III. La fonction thêta et la méthode d'inversion de Riemann

La fonction thêta, — Nous voulons donner une idée de la géniale méthode de Riemann. Étudions d'abord son instrument fondamental, la série thêta.

Posons, a étant une' constante,

Théorème I. — La série 9 converge absolument^ si la partie réelle de a est négative.

En effet, posons

a = a H- ip,

le terme général devient

g» .r -+- irt ^ -H «• a -+- in • P

Pour a < o, il y a convergence d'après la règle de Cauchj. Remarque. — On peut écrire

C'est évident, la série comprenant toutes les valeurs positives et négatives de n.

Théorème II. — La fonction 9 admet la période 27:i. En effet

0(^ -\- 2.1:1) = S e« = -»-îîCm-j-/i«a 2 ^n5-4-n«/i^

Théorème III. — On a, m étant un nombre entier^ la relation fondamentale suivante :

PÉRIODE DES INTÉGRALES. FONCTIONS PÉRIODIQUES. !2l5

En effet

— 7— r—{z-htna)*

0(5) = <? *"Se*- D'où

e(z-4-2ma)=e *" Se*"

= c *" Se*" ,

car m étant fixe, p =: m -h n prend la même série de valeurs que n.

Donc

— -— ; —-{z-i-ipa)*

b{z-^2/na) = e ^"e *" 2 e*«

Cas particulier : m = i . Nous aurons

Théorème IV. — Les zéros de ^{z) sont de la forme

J = (2/?i-f- i)Trt -h (^/n'-f- i)a,

m et m! étant entiers ^ o.

Nous chercherons les valeurs Ç annulant séparément tous les termes de la série, mise sous une forme nouvelle. Nous avons

(/? étant un entier quelconque) Prenons la demi-somme

Or, pour avoir on doit poser, R désignant un nombre entier,

B-.A = (2K-4- l)Tzi.

ai6 CHAPITRE IX.

Donc ^ pour annuler chaque terme de la série que nous venons d'obtenir, il faut poser

-—[-5' -h 4a^(/i — /?) -h 4a*(n — /?)* — -«* -h iazn — 4«*/i] =(2K-f-i)irf 4 ci>

(an — />)(^ — ap ) = (iKi-i)Tzi, La condition sera satisfaite parles relations

z — ap = (2m -h I ) - f , /? = am'-h r.

En effet, nous avons

car n étant fixe, n — m' varie de la même façon que m' et le produit (2m' — i)(2/n -+- 1) est un nombre impair quelconque. Donc la valeur

Çs=(2/nH-i):ri-+-(2/n'-Hi)a

annule bien chaque terme de la série.

Nous avons ainsi des zéros de la fonction ^(z).

Nous verrons que ce sont les seuls zéros. Auparavant, nous allons passer aux fonctions thêta ^ àqnX. on se sert dans Y Inversion^ et qui se déduisent facilement de la fonction ci-dessus.

Soient deux nombres complexes co et co' satisfaisant à la condition

eu'

Nous verrons que les périodes de l'intégrale elliptique répondent à cette condition.

Nous prouverons, en effet, que s n^ est pas nul^ de sortequesi^ était < o, on changerait eu' : (o en gj : w' et Ton aurait s>o.

Nous serons donc bien dans les conditions voulues pour V Inversion de V intégrale elliptique ,

Des fonctions on passe aux fonctions véritablement employées, les fonctions 0, en remplaçant

par