générale^ singulière, c. q. f. d.

Donc, toutes les intégrales rentrent bien dans l'un des trois types de Lagrange, si aucune singularité des surfaces ne vient troubler l'application de la théorie des fonctions implicites, ne vient troubler les éliminations. Passons au second cas.

2° Supposons l'équation de la forme

On peut changer z en z-^h {h étant constant), sans changer la forme de l'équation aux dérivées partielles ; donc, ici, l'intégrale complète dont on part doit être nécessairement de la forme

(12) ^ — 6= F(ar, ^, a).

Le raisonnement est le même que précédemment. Prenons l'une des deux équations (9), par exemple: p = P, pour calculer a. Nous aurons

C'est la seconde équation (9).

Nous avons ainsi

a = ix(a:,y).

Déterminons 6 = ^ {^^y) par l'équation suivante

Nous avons alors, comme précédemment

et comme on a il reste

c'est-à-dire : ou bien a et 6 constants^ ou bien b = 'h (a). Nous retrouvons Tintégrale générale. Ici, il n'existe pas de singulière, La conclusion subsiste.

Remarque, — Il est utile de souligner que l'élimination de a et b entre les équations (i), (2) ne peut donner une autre équation que l'équation (3).

Supposons, en effet, que cette élimination donne deux résultats différents

Nous pourrions tirer p et q, de ces équations, en fonction de x, y, z, et nous aurions une équation aux différentielles totales^ avec une solution contenant deux paramètres a et b. Nous avons vu que ceci est impossible, puisqu'une telle équation (où la condition d'intégralité est satisfaite) admet une solution avec un paramètre arbitraire (*) {voir p. 162).

Recherche d'une intégrale complète. — Pour pouvoir appliquer la théorie de Lagrange, il faut savoir trouver une complète. Or, rien n'est plus facile si l'on se reporte à la théorie des caractéristiques et à leurs équations (S).

Soit Téqualion

Soit une intégrale première du système (S)

(2) *(^, r» ^^Py ^) = «-

tirons p et q des équations (i) et (2), cela nous donnera une équation intégrable

dz ^ p dx -^ q dy,

( * ) Voir P. Mansion, La théorie des équations auœ dérivées partielles du premier ordre (Gauthicr-Villars, 1875), et le Mémoire de V. G. Imchenetsky, traduit par J. Houel.

l88 CHAPITRE VIII.

rf'oM Vintégrale complète. En effet, nous n'avons qu'à vérifier la condition d'' intégrabiliié

(3) ±^'±ç = pL + 'Sp

Nous avons, d'abord, les équations

dF àFdp^ dF^dq^

dx dp dx dq dx '

c^ d^ dp d^ dq __

dx ' dp dx dq dx '

et les analogues en dérivant en v et en z.

Nous en tirons

dq dp

dx dy

Portons ces valeurs dans (3); on obtient une identité, parce que (2) est une intégrale première, c'est-à-dire parce que l'on a

d*. d*^ d^ ^ cM» d^

dx dy -^ dz dp ^ dq ^

Le calcul est facile, aussi ne le faisons-nous pas.

Au moyen de Vintégrale complète^ on résout le problème de Cauchy comme avec les caractéristiques.

Nous avons, en effet, à chercher l'enveloppe des surfaces à un paramètre

(i) ^[oc,y, z, a, o(a)] = 0,

et nous voulons qu'elle passe par la courbe U ayant pour équation

^ = /i(w), y^'Mu), z = /3(u).

Portons ces valeurs dans (i) et dans la dérivée

, , d\ dV ,

ôa do • Nous obtenons les deux équations

/ M *^W dW ,

la fonction cp devant être telle que la première soit une identité la différentielle totale devra être nulle. Ceci donne, en tenant compte de la seconde équation

d\V(u, a, cp)

Éliminons donc u entre les équations

' Ou '

et nous ohliendrons ainsi la fonction o(a) non point par une équation différentielle, mais sans aucune constante arbitraire^ par la théorie des fonctions implicites.

Si, en cherchant, d'une manière quelconque, à déterminer ç, on rencontrait, dans la solution, une constante arbitraire, cela avertirait de ce fait que la courbe U donnée est caractéristique. (Nous donnons un exemple, plus loin. )

V. Courbes intégrales, Exercices. — Courbes intégrales, — Soit une intégrale complète

Posons 6 = ©a et prenons la dérivée

dW ÔV ,

Les courbes représentées par (i), (2), ont une enveloppe qui s'obtient en écrivant encore

Cette enveloppe, fournie par (i), (2), (3), est nommée courbe intégrale.

Elle dépend d'une fonction arbitraire o.

On peut montrer qu'on n'obtient pas ainsi, en général, une caractéristique.

Cherchons l'équation correspondante.

Soit, au point M, û le cône des tangentes aux caractéristiques passant par ce point.

On obtient l'équation de ce cône en éliminant p el q entre les équations

(û) { dx ^ dy dz

d'où

(4) ^{^^y^ 2; dx, dy, dz) =0.

C'est une équation homogène en dx^ dy\ dz.

Remplaçons dx^ dy^ dz par Ç, /^, JJ; x^ y^ z^ coordonnées de M, étant ici des constantes, nous avons l'équation du cône élémentaire

(5) w(ar,>', z\ Ç, TQ, = 0.

Si, dans (4), nous posons y=zfj.^ f désignant une- fonction arbitraire, l'équation (4) devient une équation difTérentielle en x et >', d'où la solution

Les équalions

y = fx, z-=gx

sont celles d'une courbe intégrale, enveloppe de caractéristiques (avec une fonction arbitraire).

Supposons que la courbe donnée U, dans le problème de Cauchy, soit une courbe intégrale.

En chaque point de U, on a une courbe caractéristique tangente à U et le lieu de ces caractérisliques est la surface cherchée.

Notons que la courbe U sera une ligne singulière sur la surface intégrale. Sinon, en effet, les dérivées r, 5, t auraient des valeurs finies et la théorie faite ci-dessus en vue de la recherche des caractéristiques s'appliquerait et montrerait que U est une caractéristique, ce qui est contraire à notre hypothèse (').

Il suffît, pour s'en rendre compte, de comparer le système (û), qui vient d'être décrit ici, au système différentiel qui définit les caractéristiques.

Remarque, — Le conoïde caractéristique est aussi une solution [non analytique) de Téqualion aux dérivées partielles. Soit {x^^yxy Z\) le sommet du conoïde

(') E. GoLUSAT, Cours d'Analyse, t. Il, 2" édition, Gauthier-Villars, 1911.

Le calcul de Cauchy, identique au précédent, montre que Ton a une intégrale si l'on a

/>* et g* sont variables, fonctions de u.

En efiel, comme précédemment,

d\ dX du '

— f Zdt

or l'on a H* ^ o puisque Xt , y^ , :; i sont constants.

Exemple : z^ (i -^- p- -h g-) — i = o.

Les caractéristiques sont donnôes par le système

rfa? __ dy dz ^ — dp — dg

pz "" qz ~' z(p*'-^q^) ~~ p{i-^p^-i-ç*) "~ q{i-^P*-^ q*)

Nous avons quatre intégrales premières

F = o, x-hpz=zci, y-{-qz = Ci, p:q = Ci.

FLIiminons p et q^ nous obtenons

( {x — ci^-h (y — Ci)^-h z^= i , ( ^ — Ci — Ciiy — Ci) = o.

Ce sont les caraclérisliques des cercles de rayon égal à un. L'équation du cône élémentaire [est donnée par

(^«— i)(dx^-^ dj'^) -h «« dz^ = o.

Remarque, — Les théories de Cauchy et de Lagrange s'étendent au cas où l'on a n variables x^^ ..., x„. Soient /?|, .,,^p„ les

dérivées- — » .... ^ — ,

ÔX^ ' OXn

Voici un cas où Ton a immédiatement une intégrale complète. Soit

Posons

G = Xx-^ aiXt-\- a^xz-i-. . .-\- UnXn-

192 CHAPITRE Vill

On a

dz dz dz

Alors l'équation aux dérivées partielles devient

En intégrant, on a la complète, avec n constantes.

Exercice, {py — qx^— cos» V {x'^ -+-y^) {\-\- p'^-\-q'^) = o,

V est une constante.

Écrivons les équations des caractéristiques, on a

d{py — qx) = 0, py — qx=^a,

constante le long d'une caractéristique.

Or, nous avons

(/?2-h q^)(x^-^y'^) = ipx -f- qyy-^ {py — qx)^. D'où

px -+- qy = /a* tang» V — (a7*-+- j*).

Nous connaissons p et y, d'où

y I Csfb^^^t ,,

z — c — a arc tane — h — 1 ai

® J7 ij t

(en posant \ t^^ x- -\-y^ ; b = a tangV).

Nous avons une intégrale complète entre les deux constantes a et a, etc.

Plus généralement, soit l'équation

on aura l'intégrale première

py — qx^a.

Exercice, {p — q)''-\-q^ — 4 ;; = o.

Solution passant par la courbe : x=z o^ z =y*.

Intégrale complète, — On pose t^= x -{- ay^ d'où l'équation différentielle

d'où la complète

X H- ay -+- 6 = A sfz.

L'intégrale générale sera donnée par

ar-t- a^-+- <p(a) = A v/5, /) -4- cp'(a) = A' /z.

Si nous faisons a?^ o, nous avons

a^-l-<p = Ky, ^-h©'= A>.

D'où résulte

- = -jj— ^, ç = C(A-a),

C étant une constante arbitraire*

Ceci nous avertit que la courbe donnée est une caractéristique de l'équation.

Vérifions-le.

Caractéristiques

dx __ dy ^ ^^ ^ ^P ^ ^9 ^ ^1

Cela donne

l'indice o correspondant à la valeur X =0.

Puis

On trouve bien la caractéristique donnée en prenant

p^=g^='iyo, y?o«= 4^^.

Exercice. /?y — xy = o.

Intégrale première : p = ax.

D'où l'intégrale complète.

Caractéristiques

i- = — -, -L.=ji-, avec pogo^x^y^,

po x^ g^ y^

z — z^^ A(ar2— aroj = (yi j^oi).

D'A. — II. i3

On vérifiera, en prenant une courbe U caractéristique, que l'on n'obtient pas la fonction o cherchée dans la solution du problème de Cauchy, en partant de la complète.

Exercice. — Former l'équation aux dérivées partielles admettant pour intégrale complète le plan

(i — a^)x -]- lajr -h m(i -+- a^)z -1-6 = 0,

m est donné, a et b sont les constantes arbitraires. Poser b = 4^a et trouver les courbes intégrales. Si l'on a

on obtient des courbes minima^ qui jouent un rôle dans la théorie des surfaces minima (Sophus Lie).

VI. Solutions singulières. — Equation différentielle du premier ordre, — Considérons une équation

Soit un point ( J7, y) tel qu'on ait

Le théorème d'existence de Cauchy ne s'applique plus, car on ne peut calculer les dérivées successives.

Si, malgré cela, on peut trouver une solution, elle sera dite singulière.

Nous allons partir de ce point de vue : exception au théorème de Cauchy, pour le relier ensuite au point de vue de Lagrange.

La théorie de Lagrange était partiellement inexacte ; c'est surtout M. Darboux qui a débrouillé ces délicates questions (*).

(•) Les iravaux de M. G. Darboux se trouvent dans le Bulletin des Sciences mathématiques y 1873, et dans les Mémoires de l'Académie des Sciences^ i883.

Le premier travail est consané aux équations différentielles; le second aux équations aux dérivées partielles.

Il est impossible de citer tous les auteurs qui se sont occupés de cette question capitale.

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. igS

Recherchons donc les solutions singulières. Ces solutions proviennent de l'élimination de p entre les équations

Lagrange remarque qu'à ces équations on doit en ajouter une troisième, obtenue en différentiant la première et tenant compte de la seconde.

àf àf

Ainsi, la solution singulière devra satisfaire aux trois équations

àf àf àf

Ces trois équations, considérées comme équations en y', ne pourront pas, en général, être vérifiées pour une succession de valeurs de a? et ^ correspondant à une courbe. Une condition nécessaire pour l'existence des solutions singulières est donc qu'il j ait une succession de valeurs Ae x el y correspondant à une courbe R(x, y) = o, pour lesquelles les trois équations aient une solution commune. D'ailleurs Véquation K{x^y)=^o donnera

certainement une solution singulière, si -^ h* est pas identique^

ment nul pour la valeury de x tirée de l'équation R = o. Soient, en effet, les trois équations

àf àf . àf

qui ont une solution commune en X sur la courbe R=:o. Cette solution commune peut être considérée comme fonction de a? ; en différentiant la première équation, on a

àl^àfdy^^ dx dy dx '

ôy\ dx) ~

Donc, si -^ n'est pas identiquement nul quand on remplace y

et A et par leurs valeurs en fonction de x, on aura

X = ^, dx

ce qui montre que la fonction ydex tirée de l'équation K{x^y) = o satisfait à Téquation diflTérentielle

Supposons que y entre, dans l'équation, au 2* degré ; c'est-à-dire que l'on ait

(i) y= xoc.jr) + c(x,y) /b(ï;7).

Supposons Inexistence de la solution singulière et cherchons la relation qui existe entre elle et les solutions ordinaires. La solution singulière Y(x) satisfait à la relation

Supposons qu'elle passe à l'origine : Y(o) = o. Tout le long de la singulière, on a donc

si l'on pose alors j^ = Y -f-z, l'équation (i) devient, en supposant A, B, C, holomorphes

(2) ^ = ^ «p(^, -5) -+■ C(x, Y-hz))/z ^(x, z), o et ^ sont holomorphes, on peut écrire

^{x,z)=z^i{x)-hz^i{x)-^....

En général, on a

Nous le supposons.

Si Ton pose z = t^, l'équation (2) devient

(3) ^=^t<fi(x)-h,,.-hC{x,Y-ht^)\/^i{x)-^t^^t(x)....

Ayan t^{/|(o)=?^o,le second membre est holomorphe pour x = t = Oj donc (3) admet une solution holomorphe

d'où

Donc il existe une solution ordinaire tangente à la singulière. Nous retrouvons le point de vue de Lagrange, l'enveloppe des solutions ordinaires.

Supposons maintenant que les deux premières équations (I) ne ne soient pas compatibles avec la troisième le long de la courbe B=o.

Alors il /l'y a pas de singulière. Posons

^{x,y)^ax-^-by^..., \{x^ y) = \-\- aiX -\- biy-h

Soit [ji = a + 6X. On a [x ^z^ o, sinon on aurait une singulière puisque A(o, o) = X et que rn = — alb est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe B = o à l'origine.

Mais l'origine est ici un point arbitraire de cette courbe. Etudions la solution de (i).

Transformons (i) en posant x == X^, y = ZX^, on aura

(4) X^= — 2Z-+-2X-f-...-hx(X,Z)/a-+-^»Z4-Xe(X,Z),

y^ et 6 sont des fonctions holomorphes, comme A, B, (].

Ceci est une équation de Briot et Bouquet dont le coefficient de Z est — 2 (non entier positif). De plus, pour Z = a, le radical est holomorphe puisque [x n'est pas nul. On a donc une solution holomorphe, prenant la valeur ). pour X= o,

Z = X ^- X $(X) = X 4- /^ çe(v^),

L'origine est un rebroussement. Donc nous obtenons, au lieu

IQS chapitre VIII.

d'une singulière, un lieu de points singuliers des intégrales ordinaires (*).

Ayant montré, d'après M. E. Picard, comment on peut aborder, analytiquement^ la question, indiquons le point de vue géométrique,

Lagrange croyait que la singulière existe toujours ; il disait : la solution générale contient une constante arbitraire; prenons l'enveloppe et nous aurons une solution sans constante arbitraire^ que nous appellerons singulière,

La grave lacune de ce raisonnement, lacune naturelle, au xviii® siècle, consiste en l'omission de cette remarque capitale : quand on recherche une enveloppe, on trouve, du même coup, le lieu des points singuliers des courbes de la famille.

La théorie des multiplicités de Lie est extrêmement propre à apporter de la lumière dans ces questions.

Nous nous contenterons de l'aperçu suivant, touchant les singularités. Soit l'équation

Appelons courbe Q le résultat de l'élimination de p entre les équations

Appelons courbe J le résultat de l'élimination de p entre les équations

En un point de J, une solution de l'équation a, en général, un point ai inflexion. En effet, on a

c)F d¥ , <^F , •p n'est pas nul, sinon nous serions aussi sur Q, d'où

( " ) E. Picard, Traité d'Analyse^ t. III.

ÉQUATIONS ALX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. fQQ

De plus, une transformation de contact simple change J en Q et réciproquement.

Enfin, cette transformation (par polaires réciproques) change en un point d'inflexion en un point de rebroussement.

Donc, Q est, en général, un Jieu de points de rebroussement.

Pour faire la discussion complète des singulières, on peut poser p=:z el étudier les courbes gauches

IF(x,^,z) = o, [ F(t,^, s)=o,

d¥ Ji I c^F c^F

Il existe une singulière, si ces courbes gauches ont une portion commune. Nous admettons qu^on n^a pas constamment sur la

courbe

Si, au contraire, la surface F = o admet une ligne multiple, on a, sur celte ligne

~' ûx ~ ôy ùz

Il faut alors une discussion plus complète pour discerner s'il y a, ou non, une singulière (*).

Lagrange pensait donc que les équations du premier ordre ont, en général, des solutions singulières ; ce résultat est tout à fait opposé à ce que nous avons dit.

L'explication de celte contradiction est facile. A une équation diCFcrenlielle arbitraire /(^,y, JK') = o correspond comme intégrale générale, une famille de courbes

à laquelle on ne peut appliquer la ihéorie des enveloppes; au lieu de Tenveloppe on trouvera un lieu de points singuliers. Il peut paraître étrange, au premier abord, qu'à une équation différentielle arbitraire corresponde une famille de courbes jouissant, au

(*) Citons encore, sur celle question, le Mémoire de M. W. von Dyck, IJher die singulàren Losungen . . . ^ Abhandlungen der K. Bayerischen Akademie der Wissenschafter (Mûnchen, 1910).

point de vue de la théorie des enveloppes, de propriétés spéciales, tandis qu'à une famille arbitraire de courbes, pour laquelle on pourra appliquer la théorie des enveloppes, correspondra une équation différentielle spéciale, qui aura une solution singulière. Mais, comme le remarque Clebsch, ceci n'est pas plus étonnant que le fait auquel nous sommes habitués, relativement aux coordonnées ponctuelles et tangentielles. Nous savons qu'une courbe générale en coordonnées ponctuelles a des singularités tangentielles. Nous savons qu'une courbe générale en coordonnées tangentielles à des singularités ponctuelles.

Equation aux dérivées partielles du premier ordre. — Nous appelons encore singulière une solution qui fai^ exception au théorème d'existence de Cauchy-Kowaleska.

Soit F (j7, y, z, p, g)=z o l'équation, soient toujours X, Y . . . les dérivées partielles de F, nous avons donc, en tout point de la singulière

ce qui entraîne encore, comme pour l'équation différentielle ordinaire

Appelons élément singulier simple un élément satisfaisant aux cinq relations

et élément singulier double un élément satisfaisant aux six relations

Montrons d'abord que deux éléments singuliers simples infiniment voisins, relatifs à l'équation F = o, sont unis. Soit

(x-h dx, ..., r-hdq)

l'élément infiniment voisin de l'élément (x, . . ., q). Les éléments sont unis, par définition, si l'on a

dz =pdx-h q dy.

On a

avec

d'où

o =sZ{dz — p dx — q dy).

Les éléments sont unis, piiisqii\)n a

On voit donc qu'en général, il n'existe pas de singulière, à moins que les cinq équations (S| ) ne se réduisent à trois.

Les éléments doubles n'étant pas nécessairement unis^ la discussion sera moins brève dans ce cas.

I** Les éléments définis par (S2) dépendent àUin paramètre; pas de singulière.

2** Les éléments de (Sa) dépendent de deux paramètres; la singulière existe si les éléments sont unis.

3** Les éléments dépendent de trois paramètres, alors (S2) se réduit à deux relations distinctes

?(a^» yi -«, />, q) = o, ^{x, y, z, p, q) = o.

(a) la condition d^intégrabilité relative aux fonctions p q{. q déduites de çp = tl = o

p = k{x, y, z), q = B(ar, y, z)

n' est pas identiquement satisfaite : il peut exister une intégrale de l'équation aux différentielles totales.

Ce sera une singulière.

(p) la condition d'intégrabilité est identiquement satisfaite^ alors, nous aurons des intégrales de l'équation

dz = X dx -^ B dy

renfermant une constante arbitraire; ces surfaces sont des singulières. Si cette famille à un paramètre admet une enveloppe, celle-ci aussi constituera une singulière.

4® Les éléments de (83) sont à quatre paramètres; alors

aoa CHAPITRE VIII.

réquatlon donnée est, en réalité, de la forme

Il faut alors étudier 4> et non F.

Posons-nous le problème de Cauchv, la courbe donnée U étant une courbe tracée sur la singulière,

M. Darboux a montré que la courbe L définit encore une surface intégrale autre que la singulière.

Prenons, avec M. Darboux, un exemple simple (*)

A, B, G étant des constantes et^ une fonction analytique telle que l'on ait

Dans ces conditions, le plan z = o est une solution singulière. Prenons le système différentiel des caractéristiques en posant

rfX= -^ afin que le point initial de la caractéristique, situé sur la

singulière, corresponde à la valeur 6 = 0. Nous avons

Puis, posons p=zp'^j q = q'^] alors :; contient G*-* en facteur, d'où P = F9, Q = Q'6, X = X'63, Y = Y'e^ ;

P'= A/?'-h By' . . . ; Q'= Bp'-hCq' ...

et nous avons le système suivant :

dp dq

Nous pouvons intégrer, en choisissant arbitrairement les

(*) G. Darboux. Mémoires de l'Institut, i8S3.

ÉQUATIONS AUX DBR1VÊB8 PARTIELLES NON LINÉAIRES. 2o3

valeurs initiales /?'»= a, q'^^=z ^. Nous obtenons

P'o= Aa-^B8, Q'o= Ba-f-Cp.

D'où

a: = (Aa-hBp)0-^-...,

j^ = (Bi-+-Cp)Ô-+-..., ;5 = Ke«-+- ....

VoiJà une caractéristique passant par le point (o, o, o) de rintégrale singulière et tangente à la singulière.

Elle contient une seule constante^» car le système différentiel

ne change pas par la substitution 0, CO.

Ici le cône élémentaire {Elementarkegel) est un plan, le plan tangent à la singulière.

Dès lors, comment former l'intégrale si la courbe donnée U devient une courbe V tracée sur la singulière?

Soit M un point de V, défini par le paramètre o-.

L'on a, bien entendu, F^ o, quelle que soit la caractéristique F et quel que soit le point P, sur F,

ds dx ây

Il faut avoir, quel que soit P,

-,, âz dx dy

Or,

d'où

Il faut donc avoir

H = me.

(duy

m est une fonction de d qui doit s'annuler sur la courbe V

c^t^o (jîj;0 d^y^ àp^ dro dq^ dy^

Les trois premiers termes sont nuls; il reste

ce qui achève de définir ia caractéristique à choisir en M.

Ainsi, dans le domaine analytique, M. Darbouxa montré que la courbe U définit encore une surface intégrale si elle devient une courbe V tracée sur la singulière.

La singulière se présente donc bien comme une enveloppe, ainsi que Lagrange Tavait prévu, quand cette singulière existe. Elle n'existe pas, en général, i** parce que les éliminations, posées par Lagrange, peuvent ne pas se faire, et a" parce qu'une équation aux dérivées partielles, donnée a priori^ ne résulte pas de l'élimination de a, 6, entre les trois équations déduites d'une intégrale complète hypothétique. En cherchant la singulière^ on pourra obtenir un lieu de points singuliers des solutions ordinaires.

PÉRIODES DES INTÉGRALES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. FONCTIONS ENTIÈRES. - APPUCATIONS.

Nous allons, dans ce Chapitre, aborder quelques questions très importantes dont chacune comporterait un Volume pour être convenablement traitée. Signalons seulement les premiers principes, les faits primordiaux.

I. Périodes des intégrales elliptiques. — On nomme intégrale abélienne une intégrale complexe de la forme

R(z, u)dz,

R désignant une fonction rationnelle et u étant une irrationnelle définie par la courbe algébrique

Q(3,a) = o, (Q étant un polynôme;.

L'étude des intégrales abéliennes, leur inversion^ conduisen à l'un des sommets de l'Analyse, aux travaux illustres de Jacobi Abel, Hermite, Weierstrass, Halphen, Riemann, etc. Nous renvoyons aux Ouvrages spéciaux et nous allons seulement dire un mot du cas le plus simple.

Soit Z un polynôme du troisième degré

Z = (;5 — ei)(5 — <?,)(-s — ^3).

Considérons un lacet, c'est-à-dire un chemin fermé entourant un point critique.

Nous prenons un cercle, de centre e^, dont le rayon tendra vers zéro, et les deux bords infiniment voisins d'un chemin allant

de Zo à et en ligne droite. La fonction y/Z a deux déterminations (voir la définition de 5'"). Soit Tune d'elles -H y/Zo, au point ^Q. Quand on circule autour de et, on passe d'une détermination à l'autre, donc on passe de -h\/Z à — ^Z, Soient deux

points infiniment voisins sur la coupure, m et m'. Dans l'intégrale — ? on a, en m, l'élément ^ et, en m', l'élément ^^

Ces deux éléments s'ajoutent et V intégrale sur le cercle devient nulle avec le rayon. Donc l'intégrale suivant le lacet se réduit à

r'' dz

Formons l'intégrale complexe dite elliptique

r^ dz

Uq et Zq étant des constantes quelconques et le chemin suivi de ^o à z étant arbitraire.

Formons les lacets relatifs aux Irois points critiques g^, Cj? ^3» en partant du point Zq : la valeur la plus générale de l'intégrale quand ou déforme arbitrairement la ligne d'intégration qui va de Zo à 5, s'obtient, en prenant pour ligne d'intégration une suite de lacets, suivie du segment rectiligne ZqZ.

Posons

en supposant que, dans les Irois intégrales, on parte de Zq avec une même valeur déterminée, 4- y/Z^.

Si l'on parcourt le premier lacet, on aura l'intégrale 2 A| et, au

ao7

point Zo, la fonction est de^renue — v^Zq, de sorte que si, ensuite, on parcourt le deuxième lacet, l'intégrale totale sera 2A| — aAj.

De plus, on sera revenu en ^o avec la détermination -f- y/Z^.

Introduisons maintenant les périodes.

Af — Ai=a>|, A3 — Al = (1)1.

Considérons le triangle z^et e^ et le chemin fermé sur Zo, formé par les bords de lacets et les arcs de cercle provenant aussi des lacets.

Dans le domaine intérieur, y/Z reste synectique et uniforme.

Partons de Zq avec la détermination + V^Zo, nous avons donc

c'est-à-dire

^zç •>"«?, *^et

•2(i)4 et 2(02 sont les périodes de / --=.

Prenons un double lacet entourant ei et e^; 2(i)f est l'intégrale

Fig. a6.

suivant ce double lacet. Tout chemin fermé sur ^09 entourant ce double lacet, donne pour l'intégrale 2104, car on peut, par une déformation continue, passer du chemin ZqMzq au chemin

ao8 CHAPITRE IX.

ZoCtCiZo (Jig' 2t6) et l'intégrale suivant les deux bords de la coupure Zq^i est nulle, les éléments se détruisant deux à deux. Si nous posons

r'* dz

dij:

on a, en intégrant à Tintérienr du triangle 61^3^3

(1)1 -h (0| — tt}^=z o.

Donc 2 tos n'est pas une période nouvelle. Nous n'avons que deux périodes. Tout chemin fermé sur z^ comprend :

I** Des lacets, — D'où une intégrale telle que 2Aj= 2a)j-h 2Aj,

Soit -h U la valeur de l'intégrale suivant le chemin rectiligne z^Zy toujours avec la détermination initiale H-y/Zo* Après un lacet, nous revenons avec le multiplicateur — i. Donc, si ensuite nous allons de Zq à ^, ce chemin d'intégration donnera — U, et non -hU.

2** Des systèmes de deux lacets, — D'où une période et, de 5^ à z, l'intégrale -h U, puisqu'on a deux fois le multiplicateur — i. En définitive, r intégrale suivant un chemin quelconque ^ de z^ k z^ a l^une des deux formes

p Qi q étant entiers, positifs ou négatifs.

Posons W0 = ti)4 et ZQ=e^\ ce qui donne A< = o. On a

r" dz

Considérons la fonction inverse zz=tf[u) et admettons que z soit une fonction uniforme de u dans tout le plan. iNous y reviendrons.

Les valeurs de //, qui répondent à une même valeur de 5, sont

Donc, quand on fait varier arbitrairement les entiers p^ et çr,, la fonction © (2/>j (o< -h 25^(03-1- o>, H- U) garde la même valeur, ou plus simplement

ï>(M-h2a)i)=- îp(a-h2a>i) = o(i*).

Donc 'f (m) est une fonction doublement périodique de u, aux périodes 2 w^, 20)2 (*)•

Nous allons maintenant préciser un peu V inversion en définissant la fonction sn ou sinus amplitude.

II. Uniformité de la fonction snu. Pôles. — Nous avons dit un mot des fonctions elliptiques (t. [, p. 3oi). Nous avons maintenant tous les éléments voulus pour aller plus loin.

Partons de l'intégrale

y/i — ar* v^i — k^x^

en supposant k réel>o et<; 1 .

D'après ce qui précède, nous allons chercher les périodes de w.

Suivons l'axe réel, en évitant les points critiques i et i :Ar, par des demi-cercles dont le rayon tendra ensuite vers zéro.

Partons de l'origine avec la valeur -{- 1 pour le radical et posons

Nous avons d'abord la période 4^.; oa le voit en traçant une coupure fermée autour des points — i et -j- i (p. 207). Puis, intégrons de o à i : A* {Jig- 27).

(') M. Camille Jordan, Cours, t. II.

Dans ce Volume, on trouvera, en 200 pages, tout l'essentiel de la théorie des fonctions elliptiques. Celte théorie est une superbe application des théorèmes généraux sur les fonctions synectiques et, à un autre point de vue, on rencontre une sorte de Trigonométrie, c'est-à-dire un ensemble remarquable de formules d'addition, de multiplication, etc. l\ y a même une Trigonométrie des fonctions 8n, en, dn de Jacobi et une autre Trigonométrie avec les fonctions p de Weierstrass.

Nous avons d'abord K, puis une intégrale

Que devient ici le radical? Posons : i — j7-=re'? ; x allant de o à I , nous pourrons prendre es =: o et faire varier r de i à o ; r restant fixe et très petit, le point x décrira un demi-cercle autour

Fig. 27.

du point 1 , si l'on fait varier cp de o à — tc {Jig. 27 et 29). A droite de H- 1 , ona |i — x\ =a? — i ; par suite, y/i — x doil être remplacé, quand x vient à droite de + 1 , par

y/a? — i e * ou — i \/ x — i .

Donc, de i à r> nous aurons l'intégrale

que nous désignerons par «K', la constante K' étant comme K réelle et positive. De o à 7> nous aurons l'intégrale

Considérons maintenant une coupure fermée autour des points i

PÉRIODE DES INTÉGRALES. FONCTIONS PÉRIODIQUES. ail

et I : kj nous avons la seconde période

Définissons maintenant complètement snu.

Nous avons, dans un cercle de rayon R < i , ayant l'origine pour centre, un développement absolument convergent

= I -r- aifl:*-h afX^-¥- 0337' -H. . ..

y/ 1 — a?' / 1 — A* a:* Nous pouvons intégrer, d'où la série absolument convergente

w = ir -+- -T- X* -h -^ a:* -h

On peut faire l'inversion, dans un cercle de rayon p, non nul, d'où

Ceci résulte de la théorie des fonctions implicites. Montrons que la fonction x (w), définie par (i), ou par

est partout synectique^ sauf aux pôles, seules singularités possibles.

Considérons les points critiques

Autour de Fun de ces points, x reste synectique. En effet, autour de + 1 , par exemple, posons

Nous avons alors Téquation différentielle

G désignant une fonction holomorphe autour du point ^ = 0.

Donc, d'après les théorèmes vus, on a une solution holo-

morphe^(ï/). c. q. f. d.

Prenons le point x = cc.

Nous aurons Téquation différeulielle

dz ^

G désignant une fonction holomorphe autour du point z = o. Nous avons une solution z holomorphe, donc nous avons, pour la fonction x^ un pôle.

Donc la fonction x{ii) n'a que des pôles.

Montrons qu'elle est uniforme dans tout le plan.

Elle est uniforme autour d'un point quelconque u du plan. Mais cela ne suffit pas (*).

Appelons snw la fonction sjnectique et uniforme définie, dans le cercle de rayon p, par le développement (2).

Nous avons obtenu, dans le Tome I (p. 3o3), la formule

(4) sn(2M)= ,/ ./ / »

Cette formule (4) définit, d'une manière unique^ sn(2«), c'est-à-dire que la fonction sn(w) se trouve définie d'une manière unique dans un cercle de rayon 2p.

Nous avons une expression rationnelle en sn(//) et sn'(M). Elle peut devenir infinie (pôles), mais elle est déterminée sans ambiguïté.

En refaisant ce raisonnement, nous passons du cercle de rayon 2p au cercle de rayon 4pî elc.

Donc sn(w) est uniforme dans tout le plan et n'a pour singularités que des pôles.

Etudions les pôles. Prenons l'intégrale suivant le contour suivant :

D'abord l'axe réel, de O à R,' en évitant 1 et i lA" par des demicercles; puis un quart de cercle, du point R au point iR ; enfin

(') Em. Picard, Traité d'Analyse, t. II, 2*éditioD, p. 379.

PERIODE DBS INTÉGRALEâ. PONCTIONS PERIODIQUES. 2l3

Taxe vertical. On a d'abord K -|- iK! d'après ce qui précède, puis une intégrale réelle G et une intégrale purement complexe

.= r"; —«H = lim f

L'intégrale sur le cercle devient nulle avec i :R

On a

K-^iK'-f-G — ni=o,

équation qui donne

G-+-K = o et

Nous avons donc

d'où

sn(«K') = 1».

De même

sn(— eK) = — roo.

Nous avons donc les pâles ±iK^. Prenons un autre chemin, tel que le lacet (oio) suivi du chemin OA {Jig* 27). Avec une même détermination pour le radical, on a

J^iR y, A *^o

Et comme l'intégrale prise suivant le lacet (010) a pour valeur 2K, nous avons alors

f =aK-iK'.

Il suffit d'examiner tous les chemins possibles et Ton constate que les pôles de sn(M) sont

2/nK-H(2n -h i)zK'.

Les zéros sont

2/nK-4-amK' («).

(') P. Appell et E. Lacour, Fonctions elliptiques, 1897.

De ce qui précède résulte encore ceci :

sn(±K) = dii, sn(Kd=*K') = ^-