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par

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La convergence est assurée puisque s est positif , Écrivons

On aura, d'après les théorèmes II et III,

e(z-hoi) = 0(5),

et en particulier

[Ici : a = Tz i(r -i- si) = — tzs -i-Tzir, la condition 5 > o donne la convergence.]

Les zéros deviennent, d'après le théorème IV,

7/w -h I -im' -+- I , r = a> H (o .

•JL 2

Dans le plan de la variable z^ dessinons un parallélogramme, ayant pour sommets les points zéro, w, w H- co', w'. On obtient ainsi le parallélogramme des périodes OAO'A'. Le point A représente w, le point A', to' et O' sera o> ■+- w'.

Si, à partir de O', nous faisons de même, le plan sera pavé par des parallélogrammes pareils.

Les zéros Ç sont les centres des parallélogrammes; c'est immédiat.

Nous allons préciser le théorème IV en montrant qu^un paraiiélogramme contient un seul zéro de 0(5). Nous emploierons, pour cela, l'intégrale logarithmique de Cauchy.

La fonction ^{z) n'avant aucun pôle, nous avons (p. io4), N étant le nombre des racines, dans un parallélogramme :

^5 = 27riN,

l'intégration étant effectuée sur le contour OAO'A'O. Prenons, sur les côtés parallèles, AO' et OA', deux points p et />' homologues, c'est-à-dire situés sur une parallèle à l'autre côté OA- On aura

2l8 CHAPITRB l\.

Donc les intégrales suivant les côtés AO' [et A'O se détruisent. Soient, de même, m et m' deux points homologues sur les côtés O.V et A'O^, on aura

6„|' = 6//I e D'où, en passant aux logarithmes.

D'où

r*" r^' itJ